بسم الله الرحمن الرحيم عودة على بدء المرة اللي فاتت
بدأنا بال linear transformation وبعد ذلك أخذنا
عدة تمثيلات عليها ثم أخذنا بعض النظريات أثبتنا أن
kernel linear transformation is a subspace و
أثبتنا أن ال range لل linear transformation is a
subspace و أخذنا على ذلك المثال الأول، طبعا أعطينا
function معرفة بالشكل التالي T of A بتساوي A زائد A
Transpose تمام؟ وقلنا هاتينا ال range تبع من
الـ T وال kernel طبعا وجدناه المرة اللي فاتت وقلنا
the set of all skew symmetric matrices هذا آخر ما
أخذناه المحاضرة الماضية، تمام؟ إذا فنحن جئنا نكمل
حديثنا، وبدنا نوجد من ال R of T
اللي هي عبارة عن مين؟ كل العناصر Y أو احنا كانت T
من كل العناصر إيش بجينا نقول هي T من A إلى أو T
كانت من وين إلى وين؟ من مصممة M22 إلى M22 مش هيك؟
من M22 إلى M22، بقى باجي بقول كل المصفوفات B اللي
موجودة في الـ M22 such that الـ B تساوي T of A for
some A
اللي موجودة في الـ M22، مش هيك؟ عارف الـ range؟ يبقى كل
المصفوفات اللي موجودة في مجموعة المصفوفات M22
واللي صورتها تكون T of A بحيث الـ A some
element موجود في M22، يبقى هذا التعريف العام لمين؟
للـ range تبعتي، بدنا نيجي نطبق هذا التعريف ونشوف
بدي أوصلني إلى وين؟ يبقى هذا الكلام بده يساوي كل
المصفوفات B اللي موجودة في الـ M22 such that أن الـ B
تساوي T of A حسب التعريف هيها فوق اللي هو A زائد A
transpose for some A اللي موجودة في الـ M22
طيب بدي أعرف مين هي الـ B هذه، طيب
إيش رايك لو أخدت transpose للطرفين؟ يبقى هذه بدأت
تساوي كل المصفوفات B اللي موجودة في الـ M22 such
that B transpose بده يساوي A زائد A transpose لكل
الـ transpose، يبقى for some A اللي موجودة في الـ M22
يبقى هذا الكلام بده يساوي كل المصفوفات B اللي
موجودة في الـ M22 such that الـ BT تساوي لترانسبوز
بتجي ترانسبوز على الأولى زائد ترانسبوز على من؟ على
التانية يبقى الـ A transpose زائد هذه A ترانسبوز
ترانسبوز اللي هي عبارة عن مين؟ الـ A itself يبقى الـ
A itself، طيب هذه الـ A زي A ترانسبوز مش هي هذه اللي
فوق؟ يبقى كأنه بي ترانسفوس بده تساوي من B، يبقى
معناته كل مجموعة ال symmetric matrices، يبقى الـ
kernel هو ال skew symmetric matrices وال range
هو ال symmetric matrices، يبقى for some A اللي
موجودة في M22، يبقى هذا بده يساوي the set of all
symmetric
matrices in M22، يبقى مجموعة الـ symmetric matrices
في M22، انتهينا من المثال الأول، بدنا نروح الآن
للمثال الثاني، يبقى بالداخل example 2
المثال الثاني بيقول let الـ A be an m في n matrix
define
عرفونا ايه mapping، define
ايه mapping
من RN إلى RM by T
of X بده يساوي اللي هو ال AX، where الـ X اللي هو الـ
column matrix X1 X2 ونضل ماشيين لغاية الـ XN
is a column vector، المطلوب
