بسم الله الرحمن الرحيم لنرجع لل section اللي
ابتدأنا فيه المرة الماضية وهو ال trigonometric
substitutionوقلنا إننا نأخذ الطريقة الثانية من طرف
التكامل وهي التعويض بدالة مثلثية قلنا إذا لدينا جذر
على شكل A تربيع ناقص X تربيع تحت الجذر أو A تربيع
ناقص X تربيع مرفوعة لأس معين التعويض بـ A sin θ و θ ما
بين سالب باي على 2 إلى باي على 2 وإذا كان لتحت
الجذر A تربيع زائد X تربيع تعويضه بـ A tan θ
و θ ما بين سالب باي على 2 إلى باي على 2 ك open
interval لكن في حالة الـ sin ك closed interval وإذا
كان الجذر X تربيع ناقص A تربيع
عن الإشارة السالبة للثابت وليست للمتغير فالتعويض بـ
X يساوي A sec θ و θ محصورة ما بين الـ zero والـ
pi على 2 من عند الـ zero مغلقة ومن عند الـ pi
على 2 مفتوحة يبقى هذا اللي تعرضنا له المرة
الماضية ورسمنا المثلث في كل حالة وابتدأنا إن أنا
آخذ مثل لو أخذنا مثلاً واحداً وهذا اللي قدامنا مثال
رقم تمام واضح أنه ما عنديش جذر بس عندي قوس والقوس
مرفوع لأس واحد 2 3 10 جد ما يكون هنا
الحمد لله لأس بس واحد يبقى بدنا نيجي نحل الهدف
بطريقة Trigonometric Substitution بقوله قوس يبقى
احنا عندنا X تربيع زائد 4 الإشارة هنا داخل القوس
عبارة عن زائد يبقى التعويض بدلالة tan θ إذا
بدنا نقوله هنا حط للـ X يساوي 2 tan θ و θ
أكبر من سالب باي على 2 وأقل من باي على 2
بدنا نجيب DX كمان يبقى بـ 2 sec تربيع θ
في d θ إذا نقلت المسألة إلى الشكل التالي الـ DX
اللي هي بـ 2 sec تربيع θ d θ على X تكعيب
بدنا نكعب هذا المقدار يبقى 8 tan تكعيب θ
وافتح قوس الـ X تربيع بدنا نربعها يبقى 4 tan
تربيع θ زائد 4 يبقى المثلث بدل ما كانت
بدلالة X حولتها كلها بدلالة θ بدلالة θ يبقى
أصبحت المثلث على الشكل التالي هي تكامل عندي في البسط
هي 2 على طلع لي هنا 4 مع 4 تقلع برا
4 في 8 يبقى هي الـ 4 في 8 بالشكل
اللي عندنا 4 في 8 البلادنا مين؟ البلادنا tan
تكعيب θ و البلادنا tan تكعيب θ و 1 زائد tan
تربيع θ لمين؟ بـ sec تربيع θ و d θ فوق هذه لو
جينا اختصرناها بيظل 1 على 16 في تكامل sec
تربيع θ تروح مع الـ sec تربيع ويبقى عندنا ايه؟ 1
على tan تكعيب θ الـ tan مقلوب من cot يبقى 1 على
tan تكعيب هي cot تكعيب θ في d θ يبقى تحولت
مسألتي بدل ما هي بدلالة X بدلالة θ واصلت مسألتي
كلها cot تكعيب θ هذا الشغل كنا نشتغله في Calculus
A وليس في Calculus B كنا في Calculus A بنقول cot
تربيع θ في cot θ في d θ بعد ذلك 1 على
16 تكامل الـ cot بروح أكتبه بدلالة الـ cosecant
يبقى cosec تربيع θ ناقص 1 في cot θ في
d θ لو فكينا هذه بيصير 1 على 16 تكامل
لـ cosec تربيع θ cot θ في d θ ناقص cot
θ كل هذا الكلام بالنسبة لمن؟ بالنسبة إلى d
θ أو إن شئتم cot d θ بدون d θ هنا فكيت
بس القصة هاي d θ للكل برا طبعاً؟ يبقى هذه لا
وجود لها هنا طبعاً؟
يبقى هذا الكلام بده يساوي 1 على 16 فيه
تكامل ممكن أوزع الآن التكامل للاتنين الكثير كانت
تربيع هي مشتقة مين؟ cot يعني هذه الـ cos كانت تربيع
θ مع الـ d θ هذه ممكن أشيل وأكتب بدلها
لومين d cot بس تفهموا cot بالسالب cos كانت
تربيع معناته بدي إشارة من كمان بدي إشارة سالب يبقى
هذه السالب cot θ مشتقة cot θ وكأنه
احنا صرنا بدنا الكائن كامل بالنسبة لمن؟ بالنسبة
لـ cot θ هذا الجزء الأول وصلنا للناقص هذه
بجهزها ناقص 1 على 16 وهي تكامل الـ cot هي
عبارة عن cos θ على sin θ d θ بس بكتبها
للي ناسي أما الأصل اللي حط لك على طول لأن أول ما
