موسيقى
بنكمل الـ section اللي ابتدأناه المرة الماضية وهو
الـ hyperbolic functions طبعا عرفنا الدوال
الزائدية الستة اللي هي الـ hyperbolic functions
اللي هو sinh x, cosh x, tanh x,
coth x, sech x, csch x يبقى هم اللي
عرفناهم بدلالة الـ exponential function ex و e-x ثم
رسمنا الرسومات الستة هذا آخر ما أخذنا المرة
الماضية الآن فينا بعض المتطابقات المرتبطة بالدوال
الزائدية يبقى بينا نيجي هنا اللي هو some
identities
بعض المتطابقات
المثلثية التي درسناها في Calculus A أول متطابقة
كمان cos2 x + sin2 x يساوي 1
هنا في متطابقة مناظرة لها تماما أول متطابقة من
هذه المتطابقات وحنقول النقطة الأولى منها اللي هي
cosh2 x - sinh2 x كله بده يساوي كده؟
بده يساوي 1 اللي هناك تبع المتطابقات المثلثية
كانت بمين بالذات البرهان very easy كيف very easy؟
أبدا المرة اللي فاتت كتبنا cosh اللي هو الكوش و
sinh فقلنا sinh x هي ex - e-x على 2 و التاني ex + e-x على 2
ربع عادي و ربع عادي و اطرحهم من بعض بيطلع منك
واحد صحيح و واحد صحيح و اطرحهم من بعض بيطلع منك
واحد صحيح يبقى very easy من هذه سأخرج اثنتين الأولى
فيهم شكل التالي اقسم على cosh2 يبقى لو قسمت
على cosh2 يبقى لدي 1 - sinh2 على
cosh2 واليمين tanh2 يبقى هنا tanh
2 x يساوي 1 على cosh2 اللي هو مقلوب من
sinh2 x كمان هطلع واحدة ثالثة من الأصلية اللي
عندنا هذه قبل ما قسمت على cosh2 هقسم على sinh
2 يبقى لو قسمت على sinh2 بيصير cosh2
على sinh2 اللي هو coth2x - 1 يساوي 1
على sinh2 اللي هو 1 على csch2 x
بالشكل اللي عندنا هذا يبقى دول ثلاث متطابقات لكن
في الحقيقة هي متطابقة واحدة مش ثلاثة نقلت انترا
بالولدناهم من الأصلية اللي موجود عندنا نمر اثنين في
عندنا كمان اللي هو sinh 2x يساوي 2 sinh x
في cosh x اللي اثبات بسيطة جدا عند قيمة الـ sinh
وعند قيمة الـ cosh تضربهم في بعض تضربهم في 2
بيطلع عندك sinh 2x اللي بيتساوي من e2x - e-2x على 2 يعني
كل x بيجي مكان مجداش
تشبه تماما تبع الدوال المثلثية اللي هو sin 2x يساوي 2
sin x cos x نمر ثلاثة cosh 2x اللي هي
عبارة عن cosh2 x + sinh2 x لا بزيادة
بناقص تبع 2 cos 2x cos 2x تبع
الدالة المثلثية كانت cos 2x يساوي cos
2 x - sin2 x هذا بمين؟ بالزائد في كمان
صيغتين أخرتين لـ cosh 2x، شو الصيغتين الاتنين
هدول؟ يساوي، هذه الصيغة الأولى مكتوبة بدلالة الـ sinh
والـ cosh، أنا مرة بدي أكتبها بدلالة الـ cosh ومرة ثانية
بدي أكتبها بدل الـ 8 sinh يبقى بدي أدي للأولى أدي و
أدي و أدي و أدي و أدي و أدي و أدي و أدي و أدي و
أدي و أدي و أدي و أدي و أدي و أدي و أدي يبقى من هنا
من الأولى sinh2x يساوي cosh2x - 1 إذا لو شيلت
sinh2 و حطيت بدالها cosh2 - 1 بيصير 2 cosh2
- 1 يبقى هذه 2 cosh2
from one من الأول طيب هذا الصيغة الثانية بدلالة
للصيغة الثالثة بدل ما كتبتها بدلالة الـ cosh بدي
أكتبها بدلالة 2 sinh إذا cosh2 هذه ليه
تساوي sinh2 + 1 عندك sinh2 و
عندك sinh2 يبقى 2 sinh2 +
واحد يبقى هذه 2 sinh2 x + 1 وهذا
كمان from one زي ما هي إذا أصبح عندي cosh 2x
لها ثلاث صيغ زي ما cos 2x لها ثلاث صيغ
تمامًا مع الفرق في الإشارات طب بدي أروح للمتطابقة
الرابعة الرابعة بدي أطلعها من الثلاثة الرابعة نطلع
من الثلاثة كيف؟ بدها تجيب cosh
2 x بدلالة cosh 2x بنقول بسيطة أنجل الواحد على
الشيء الثاني و اقسم على مين؟ بتحصل على مين؟ على
cosh2 x بده يساوي تمام يبقى cosh2 x هات
هات هنا بيصير cosh 2x + وكل قسمتها 2 يعني
النصف في مين؟ في cosh 2x + 1 تمام هذه هي النقطة
الأولى النقطة الثانية طبعا يجب أن يعملها بنفس
الطريقة يجب أن يجيب من هنا sinh2 يبقى