نمرة A، show that بينون أن الـ T is a linear
transformation، نمرة B، Find الـ kernel للـ T، نمرة
C، Find
the
range of T اللي هو R of T، نمرة
D، show that أن
الـ T of X بده يساوي ال AX و
الله، define a linear transformation from R
N
RM، سؤال مرة ثانية، بنقول افترض أن T من Rn إلى Rm
عرفناها، أول شيء الـ A be an m by n matrix، يبقى أخذنا مصوفة
نظامها M في N، define a mapping، عرفنا function من
الـ vector space Rn إلى الـ vector space Rm by T of
capital X بده يساوي Ax، الشكل هنا يعني حاصل ضرب
المصفوفة اللي نظامها M في N في المصوفة العمودية
اللي هي X، هي المصوفة العمودية، مصوفة مكونة من N من
الصفوف وعمود واحد، يبقى هنا قلنا الـ X دي is a
column vector، يبقى متجه عمودي، يعني مصوفة مكونة من
عمود واحد لكنها مجموعة من الصفوف، بناء على هذا
التعريف، بدي أثبت أن T هي linear transformation
يعني إيش بدي أحقق؟ الشرطين تبعات الـ linear
transformation، أمر ثاني، بدي أجيبها لل kernel، بدي
أعرف قداش، الأمر الثالث، بدي أعرف قداش الـ range تبع
T اللي بنجي نرمز له R of T، تلاتة، بتبين Any Linear
Transformation من الـ RN إلى ال RM، من الـ RN إلى الـ
RM هي على الشكل اللي عندنا دائما، أو بداية T of X بدي
أساوي حاصل ضرب المصوفة A في المصوفة العمودية X، يبقى
عندنا أربعة مطاليب، بدنا نبدأ نحسب كل مطلوب من هذه
المطاليب الأربعة، بنجي للمطلوب الأول اللي هو بدي
أثبت أن T عبارة عن Linear Transformation
يبقى بدي أثبت أول شيء أن هاد الـ T Linear
Transformation، يبقى بدي اخذ element من الـ set of
real numbers، الـ scalar يعني، و element من الـ
vector اللي هو من RN وأشوف حاصل ضربه معاه وين
بده يوديني، يبقى باجي بقول هنا F، الـ C موجودة في الـ
R and على سبيل المثال الـ X موجودة في الـ RN، الـ X
هذا بقدر اكتبه على شكل X1 و X2 ولغاية XN، أو بقدر
اكتبه على شكل مصفوفة عمودية X1 X2 لغاية XN بالشكل
اللي عندنا هنا، طيب أنا بدي اخذ T of CX بدي أحاول
أثبت أن هذا بده يساوي C في T of X، برجع للتعريف اللي
أنا قايلاه، يبقى طبقا لهذا التعريف هذا بده يساوي
المصفوفة A في C of X، لأن C هذا scalar إذا بقدر أطلعه
برا ال T أو بقدر أطلعه برا حاصل ضرب المصوفين، يبقى
هذا C في ال AX بالشكل اللي عندنا هذا، يبقى هذا
الكلام بده يساوي C، ال AX عبارة عن مين حسب الـ
definition اللي عندي T of X، يبقى C في T of X
يبقى T of X، يبقى بناء عليه أصبح T في C of X يساوي
C في T of X، إذا تحقق ال condition الأول أو
الخاصية الأولى من خاصة Linear Transformation، يبقى
هذه من هذه الخاصية الأولى، بدأجي للخاصية الثانية،
بدأ آخذ two vectors، يبقى بدأجي أقول له let X و Y
موجودة في الـ vector space RN
بتاخد T of X زائد Y يساوي، بناء على الـ definition
تابعناها، هذا بيكون المصفوفة a في الـ vector x زائد