قدرنا الـ chapter كتبنا لك جداش تكامل الـ cot اللي
عنها ده يبقى هذا الكلام يساوي سالب 1 على 16
وهذه جداش cot تربيع θ على 2 ناقص 1
على 16 لين absolute value لـ sin θ زائد
constant C طب استنى شوية المثلث في الأساس بدلالة الـ
X وأنت طلعتها لي بدلالة مين؟ بدلالة الـ θ ايه؟
أنت بتحول مثلثك كلها بدلالة مين؟ بدلالة الـ X بنجي
على هذه الأساسية وبنجي من قول هذه تعني إن tan θ
بدها تساوي الـ X على مين؟ على الـ 2 إذا لو روحنا و
رسمنا المثلث بالشكل اللي عندنا هذا وقلنا هذه
الزاوية θ وهذه الزاوية القائمة الظل يساوي
المقابل على المجاور يبقى هذا X وهذا 2 وهذا الجذر
تربيع لـ X تربيع زائد 4 حسب نظرية فيثاغورس يبقى
هذا الكلام يساوي سالب 1 على 16 في 2
بـ 2 و 32 يبقى 32
بالله الـ cot في تلك cot المجاور على المقابل يعني
2 على X الكل تربيع هذه خلاصنا من هذه نجي
لبعدها ناقص 1 على 16 ونجي لإن absolute
value للـ sin θ الـ sin θ يساوي بالمقابل على
الوتر يبقى الـ X على الجذر التربيعي لـ X تربيع
زائد 4 زائد كونستانت C هذه لو ربعناها بيصير
4 مع 32 بيصير قداش؟ سالب 32 في 1
على X تربيع هذه اختصارات ما فيهاش ناقص 1 على
16 لين absolute value X على اللي هو الجذر
التربيعي اللي هو X تربيع زائد 4 زائد 4 و
هنا زائد constant C يبقى التعويض بتاع كاملة على شكل
الإشارة داخل القوس أو تحت الجذر المثال رقم 3
بدنا تكامل للجذر التربيعي لـ 5 X تربيع ناقص 9
على X كله بالنسبة إلى d X بنروح للمثال رقم 3
فلاحظنا عندي الجذر بس لأول مرة بيجابلنا شغلة زي كده مش
X تربيعها وإنما الرقم مضروب في من؟ في الـ X بسيطة
ممكن هذا الرقم ياخذه برا عامل مشترك ويطلع برا خالص
وممكن يخليه زي ما هو ما معناهاش مشكلة يعني ممكن آخذه
برا عامل مشترك وممكن أخليه جوا خليه جذر 5 X
كل تربيع سياسية عملت هيك والله هيك بتفرجش عنا
يعني قدامي خيارين يا بأخذ 5 بطلعها برا الجذر
تطلع بجذر 5 عامل مشترك برا خالص بالمرة يا بقول
جذر 5 مضروبة في X كل تربيع هو عبارة عن هذا
المقدار هيك والله هيك سياق للاثنين نفس الشيء
فمثلاً لو جيت قلت هذه تكامل تحب إن تبقى الـ 5 جذر
الـ 5 أو جذر الـ 5 X لكل تربيع؟ برا برا برا
برا برا برا برا برا برا برا برا برا برا برا
برا برا برا برا برا برا ب
يبقى يا جذر 5 خليك برا على الهياد الإيجابي وعدم
الانحياز نجي لما قال الباقي شو ضال عندي؟ ضال عندي
الجذر التربيعي لـ X تربيع ناقص 9 على 5 كله على X
في الـ DX
نجي نطلع للإشارة تحت الجذر الإشارة تحت الجذر
بمين؟ بالسالب السالب للمتغير ولا للثابت؟ للثابت
يبقى تعويضه بدلالة sec θ إذا بدك تقولي حط الـ X
يساوي الـ A اللي هي 3 على جذر 5 في sec θ
والـ θ هذه محصورة ما بين الصفر وما بين الـ pi على
2 بلزمنا هنا DX إذا هضطر أشتق هذه إذا لو جينا
أشتقينا هذه بصير الـ DX بدها تساوي 3 على جذر 5
آه وتفاضل ب 6 ثيتا 10 ثيتا في d ثيتا يبقى آلة
المسألة إلى الشكل التالي جذر خمسة ما لكش دعوة Y
تكامل Y الجذر التربيعي X تربيع بدنا نربع هذه يبقى
تسعة على خمسة sec تربيع يبقى تسعة على خمسة في sec
تربيع ثيتا ناقص تسعة على خمسة كله على X اللي في
المقام اللي هي 3 على جذر خمسة 3 على جذر
خمسة في sec الزاوية ثيتا في DX DX اللي هي 3 على
جذر خمسة sec ثيتا tan ثيتا في DX
طيب نبدأ نختصر الاختصارات 3 على جذر خمسة مع
3 على جذر خمسة sec مع sec الله يسهل عليها من هنا
نطلع 9 على 5 برا الجذر بتطلع 3 على جذر
خمسة وعندك هنا جذر خمسة يبقى يساوي هي جذر خمسة لبرا
وهي 3 على الجذر خمسة وهي تكامل 9 أخماس مع
9 أخماس أخذناها برا الجذر 3 على الجذر خمسة
بظل ال sec بيناقص 1 ليه بقدرش؟ ال sec
بيطلع من تحت الجذر بتاني يبقى هاي tan ثيتا و برا
طايل عندي جداش tan ثيتا دي ثيتا والباقي كله
انتهينا منهتمام؟ يبقى النتيجة يساوي جذر بساوي
3 طبعا جذر خمسة مع جذر خمسة وهذه تكامل tan في
tan tan تربيع ما أعرفش كمانها لكن لو حاولت بدلت ال
sec تربيع تتكامل على طول يبقى هذه عبارة عن sec
تربيع ثيتا ناقص 1 دي ثيتا يبقى 3 tan ثيتا
ناقص 3 ثيتا زائد constant C المثل بدأت بدلالة
ال X بدك تنهيها بدلالة ال X يبقى بدأ أرجع ثيتا دي
بدلالة X بدلالة X لذلك بدنا نيجي على هذه التعويضة
اللي استخدمناها وبدأ أجيب منها sec ثيتا ف sec ثيتا
عندك هنا بيده يساوي اللي هو جذر خمسة X على 3
جذر خمسة X كله على مين؟ على 3 ولو رسمنا المثلث
بالشكل أن هذا هي ثيتا وهي الزاوية القايمة ال sec
يساوي الوتر على المجاور يبقى ال water جذر خمسة X
والمجاور 3 وحسب في فيثاغورث الضلع الثالث 5 X
تربيع ناقص 9 إذا هذه صارت 3 في tan ثيتا
يبقى المقابل على المجاور يبقى الجذر التربيعي إلى
خمسة X تربيع ناقص 9 على المجاور اللي هو 3
وهنا عندك ناقص 3 sec inverse جذر
خمسة X كلها 3 زائد كل أسطن سي ويساوي 3
مع 3 الله يسهل عليها يبقى الإجابة النهائية ال
square root
الرابع السؤال الرابع بيقول يتكامل لل X tan inverse
X على 1 زائد X تربيع قوس 3 على 2 كله في
DX
والله ليه كويس هنا للسؤال الرابع السؤال الرابع مرة
جيبناه في إحدى الامتحانات والسبب لإنه بيستاهل يكون
سؤال امتحان لماذا هذا ما ستعرفونه بعد قليل باختصار
هيك يعني نستخدم أكثر من طريقة من طرق التكامل اللي
اتعلمناها لحل هذا السؤال يبقى بمجرد النظر هل
التكامل هذا يحتوي على جذر تربيعي؟ كيف يا عزيزي؟
خليه، شو هو 3 على 2؟ يعني الجذر التربيعي
للجوز تكعيب، مظبوط ولا لأ؟ إذن يحتوي على الجذر
التربيعي، يبقى أول ما أفكر بدأ أتخلص من الجذر
التربيعي، يبقى الجذر التربيعي هنا إشارة موجبة بيبقى
ال X هي بدلالة ال tan ثيتا يبقى باجي بقوله حط لل X
تساوي tan ثيتا فقط لا غير و ثيتا أكبر من سالب باي
على 2 وأقل من مين؟ من باي على 2 يبقى هذا
الكلام يستوي تكامل ال X هي عبارة عن tan θ و هذه
tan inverse ل tan θ و ال DX اللي عبارة عن sec
تربيع θ في dθ يبقى sec تربيع θ في dθ انتهينا من
البسط أو ال numerator نيجي للمقام اللي هو ال
denominator 1 زائد ال X تربيع اللي هي عبارة عن
tan تربيع ثيتا كله أس 3 على 2 يبقى هذا
الكلام بده يساوي تكامل tan inverse ل tan ثيتا جداش بده
يعطينا .. لما تيتا تبقى محصورة في الفترة هذه
بيعطينا θ فقط، ما غير إذا صار هذا θ في tan
ثيتا وعندنا هنا sec تربيع ثيتا على طلع لي هنا 1
زي ال tan تربيع sec تربيع قوس 3 على 2 جداش؟
sec تكعيب ثيتا وكله في d ثيتا نختصر ال sec تربيع مع
ال sec تربيع من المقام بصير θ tan θ كله قوس
على sec θ في dθ فنشوف لوين وصلتنا هذه تكامل
ل θ في ال tan بيبقى sin θ
على cos θ وال sec مخلوق من ال cos يبقى في cos
θ في dθ cos مع cos الله يسهل عليها يبقى آلة
المسألة يتكامل θ sin θ dθ
Integration by parts من هنا بيستاهل يكون سؤال امتحان
لو في كمان كلام تاني مش هجد هيك يبقى بكون استخدام
طريقتين من طرق التكامل في حل هذا المثال الطريقة
الأولى is trigonometric substitution الطريقة