y، يبقى a في الـ vector x زائد y، هذا حسب خواص عملية
التوزيع على المصفوفات، يبقى هذا بيكون ax زائد ay
هذا تعريف من الـ T of x وهذا تعريف الـ T of y، يبقى
تحقق ال condition الثاني ولا لا؟ يبقى بناء عليه so
T is a linear transformation، إذا انتهينا من المطلوب
الأول اللي هو نمرا A، نمرا B قال هاتل الـ kernel
التي، باجي بقول له الـ kernel التي حسب الـ definition
هو مين؟ هو كل الـ X اللي موجودة في الـ vector space
RN بحيث أن T of X بده تساوي 00، الـ 0، 0 تبع مين؟
تبع RM مش هيك؟ عرفنا الـ kernel كل الـ vectors اللي
في الـ vector space الأول واللي صورتهم بيكون الـ
zero تبع الـ vector space الثاني، تمام؟ يبقى هنا كل
الـ X اللي موجودة في RN بحيث أن T of X بده يساوي
zero، يبقى هذا بده يساوي كل الـ X اللي موجودة في RN
such that
الـ T of X حسب الـ definition مين؟ الـ AX بده يساوي
Zero بالشكل اللي عندنا هذا، يبقى هذا إيش معناه يا
بنات؟ كل الـ X اللي موجودة في RN يعني column vectors
ما لهم بحيث الـ X يساوي Zero، يعني هذا بيعطينا مين؟
مجموعة الحلول الـ homogenous system، مظبوط؟ يبقى هذا
معناه اللي هو the set of all solutions of the
homogeneous system، الـ AX بده يساوي من Zero، شو شكلهم؟
إيش ما يكون يكون، يبقى مجموعة كل الحلول للهوموجينيا
سيستم، كم حل للهوموجينيا سيستم؟ أما حل واحد هو
الحل الصفري أو عدد لا نهائي من الحلول، وهذا العدد
النهائي يجتمع عالميا على الحل الصفري نفسه، طيب ما
علينا، يبقى حسبنا له كيرنل، يبقى كيرنل تبع هذه الـ
function هو كل الحلول للـ homogenous system، X بده
يساوي مان؟ بده يساوي Zero، طيب نمرة الـ C، نمرا سيجا
اللي هتلاقي الـ range تبع الـ T، باجي بقول له الـ range
تبع الـ T هو مين؟ كل العناصر اللي موجودة في الـ RM
يبقى كل الـ vectors Y اللي موجودة في الـ RM بحيث أن
الـ Y هذه بدها تساوي T of X for some X اللي موجودة
في الـ RN مش هيك؟ تعريف الـ range، مظبوط؟ كل العناصر
اللي موجودة في الـ domain RM واللي إلها أصل في الـ
domain RM، طيب تمام تمام، يبقى هذي بدي أعيد صياغتها
مرة ثانية فبقول كل الـ Y اللي موجودة في RM such
that الـ Y بده يساوي T of X حسب الـ definition بده
يساوي مين؟ الـ AX، هي
نكمل، for some X
اللي موجودة في الـ RN، إذاً كل الـ Y اللي موجودة في
الـ RM بحيث الـ Y على الشكل A of X for some X اللي
موجودة في الـ RN، يعني إيش قصدي نقول؟ يبقى كل القيم
اللي هي Y بحيث الـ non homogeneous system has a
solution، ماقلتش حلول هذا ال system لأ، يبقى باجي
بقول هذا الكلام بده يساوي the set of all elements
Y الموجودة في الـ RM such that بحيث أن الـ system
AX يساوي Y has a solution
يعني المقصود بهذا الحل الـ Y's ولا الـ X's؟
الإجابة الـ Y's، لأن هذا الـ non homogeneous system
قد يكون له حل وقد لا يكون له حل، مش هيك؟ ده اللي