الثانية integration by parts مش integration by
parts لأ الجدول تبع integration by parts الست علاء
اللي ذكرناهم هذه عبارة عن ايه؟ عن واحدة فيهم، إذا
باجي بقوله بتاخد هنا ال derivatives و بتاخد هنا ال
integrals ل derivative θ sin θ تفاضلها
ب 1 تكملها بسالب cos θ تفاضلها ب 0
تكملها بسالب sin θ هدف هدف الموجب هذا في هدف
السالب، إذا قالت لك المسألة إلى سالب θ cos θ
زائد sin θ زائد constant C يبقى باركتين، الأولى
ال trigonometric Substitution وصلتني إلى
Integration By Parts هذه من الستة المشهورات، روحنا
عملنا لها الجدول، كتبنا النتيجة بعد هيك بدأت أنت
بال X، بدك ترجع لمين؟ تكتب مسألتك بدلالة ال X إذا
برجع لتعويض تابعتي هذه يبقى هاي التعويض تابعتنا
اللي بتقول tan θ بدها تساوي جذر X إذا بدنا نروح
نرسم له المثلث هذا المثلث وهذا الزاوية θ وهذا
الزاوية القاعدة أو الظل يساوي المقابل على المجاور
حسب فيثاغورث هذا 1 زائد X تربيع طيب كده صارت
المسألة ناقص θ من هنا عبارة عن إيش يا شباب يعني
العبارة المكافية لهذه العبارة هي θ تسمي tan
inverse X كده صار هنا tan inverse X يجي لكوا sin θ
المجاور على ال water يبقى على الجذر التربيعي إلى
1 زائد x تربيع زائد sin θ اللي هو المقابل على
ال water يبقى زائد x على الجذر التربيعي إلى 1
زائد x تربيع زائد constant C يبقى راجعنا استخدمنا
من قانون ال inverse trigonometric functions يبقى
جيبنا تلت شغلات في تكامل واحد وبيستاهل يكون سؤال
امتحان للطالب المتميز آه يعني هذا قصدنا نخصبوا
الطلاب اللي هم بيجتهدوا وبيشتغلوا وبيفرجوا على
الطلاب العادي تفضل تربيع مثل ال W متغير اشتغلناها
بتروح ال X وبعدين نفخناها فوق و ضيعنا
ال X وبعدين رفعناها فوق وكملناها بالأجزاء وكان
inverse نكتبها
اشتغلت معاك بأي طريقة تنشيط حل بس بده طريقة تبده
طريقة صحيحة
طب لكيف يفاجئنا ناخذ بأي طريقة صحيحة نحل نقلة
ما لها مشكلة وما لها أثر لكن لما كان موضوع
لموضوع trigonometric substitution حلنا حبينا نحل
بطريقة trigonometric substitution السؤال هو في
الامتحان بيحدد لنا الطريقة لأ بيقول لك و بيليوز اتقالب
انتاج وبيحط لك تكامل إن ثلاثة والله أربعة والله جد من كلهم بيقول لك حل و بس و أنت حل حالك
بالطريقة اللي بتعجبك يعني لا قيود عليك أثناء
الامتحان حل بالتكامل اللي بتعرفيه فضل التعويض اللي
تيجي معاها بتاعة ثانية تلاتة نعوض فيها ونص
التمارين لو تجينا تعويض مجانا trigonometric آه لا
يا صاحب أنت لغاية حبينا ما نفوتش لغاية 8.2
احنا بنتكلم بيه 8.2 وما ليش 8.3
ولا حتى 8.4 طبعا؟ أيوة في تكاملات
طب مش ممكن نكملها بعد الطريقة؟ اللي اخذته قبل كله
بتقدر تستخدمه، مع إنك مشكلة بيها، بس اللي ماخدناش،
ماخدناش لسه قبل ما لسه صحيح ولا لا؟ لأن ما أخدتهوش
يبقى أن كل شغل اخذته قبل تمانية اتنين في شبطر
سبعة في شبطر تمانية استخدمها ولا واحد يستطيع أن
يعترض عليك بكلمة واحد بس استخدام استخدام صحيح ماشي
طيب الآن بروح للسؤال اللي بعده هذا السؤال أربع وزي
ما انت شاف كلها أسئلة مباشرة ونشوف إيش رأيك في سؤال
خمسة خمسة برضه جيبناها في إحدى الامتحانات على EOSX
الجدرى التربية ل EOS2X-16
خلّي منك هذا السؤال برضه جيبناه في احد الامتحانات
السابقة، كويس؟ يعني ماعنديش X، ماعنديش X، لكن بدل
ال X شو هى؟ يبقى عندك تعرف اذا تحط ايه والسكس يساوي
كذا اذا احنا قادم عشان نتخلص من الجدر بيقولوا حطوا
ال ax يساوي كذا اللي هو مين ما يطلع يطلع يبقى لما
اجي اقول حط ال a والسكس يساوي بالإشارة بالسالب
والسالب للثابت يبقى التعويضة بدلالة six ممتاز يبقى
six ثيتا والثيتا هذه أكبر من أو تساوى zero أقل من
بي على اتنين نشتغل يبقى ال E و ال six في ال DX
يسوى six ثيتا ten ثيتا في دي ثيتا أنا ماعنديش في ال
بسط هنا Dx لحالة يبقى
هنا Dx بدها ساوي سك ثيتا تان ثيتا D ثيتا مقسومة
على مين على E والسكس لأ شباب E والسكس ساوية أربعة
أربعة يبقى هنا أربعة يبقى هنا أربعة تمام يبقى هذا
ال EO6 اللي هي على EO6، كويس؟ الان انا بدي اشيل
EO6، لابديش ثيتا و EO6، بدي ثيتا بس، EO6 هي فوق،
اذا بقدر اقول هذه اربع six theta, ten theta, d
theta مقسومة على EO6 هي اربع six theta أربعة سك
ثيتا مع أربعة سك ثيتا في درجة دياش تان ثيتا في دي
ثيتا إذا صارت مسألة هذه على الشكل التالف بدي أشيل
ال dx و أكتب مكانها اللي مذاكنين اللي أخدوا كالكلص
ايه جيبنا لهم في الامتحان سؤال زي هذا و لأول مرة
جيبناه فكان هذا للطالب الممتاز اللي هو سؤال
التكامل هذا البعض طبعا حلو والبعض ماعيش خبرة على
أي حال على نفس الفكرة هذه بالضبط تقسم مش ع رقم
تقسم على متغير و متغير انت فرضه فوق و يتم اختصارات
ايه؟ مع بعضهم على اي حال ال DX هي عبارة عن تان ثيتا
في دي ثيتا عليهم ال six اللي هي أربعة في six ثيتا
وهنا الجدري التربيعي لست عشر six تربية ثيتا ماقص
ستة عشر يبقى هذا الكلام بده يساوي تكامل هنا هذا
واحد برا 16 مع 16 تقلع من تحت الجدر و عندك أربع
يبقى واحد على ستاشر و في ال bus تان ثيتا في دي ثيتا
و المقام سيك ثيتا ابنجي سيك تربية ناقص واحد تان
تربية تقلع من تحت الجدر بتان يبقى تان ثيتا طيب تمام
اتمام الان ten theta مع ten theta فضل قداش واحد
على سك هيق مقلوب من cosine theta في دي فترة يبقى
السؤال اللي مكلك عقل شكل طوله بسيط خالص يبقى ده
واحد على ست عشر sine theta زائد constant C بنروح
نحسب الوصيلة ثيتا اللى عندنا هذا يا ابجبادي بقوله
احنا عندنا مين اللى هو six ثيتا بده يساوي ايه ال
six على قداش؟ على اربع اذا لو روحنا رسمنا المثلث
القائم الزاوية وقلنا هذه θ وهي الزاوية القناة سك
يساوي ال water على المجاور يبقى هذا الضلع التالت E
أس اثنين X ماقص ستاشر إذا بصير المسألة هذه تساوي
واحد على ستاشر Sin يساوي المقابل على ال water يبقى
المقابل اللي هو الجدر التربية ل E أس اتنين X ناقص
ستة عشر على ال water اللي هو E أس X زائد مين زائد
constant C السؤال السادس كمان في شغل من هذا القبيل
بيقول تكامل من واحد إلى إيه لإن ال X الكل تكيب على
X الجدري التربيعي لمين؟ لواحد زائد للتربيع ال X
وهذا كله مين؟ اللي هو DX
طلع ليه كويس المثلة، المثلة فيها جدر، الحمد لله
فيها جدر، جدر تربيعي، تمام؟ يبقى الإشارة تحت الجدر
بمين؟ بالموجة، بس مش X تربية لين X الكل تربية أو
لين تربية لك، يبقى كأنه X تبعت القانون، مين أجي
مكانها؟ هنا بدى أشيل كل إكس بالكامل و أحط بدالها مش
عارف من من النسب المثلثية تان لأن الإشارة بالموجب
والمقدار التربية
الـDX لو جينا فضلها دي بيصير واحد على X DX يساوي
سكتة ربيع ثيتا D ثيتا إذا واحد على X DX هذه كلها
بدي أشيلها و أكتب بدا أنا أجدها سكتة ربيع ثيتا
يبقى هذا سكتة ربيعثيتا في دي ثيتا خلصنا البس ضايل
المقام يبقى على الجدر التربية لواحد زائد تان تربية
ثيتا يبقى صلة المثلة تكامل لتان تكييب ثيتا تان
تكييب ثيتا فاهمين في سك تربية ثيتا عالىواحد زي تن
تربيع سك تربيع تقلع من تحت الجدر بسك ثيتا وهي دي