أخذناه قبل كده أن الـ non homogeneous system ممكن
يكون مالوش حلول وممكن يكون حل وحيد وممكن يكون
عدد لا نهائي من الحلول، هذا ما تقوله؟ كل العناصر Y
بحيث الـ system هذا له حلول، يبقى لو مالوش حلول
ما لهم مستبعدة كليا، يبقى سواء كان حل واحد أو عدد
لا نهائي من الحلول، على كل الأمرين الأمر الجوابي لأن
هذا مالوش جواب صحيح، إذا طلع الفرق ما بين A و B، الـ B
يا ترى subset من RN ولا RM؟ من مين؟ من RN، هذا الـ
kernel، طيب الـ range subset من مين؟ من RM، لأن الـ
range المدى الصور تبعت العناصر، يبقى في الـ RM كل
الـ solutions تبع الـ homogeneous system، الـ solution
يعني قيم X، والـ X قلنا وين موجودة؟ بالنسبة للـ RM
يبقى هذا يتفق وكلمنا تماما، الـ range قلنا هو جزء
من الـ RM، لذلك قلنا الـ range كل العناصر اللي
يعني وين موجود كل واحد فيهم؟ في الـ R M يعني كأنه
ايش A1 و A2 مقصدي الـ A1 بده يساوي X1 و X2 لغاية X
M تمام يعني موجود في الـ R M تمام التمام طيب كويس
احنا عايزين الان كيف أنا مش سامع ليه حطت هنا AN مش
M في واحد لماذا الموجودة في الـ R M كل element
مكون من M من العناصر بدل ما هو الرقم الأول فاصل
الرقم اللي كتبته على شكل عمود مكون من M من الصفوف
و عمود واحد فقط يبقى أقول إن كل الـ A N كلهم R M
في one matrices
belongs to R M يبقى كلها موجودة في الـ R M بالشكل
اللي عندنا هنا ايش بيقول لي؟ بيقول لي هذه الـ T اللي أنت
أخذتها من الـ R N للـ R M بدي أثبت إنه دائما و أبدا
بقدر أكتبها على مين؟ على الشكل اللي عندنا هذا
يمكنني أن أروح أخد element X موجود في R N و أشوف شو
بدي أساوي أنا إذا لو جيت قلت خد لي الـ X اللي هو بدي
أساوي من X1 و X2 و لغاية XM الإنسان موجود في كل
مكان بالـ R N يعني T بيقدر يؤثر عليه حتى أقول T of X
بدي أثبت أنه بدي يساوي main X طيب هذا مش يساوي
مجموعة من الـ vector X 1 و 0 و 0 لغاية الـ 0 زائد 0
و X 2 و 0 و 0 زائد و تبقى ماشية لغاية ما توصل إلى
0 و 0 و XN ولا لأ يبقى هذا العنصر كتبته على شكل
مجموعة من مين؟ من العناصر يبقى لو جيت أخدت x1 عامل
مشترك بيظل كده؟ 100 زيد x2 0 و 1 و 0 و 0 زيد ان
بيظل ماشيين xn 0 و 0 و 1 بالشكل اللي عندنا هذا يبقى
واحد وهيجفلنا مين؟ الجوز لعلكم الآن أدركتم ما هو
السر اللي خلاني أبدأ بمين؟ بالفرضية اللي عندنا هذه
تمام؟ يبقى هذه كإنه ايه يا شباب؟ كإنه X1E1 وهذه
X2E2 وضلت ماشي إلى غاية XNEN هذا مين؟ الـ X يبقى
الـ X اللي عندي هذا كتبته على شكل linear
combination من عناصر الـ bases تمام الان T linear
transformation بدي أخليها تأثر على مين؟ على X يبقى
بالداجي هاخد له T of X اللي أنا بدور عليها يبقى
بتثوي T للمقدار هذا كله و نظرا لأنها T Linear
Transformation يبقى بتصير T of X1 E1 زائد T of X2
E2 زائد زائد T of X N E N ليش الكلام هذا؟ since لأن
T is a linear transformation طيب من خواص الـ