ثيتا و اللي هو بده يساوي تكامل لتان تكييب ثيتا في
سك ثيتا في دي ثيتا طيب كيف نسوي هذا فيها نحلل
التان موافقين تكامل لتان تربيع ثيتا في تان ثيتا في
سك ثيتا في دي ثيتا تكامل
لسك تربيع ثيتا ناقص واحد تكامل لسك تربيع ثيتا
تربيع ثيتا ناقص واحد سك ثيتا يبقى دي لسك ثيتا اذا
نشيل سك ثيتا تان ثيتا دي ثيتا وحطت مكانها دي سك
يعني مشتقت سك ثيتا كامل الان احنا بنكمل من W تربية
ناقص واحد DW يعني بدنا نضيف للأس واحد ونقسم على
الأس الجديد يبقى هذه تساوي تلت سك تكيب ثيتا هذا ال
term الأول والواحد تكمله بالنسبة لدي سك بسك يبقى
ناقص سك ثيتا زائد constant C نرجع كيف؟ ماشي، ماشي،
هو لا يهمك، حاضر، يلا حدود التكامل والعوض بقى،
يبقى كونوستانسي مافيش، هذا كونوستانسي مافيش، وهذه
حدود التكامل طبعاً نرجع لحدود التكامل من خلال
التعويضة، لو كانت ال X بي إيه لإن الإيه، مين
الزاوية اللي ضلها يسوى واحد وخمسة واربعين درجة،
مظبوط، يبقى هذا يصير باي على أربع لو كانت واحد لإن
الواحد بصفر مين الزاوية اللي ضلها يساوي Zero في
الفترة اللي عندنا هذه يبقى هي Zero إذا تحولت
المسألة تكامل من Zero لغاية Pi على 4 و من هنا من
Zero لغاية Pi على 4 و من هنا ل Zero لغاية Pi على 4
و من هنا Zero لغاية Pi على 4 و من هنا Zero لغاية
Pi على 4 بنعوض بالباية على أربعة طبعا السيك هو
مقلوب ال cosine الخمسة وارعين بواحد على جذر اتنين
اقلبها بتجيب السيك بصير جذر اتنين الكل تكيب له
اتنين جذر اتنين يبقى هذا تلتوهذا اتنين جذري اتنين
تغير من الأول ناقص اللي هو six اللي هو جذري اتنين
دوري فقط ما غير يبقى جذري اتنين هيعوضه بالقيمة
اللي فوق ناقص القيمة اللي تعالى six zero اب واحد
في طول يبقى بناقص طول وهذا زائد و six zero بقداش اب
واحد يبقى الصارع هذا تلتين جذري اتنين و سالب جذري
اتنين مضل كده؟ سالب طول جذري اتنين سالب تلت جدر
اتنين يبقى
الجواب
تلتين ناقص جدر اتنين على تلاتة هذا قيمة التكامل
اللي عندنا
ننتقل الآن إلى السؤال السابع وما أدرك ما السؤال
السابع السؤال السابع بيقول لي تكامل للجدرى التربية
إلى أربعة ناقص X على X كله بالنسبة إلى DX
هذا السؤال في جذر صحيح بس في عندى جذر فى البصر وفي
جذر فى المقام وتبع المقام لا فى مع زاد ولا فى مع
ناقص كمية أخرى اتنين الجذر اللى فى البصر مافيش فى
تربيع من الشغلات ال standard التلاتة اللى احنا
أخدناها المرة الماضية يبقى هذا السؤال ماهواش مباشر
زي الستة أمثلة السابقة وإنما في ناحية فنية بدنا
نشوف إيش الناحية الفنية يعني هل ممكن أنت تحوله
لمين؟ للمسائل تبعها في المرة الماضية نقدر؟ نقدر،
نقدر، ليش ما نقدرش؟ يعني هذا كأنه تكامل الجذر
التكامل لـ أربعة ناقص X على جذر الـ X DX يقوله
بسيطة، حط جذر الـ X بأي متغير آخر، مظبوط؟ إذا لو
حطينا جذر الـ X بده يساوي Y، يبقى الـ X بده يساوي
كده؟ Y تربيع، طب احنا بدنا DX، يبقى باتنين Y DY
طبعا يبقى شكل المسألة أصبح على الشكل التالي هذا
الجذر التربيعي وهي الأربعة ناقص الـ X هي مين؟ Y
تربيع و جذر الـ X هي مين؟ Y و ال dx هي اتنين y dy
أفضل إن بنختصر الـ y مع الـ y و اتنين بشرفنا برا
التكامل و بيبقى لدينا الجذر التربيعي لاربعة ناقص y
تربيع dy يبقى صارت المسألة فيها الجذر تبعناها
اللي اتحدثنا عنه في الجزء النظري المرة الماضية
مظبوط في جذر و تحت الجذر في إشارة لمقدار و واحد
فيهم مقدار ثابت والتاني مربع لمتغير يبقى فعلا هذا
تعرضنا لشكله المرة الماضية وبناء عليه بدنا نحكم
على شكل التعويض تبع هذه المسألة مش أنا أعرف شكل
التعويض، أبقى أبقالي عليه إشارة السين اللي أمامي
المتغير يبقى التعويض بدلالة sin همتاز يبقى بيقولي
حط له هنا الـ Y يساوي 2 في sin الزاوية ثيتا و
ثيتا أكبر من سالب π على اتنين وأقل من π على
اتنين أشتق يبقى dy اتنين cos ثيتا في d ثيتا يبقى
صارت مسألة على الشكل التالي اتنين تكامل الجذر
التربيعي لـ أربعة ناقص أربعة sin تربيع ثيتا ضال
عندي ال dy له اتنين cos ثيتا d ثيتا يبقى اتنين
cos ثيتا في d ثيتا طب تطلع لي هنا كويس، هاي
اتنين اللي برا، واربعة مع أربعة تطلع برا باتنين،
يبقى هاي كمان اتنين، واتنين هادي كمان شرفنا برا،
وهي تكامل، بلقدش هنا واحد ناقص sin ترجع له مين؟ cos
سين تربيع تطلع من تحت الجذر بـ cos ثيتا وعندك
هنا cos ثيتا وهي دي ثيتا تمام؟ طيب هذا الكلام
بده يساوي هدول بتمانية وهدي cos في cos cos
سين تربيع مقدرش أكملها إلا إذا حولتها بدلالة
بدلالة
يبقى من حول ابن ليلة ضعف الزاوية يبقى هذه اللي هي
عبارة عن نص واحد زائد cos اتنين ثيتا كله
بالنسبة إلى D ثيتا يبقى النتيجة تساوي أربعة وهذه
تكاملها بـ ثيتا وهذه بـ sin اتنين ثيتا على اتنين زائد
constant C طب احنا الحين لما نروح نرسم مثلث برسمش
الزاوية اتنين ثيتا برسم الزاوية
يبقى لو جيت على هذه هيك ههه و شيلت و كتبت بدلها
اتنين cos تيتا cos تيتا بنختصر اتنين مع اتنين
بتروح يبقى آلة مسألتي إلى الشكل التالي أربع ثيتا
زائد اتنين مع اتنين راحت بتيجي بس الأربعة عندنا اللي
هو main sin theta cos theta زائد constant C
بنرجع لـ ثيتا هي ثيتا اللي عندنا يا دييبقى ثيتا
يساوي
Y على 2 يعني لو روحت رسمت المثلث القائم الزاوية في
الجيب يساوي المقابل على الـ water يبقى الضلع الثالث
أربعة ناقص Y تربيع. إذا نقلت المثلث إلى الشكل
التالي أربعة من هنا بقدر أقول له θ تساوي sin
inverse y على اتنين يبقى ايه sin inverse للـ y على
اتنين زائد أربع sin θ المقابل على الوتر الـ y على
اتنين cos θ المجاور على الوتر أربعة ناقص y تربيع تحت
الجذر كله على اتنين زائد constant C يبقى
النتيجة النهائية أربع sin inverse عندنا نوع من
جذر يا شباب جذر الـ X إذا بدي أشيلها و أكتب مكانها
جذر الـ X يبقى sin inverse جذر الـ X على اتنين زائد
اتنين في اتنين يبقى أربعة مع الأربعة مع السلامة و
Y هي جذر الـ X وهذا الجذر التربيعي لأربعة ناقص Y
تربيع هي الـ X وهذا زائد constant C السؤال الأخير
في هذا section بيقول ما يأتي سؤال ثمانية تكامل X
على الجذر التربيعي للـ X تربيع ناقص اتنين X ناقص
ثلاثة كله في DX
أول مرة نشوف جذر بهذا الشكل في هذا الـ section هذا
الجذر ليس على شكل الجذور اللي شرحناها في جزء النظر
لكن شغل عقلك هكذا، توصل للجذر اللي شرحناها في
الجزء النظري كيف كان التالي؟ هي تكامل وهي الـ X وهي
الـ DX وهي الجذر التربيعي هل هذا مربع كامل؟ لا مش
مربع كامل يفجأة بدنا نحوله إلى مربع كامل كده
بالزموه واحد بنطرح واحد مع ناقص ثلاثة بيصير كده
ناقص أربعة يفجأة أضفنا واحد واطرحنا واحد هي الواحد
اللي أضفناه سالب واحد مع سالب ثلاثة بيعطيني سالب
أربعة طلع لي للمقدار هذا مربع كامل مظبوط هيك يبقى
تكامل x dx على مين؟ على الـ x ناقص واحد لكل تربيع
ناقص أربعة كل تحت الجذر بعد ذلك، نريد أن نكمل هذه
الدلالة. أنا أقول إن هذا أصبح جذب، لكن مكان الـ X
شجعني. X ناقص واحد. إذن، عند التعويض، أريد أن أضع