linear transformation الان الـ E1 vector طب و الـ X1
vector ولا scalar أول خاصية يبقى هنا X1 في T of E1
زائد X2 في T of E2 زائد زائد XN في T of EN يبقى هذا
الكلام بدي يساوي X1A1 زي الـ X2A2 زي الـ XNAN حسب ما
نفترض فوق صحيح ولا لأ؟ طيب و قلنا الـ A هات مالهم
هدول؟ مصفوفات يبقى هدول مالهم مصفوفات طيب سؤال أليس
هذا هو حاصل الضرب AX؟ صح ولا لأ؟ لأن هذه الـ A
مصفوفات اللي عندنا هذه تمام؟ كأنه ايش؟ كأن الـ E1
مصوفة عمود الـ A2 مصوفة عمود الـ A3 مصوفة عمود
الـ A4 مصوفة عمود الـ A5 مصوفة عمود الـ A6 مصوفة
عمود الـ A7 مصوفة عمود الـ A8 مصوفة عمود الـ A9
مصوفة عمود الـ A9 مصوفة عمود الـ A9 مصوفة عمود
الـ A9 مصوفة عمود الـ A9 مصوفة عمود الـ A9 مصوفة
عمود الـ A9 مصوفة عمود الـ A9 مصوفة عمود الـ A9
مصوفة عمود الـ A9 مظبوط يبقى هذا الـ AX where حيث الـ
A هي المصحوفة لعمودي a1 و a2 و لغاية an بالشكل
اللي عندنا يعني كل واحد من A1 و A2 و AN هو عمود
لمن؟ للمصفوفة A يبقى من الأنفا ساعدنا أي Linear
transformation من الـ R N إلى الـ R M تكون دائما و
أبدا على الشكل T of X بيساوي 100 يساوي AX و هكذا
حد فيكم بيحب يسأل أي سؤال هنا؟ طيب انتهينا من
المثال الثاني بدنا نروح للمثال الثالث
Example 3 بيقول
Let T من R3 لغاية R3 بـ A linear transformation
defined by معرفة على الشكل التالي T of X هو عبارة
عن T R X1 و X2 و X3 بالشكل اللي عندنا هذا بده يساوي
حاصل ضرب 101 112213
في X1 X2 X3 الشكل اللي عندنا هذا المطلوب الأول نمر
ايه find الـ Kernel التي و الـ dimension للـ Kernel
التي نمر بيه find a basis
Find a basis for R of T و الـ dimension للـ R of
T نمره
C Find T of واحد و اتنين و تلاتة نمره D is the
element
اتنين و خمسة و سبعة موجود في الـ R of T ام لا؟
سؤال مرة ثانية طبعا زي ما أنتم شايفين من سؤال إلى
سؤال بتختلف الفكرة شوية بيقول افترض T من R3 إلى R3
بيه Linear Transformation واضح من R N إلى R M ايش
اتفاجنا النصيقه دائما من T of X بديه يساوي من؟ بديه
يساوي X من المثال اللي جاب له يعني كأنه سؤالنا هذا هو
تطبيق عملي على من؟ على المثال اللي جاب له، مظبوط؟
يبقى كأننا بنأخذ أن مثال عددي تطبيق على المثال
النظري اللي جاب له يبقى معرفة كالتالي T of X الـ X
هو اللي موجود في R3 يعني T of X واحد و X اتنين و X
تلاتة بتكتبهم على شكل عمود يبقى يقول T of X واحد X
اتنين X تلاتة بده يساوي حاصل ضرب المصوفة A أخذناها
بالشكل هذا في X اللي هو X واحد و X اتنين و X تلاتة
يبقى هذه الـ Linear Transformation اللي عندنا
مطلوب من هذه الـ Linear Transformation هي تبدأ الـ
Kernel و بدي الـ dimension للـ Kernel لأن Kernel ماله
sub space يعني Space بدي الـ dimension له جداش تنين
بدي basis للـ Range بدي الـ vectors اللي بولدولي الـ
Range تبع من الـ subspace R of T و بعد هيك بدي الـ
dimension كمان للـ R of T يعني كل نقطة زي ما تلاحظت
ب main بمطلبين لكن إذا جبت المطلب الأول بيصير
المطلب التاني سهل تحصيل حصل المطلوب نمرى C بيقول
لي هات لي T of واحد و اثنين و تلاتة بتعرف قداش صورة
واحد و اثنين و تلاتة شو بتعطيني الأمر الرابع بيقول لي
هل العنصر هذا موجود في الـ Range أم لا؟ بيقول له
الله أعلم يبقى بدجي للنقطة الأولى اللي هي A قال
لي هات لي الـ Kernel بيقول له قبل الـ Kernel خليني أحط
هذه في شكل ألطف من هيك شوية بيقوله كيف بيقوله هيتي
of X1 X2 X3 كمصفوفة الشكل اللي عندنا تمام؟ بده
يساوي حاصل ضرب هدول طب مضربهم في بعض ماشي يبقى لو
روحت ضربتهم في بعض بيقول لمين الصف الأول في العمود
الأول يبقى X1 زائد X3 الصف الثاني يبقى X1 زائد X2
زائد 2X3 الصف التالت 2X1 زائد X2 زائد 3X3 هاي
ضربناها يبقى هذا الـ Linear transformation المعرفة عنه
جالي هاتل الـ Kernel باجي بقوله اه الـ Kernel التي هو كل
الـ X's اللي موجودة في الـ R3 اللي عندها و اللي
صورتها T of X بده يساوي مين؟ بده يساوي Zero يبقى
هذه كل الـ X's الـ X هذه اللي هي مين؟ X واحد و X
اتنين و X تلاتة اللي موجودة في الـ R3 صتش دهلما
أقول هذا الـ T of X يساوي 0، الـ T of X يساوي مين؟
يساوي هذا كله، معناته هذه بدها تساوي مين؟ بدها
تساوي المصوفة الصفرية يبقى ده such that المصوفة دي
X1 زائد X3 و هنا X1 زائد X2 زائد 2 X3 و هنا 2 X1 زائد
X2 تلاتة X3 كله بيساوي المصفوفة الصفرية اللي عندنا
بالشكل هذا تمام؟ اذا انا طبقت حتى الان تعريف من الـ
Kernel هذا يا بنات بيقودنا إلى كم معادلة؟ يعني هو
homogeneous system صح ولا لأ؟ يبقى هذا يقودنا إلى
ما يأتي ان X1 زائد X3 يساوي 0 و X1 زائد X2 زائد 2
X3 يساوي 0 و 2X1 زائد X2 زائد 3X3 يساوي 0 هذا عبارة
عن ماذا؟ Homogeneous System بحاول نحل الـ
Homogeneous System بأي طريقة من الطرق التي سبقت
دراستها طبعا الـ Homogeneous أسهل من الـ Non
-Homogeneous في الحل و بالتالي ممكن نجيب الحل
بسهولة بدون ملجأ لـ Gaussian ولا لـ Rho Epsilon
Form إلى آخرى فمثلا لو جيت قلت هنا X واحد تتساوي
مين يا بنات؟ بدي يساوي سالب X3 مظبوط طيب إذا لو جيت
على المعادلة الثانية هذه ايش بيصير؟ سالب X3 زائد X2
زائد 2 X3 بدي يساوي Zero و هنا سالب 2 X3 زائد X2
زائد X3 زائد X2 زائد X2 زائد X3 زائد X2 زائد X2
زائد X2 زائد X2 زائد X2 زائد X2 زائد X2 زائد X2
زائد X2 زائد X
بتبقى X2 زائد X3 يساوي 0 و هذه بتعطيني X2 زائد X3
يساوي 0 يعني بتعطيني مين؟ نفس المعادلة إذا من
الاثنين هدول بقدر أقول إن X2 بده يساوي سالب X3 يبقى
بناء عليه لو كانت X تلاتة تساوي A then X واحد كده
بده يساوي و X2 بده يساوي كده؟ سالب A يبقى أصبح الـ
Kernel لمن؟ لـ Linear Transformation T هو عبارة عن
من؟ The set of all elements X1 اللي يبقى كده؟ سالب
A و X2 اللي هو سالب A و X3 اه و هذا اللي بقدر أكتب