X ناقص واحد يساوي. كم يساوي، الله يعلم. إن شرسلي
بالأمين، للمقدار الثابت يبقى 2 كم؟ sec تيتا و تيتا
أكبر من أو تساوي Zero أقل من π على 2 طيب ممكن أقول
الـ X يساوي واحد زائد اتنين في sec الثيتا بدي DX
يبقى اتنين sec ثيتا tan ثيتا d ثيتا يبقى قلط
مسألتي للشكل التالي بدي أشيل الـ X و أحط مثل واحد
زائد اتنين sec ثيتا يبقى واحد زائد اتنين sec ثيتا في
الـ DX اللي هو باتنين sec ثيتا tan ثيتا d ثيتا كل
هذا مقسوما على الجذري التربيعي لـ أربعة sec تربيع
ثيتا ناقص أربعة هذا المقدار كله شيلته و حاطط بقاله
اتنين sec تربيع، بيبقى مربع هذا أربعة sec تربيع ثيتا
و هذا الأربعة كما هي يبقى قلة مسألتي إلى الشكل
التالي أظن اتنين هذه فيش غيرها اطلع برضه مع
السلامة و ايتا كامة واحد زائد اتنين في sec ثيتا و
عندك هذه تظل عندي sec ثيتا sec ثيتا tan ثيتا d
ثيتا مقسوما على هذه أربعة مع أربعة تطلع بره في جذر
كمان باتنين بضل الجذر التربيعي لـ sec تربيع ناقص
واحد tan تربيع تطلع من تحت الجذر بـ tan تيتا tan
تيتا مع tan تيتا الله يسهل عليها يبقى آلة المسألة
إلى الشكل التالي تكامل لـ sec تيتا زائد اتنين sec
تربيع تيتا كله في d تيتا الأولى سؤال السنبرت
معروفة اللي هي ln absolute value لـ sec theta
زائد tan ثيتا وهادي زائد اتنين tan ثيتا وهنا زائد
constant C بعد هيك بدنا نرجع نحول المسألة بدلالة
من؟ بدلالة الـ X بنقول له اه هادي هاها
مرة ثانية بقدر أقول sec ثيتا بدي يساوي x ناقص واحد
على مين؟ على الاتنين إذا لو روحت رسمت المثلث
القائم الزاوية وقلنا هذه الزاوية ثيتا sec يساوي
الوتر على المجاور يبقى الضلع الثالث هو X ناقص واحد
لكل تربيع ناقص أربعة حسب نظرية فيثاغورس يبقى هذا
الكلام بده يساوي ln absolute value sec الوتر على
المجاور يبقى x ناقص واحد على اتنين زائد tan
المقابل على المجاور يبقى الجذري التربيعي إلى الـ x
ناقص واحد لكل تربيع ناقص أربعة بالشكل اللي عندنا
هذا على مين؟ على الاتنين وهي خلصنا مين؟ الـ ln زائد
اتنين tan الجذري التربيعي للـ X ناقص واحد لكل تربيع
ناقص أربعة على مين على الاتنين زائد كله constant C لو
رحت فتحت الكتاب، ما تلاقيش الإجابة ده معناته حملة
غلط، ما غلط ولا حاجة طلع لي هنا ممكن أخد عامل مشترك
من الاتنين هدول قداش اتنين بصير X ناقص واحد زائد
الجذر كله على اتنين بصير ln الباص ناقص ln المقام
يبقى بصير ln X ناقص واحد زائد الجذر التربيعي هذا
لو رجعته لأصله اللي هو رأس المسألة فيه مشكلة؟ لأ
يبقى بروح بقول له هاي x تربيع ناقص اتنين x ناقص
ثلاثة وجفّل من الـ absolute بقى اللي عندي ln ناقص
للاتنين ايه وروح نقوله اتنين هذول مع اتنين مع
السلامة وهذا الـ x تربيع ناقص اتنين x ناقص ثلاثة
وزائد constant C1 حيث الـ C1 بده يساوي الـ C اللي
عندنا ناقص ln اتنين يعني من هنا بده يطلع ln الباص
ناقص لن الـ A على الـ B لن الـ A ناقص لن الـ B
ناقص لن الـ B مقدار ثابت والـ C مقدار ثابت حطيتهم
بمقدار ثابت جديد وبالتالي لو روحت على الكتاب بلاقي
هذه الإجابة وبلاقيش الإجابة اللي منها أفق وكلا
الحالين صحيحة يعني أنت لو وقفت هنا خلاص وروحت
وخليتها ماعنا مشكلة في هذه الحالة إذا وصلنا لنهاية
هذا الـ section وإليكم أرقام المسائل يبقى exercises
اللي هو تمانية تلاتة المسائل الآتية من
واحد لغاية تمانية وأربعين والله يعطيك العافية
انتهى الـ section غدا إن شاء الله نبدأ الـ section
الجديد على الطريقة الثالثة من طرق التكامل