عليه الشكل التالي كل المصوف اللي على شكل ناقص ايه
ناقص ايه و ايه such that اه و هذا اللي بده يساوي
كمان ايه؟ لو أخدت عامل مشترك بده يكون مين؟ ناقص واحد
ناقص واحد واحد such that الـ A موجودة في الـ set of
real numbers يعني ما حطيتش عليها أي قيود لأي عدد
حقيقي من مكان يكون تمام؟ إذا أصبح الـ Kernel من هو؟
هو كل الـ vectors اللي المركبة الأولى تساوي المركبة
الثانية و المركبة التالتة بأس تساويهم لكنها تختلفهم
في من؟ الإشارة يبقى الـ vector هذا مال إيش علاقته
بالـ Kernel؟ بجيب بعض عناصر الـ Kernel ولا كلهم؟ يعني
ايش بينفع يكون؟ basis لأنها مستقل حاله لينياري مش
معتمد على غيره يبقى هذا لينياري independent اثنين
كل عنصر في الـ Kernel بقدر أكتب دلته حطيت قيود على
ايه لأ يبقى حط الرقم اللي يجبك وهذا ثابت يبقى هذا
معناته الـ basis للـ Kernel هو مين؟ الـ vector اللي
عندنا هذا يبقى هذا معناه ايش؟ معناه ذا Vector لحاله
أو the set هذا معناه الـ vector
على الشكل هذا سالب واحد سالب واحد هذا is a basis
for الـ Kernel التي هذا معناه ان الـ dimension للـ
Kernel of T يساوي جداش يا بنات خلصنا المطلوب الأول
قال لي هات لي الـ Kernel و في نفس الوقت هات لي الـ
dimension تمام؟ إذا هنجيب له الـ Kernel من هو كل 365
التالى لو طلعوا هدول linearly independent بيصير هم
الـ bases طب لو طلعوا linearly dependent بدك تدور
على الـ bases تعالوا نطلع هيك ندقق النظر لو جمعت الـ
two vectors هدول قد ايش بيعطيني ايه التالت بيعطيني
التالت 1 زي 0 بـ 1 و 1 بـ 1 بـ 2 بـ 2 بـ 1 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3
بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3
بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3 بـ 3
وبالتالي الاتنين هذول بيوصلوا بيوصلوني لجميع عناصر
الـ vector of space أو الـ subspace R of T طب و
التالت مش جزء و التالت ما هو linear combination من
الاتنين صحيح ولا يعني ايه بقدر اخلي هذا في شجرة و
أضربه هذول على شجرة ثانية ساوى صفر و اخليها سالب
سالب و انت ايه رأيك منهم يبقى ده اسمه linearly
dependent لكن اتنين هذول linearly independent يبقى
باجي بقول هنا الآن الواحد والواحد واثنين زائد صفر
واحد واحد بده يساوي واحد اثنين ثلاثة إذا لا يمكن
أقول ان التلاتة دول linearly independent لكن يا
بنات بقدر أقول هنا the vectors v1 اللي هو بده يساوي
1 1 2 و v2 بده يساوي 0 1 1
مالهم linearly independent السبب because anyone of
v1 and v2 is not multiple of the other ولا واحد
فيهم مضاعفات الثانية يبقى هدول ايش بيشكلولي؟
بالنسبة لـ R2 بيبقى هنا أساس
V1 V2 V3
V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V12 V13 V12 V12
V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12
V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 V12 2 عدد
العناصر في الـ Basel إذا خلصنا من المطلوب الثاني
قال لي هات لي Basel للـ R of T of 2 of T جيبنا له و
قال لي هات لي الـ dimension جيبنا له الـ dimension
قال لي بعدين هات لي صورة العنصر T of 1 و 2 و 3 إذا
بيدّعي للمطلوب التالي
إذا المطلوب الثالث نمرى الـ C بدنا T of واحد و اثنين
وثلاثة من وين بده أجيب له هذا؟
من وين بده أجيب له؟ وين هي؟ مش هذه؟ مش T of element
يساوي أي عنصر في الـ range على الشكل اللي عندنا هذا
يبقى ده بيقول X1 زي X3 كذا يبقى بناءً على هذا
الكلام بده يساوي بده يساوي من X1 زي X3 يبقى 1 زي 3
العنصر الثاني X1 زي X2 زي 2X3 يبقى 1 زي 2 زي 3
يبقى هذا العنصر الثالث 2x1 يبقى 2 في 1 زائد 2 زائد
3 في 3 بالشكل اللي عندنا هذا تمام 1 زي 3
قد ايش 4 هنا 2 في 3 بـ 6 و 3 بـ 9
9 و 2 بـ 11 و 2 بـ 13 اذا صورة العنصر
1 و 2 و 3 هي 4 و 9 و 13 أظن
واضح ادى كيف جبناها؟ جبناها من خلال التعريف لما
قلنا T of X واحد و X اثنين لما ضربنا المصفوفة T
الاثنين هذول طلعت على الشكل اللي قدامنا هذا طيب
بسأل كمان سؤال بقول له هل العنصر هذا موجود في الـ
range أم لا؟ بقول له الله أعلم تعالوا نشوف يعني هل
العنصر 2 و 5 و 7 موجود في الـ range تبع
الـ T باجي بسأل مين هو الـ business تبع الـ T؟ إذا
قدرنا نكتب العنصر هذا على صورة linear combination
من الاثنين هذول بصير موجود في الـ range صح ولا لأ
وإذا ما قدرناش يبقى مكون برة الـ range طبعا إذا بداجي
لمن؟ لنمردي بداجي أخذ العنصر اللي هو 2 و 5
و 7 يبقى 2 و 5 و 7 بقدر اكتبه على شكل
مصفوفة 2 5 7 مش هيك قلنا هذا if and قولي
if و بقدر اكتبه فوقي كمان طب ايش رأيك؟ انا بدي أكتب
عليه شكلًا يعني بدي الرقم الأول جد الرقم الثاني
الرقم الأول عندي قد ايش 2 والرقم الثاني بدي
يكون زيه 2 والرقم الثالث بـ 2 يبقى بدي اكتب
4 زائد
ايش بيظل عندي؟ بدي اكتبه الحين من 2 أخدت 2
بيظل كده؟ 0 من 5 أخدت 2 بيظل كده؟
3 من 7 أخدت 4 بيظل كده؟ 3 يبقى
هذا الكلام .. بقدر أخد 2 عامل مشترك ايش بيظل
عندي؟ 1 1 2 بقدر أخد 3 عامل مشترك
0 1 1 linear combination من الاثنين؟ يبقى
موجود في الـ range ولا لا لإنه يبقى كتبت هذا الـ
element بواسط عناصر البذل لو ما قدرتّش يبقى بنقول
مش موجود طبعا هذه طريقة سهلة جدا بمجرد النظر لكن
الأصل ان أقول 2 و 5 و 7 يساوي يكون اصلا في
الأول ويكون اصلا في الثاني و اروح احل الـ non
homogeneous system تمام يبقى هذا معناه هذا يبقى
2 و 5 و 7 is a linear combination of the
elements of the bases of R of T Thus و هكذا 2
5 7 و عنصر موجود في R of T و هو المطلوب حد
فيكم بتحب تسأل اي سؤال هنا يا منال؟ اي سؤال؟ طب
لازلنا في نفس الـ section و هناك بدل المثال 2
لسه كمان لإن الموضوع هذا قلت لكم هذا الـ section
بالذات very important و لازم يجي عليه سؤال في
امتحان أعمال الفصل و كذلك النهاية وضع طبيعي لازم
يكون هذا يعطيكم العفو