sinh2 x يساوي طبعا يجيب من هنا على الشاشة
الثانية يجيب من إشارة سالب و يقسم على 2 يبقى نصف
في cosh 2x - 1 بالشكل اللي عندنا و
رجعنا بالذاكرة إلى الورق للدوال المثلثية كان عندك
cos2 x يساوي النصف في 1 + cos 2x
وكان عندك sin2 x نصف في 1 - cos 2x
x الفرق بينهم إشارة ناقص وهذا الكمال الفرق بينهم
إشارة ناقص زي ما أنت شايف هذا النقطة الرابعة نجي
للنقطة الخامسة النقطة الخامسة بدي إياكوا أن تطلعوها
لحالكم من تعريف الاتنين كيف؟ بدي cosh x
+ sinh x يساوي يلا اجمع لي شوف وعندك هي
مكتوبة معاك هي قيمة الـ cosh بدلالة الـ exponential و
قيمة الـ sinh بدلالة الـ exponential و يلا اجمعوا و
اعطيني النتيجة يلا مين جمعها؟ ex و x
على 2؟ يعني ex و x بس يبقى النتيجة فعلا
ex و x هذا النقطة الأولى النقطة الثانية لو
قلت cosh x - sinh x يلا اعطينا النتيجة سالب
e-x يبقى e-x طبعا، يبقى دول
استنتاجهم استنتاج بكل بساطة جمع عادي جدا من
التعريف يبقى لكن هذه أفادني أنه تبسيط المقدار هذا
كله بدل مكتب إذا لجيتهم 2 بقدر أشيله محق بدلهم
و 2 هدول إذا لجيتهم بقدر أشيله محق بدلهم طيب
نمرتي 6 بدخلك كمان أنت اطلعها لحالك اطلع لي في
cosh عندك في التعريف يلا افتح على التعريف عندك cosh
x يسمى ex + e-x على 2
مظبوط؟ بدي أشوف هذه odd والله even يبقى بدي أشيل
كل x وأحط مكانها -x يلا أشيل وأشوف هذه
تتغير والله بيظل هي هي هي هي هي مظبوط؟ إذن الـ cosh
عبارة عن even function طيب فلا نلسشهو اللي هي
مقلوبة؟ طلع
فيها كويس even زيها إذا أنا عندي اثنتين من هدول even
والباقي الأربعة odd كل الأربعة الباقية odd يبقى
هنا بجي بقول اللي هو sinh x and cosh x اللي هي
مقلوبة are even
but the others are odd لكن الباقيات كله إيش؟ كله
odd يبقى اثنتين even والأربعة الأخرى يتمالهم odd زي
تمامًا في الدوال المثلثية كان cos x و sec x
اثنين are even والأربعة odd بالشكل اللي قلنا هذا
نجي الآن لمشتقة الدوال الزائدية يرجى بالذات
لـ derivatives
of hyperbolic functions
مشتقة الدوال الزائدية باجي بقوله if u is a
differentiable function of x then نمرة واحد بدنا
d/dx لمين؟ لـ sinh u يساوي بدوش أكتب لك
الجواب بده أخليك أنت تطلع الجواب تشوف التعريف
الـ sinh عندك يلا اللي هي نصف في eu - e-u
ناقص X اشتقها
نص زي ما هو والـ cos x زي ما هي وزاد أو عندك هنا
ناقص cos x ناقص x لما اشتق نفسه في سالب يصير موجب
يعني مين؟ cos إذا انتفض الـ sin بـ cos يبقى هذه cos
الـ dy/dx نمر اثنان بدنا الـ d على
dx لـ cos x، سالب، سالب، سالب، سالب، سالب،
سالب، سالب، سالب، سالب، سالب
موجب، يعني مش زي الدوال المثلثية، تفاضل cos بـ -sin
صين هنا الـ cos، فاقلها بيطلع sin، تمام؟ إذا تفاضل
الـ sin بـ cos و تفاضل الـ cos بـ -sin طيب، نمر تلاتة،
بيبنا الـ d/dx لـ tan x يساوي يالا باختصار هيك
tan x هي sin x على cos x يالا المقام في مشتقة البسط ناقص
البسط في مشتقة المقام على مربع المقام الأصلي علما
بإنما cos² x ناقص sin² x يساوي واحد صحيح
يالا شوف هالي كده بتطلع يالا بسرعة أيوة كده؟ كده
يا راجل قوله غير تاج الله بيطلع 1 على cos² x
صح ولا لأ؟ 1 على cos² x يومين sin² x
إذا انت فاضل tan بـ sec² x U في dU/dx الرابع
بدنا الـ d/dx لـ cot U cot U
و U الساوينفس الطريقة cos فوق و sin x تحت يبقى
سالب cosec² U في الـ dU/dx ننتقل الآن إلى
النقطة الخامسة بدنا الـ d/dx لمين؟ لـ sec الـ U ويساوي
تفاضل الـ sec بـ sec x في tan x بس هذه الـ sec بسالب
sec tan x يبقى هذه سالب sec x في tan sec الـ U sec
الـ U في tan الـ U في dU/dx أخر حاجة نمره 6 الـ d
على dx لـ cosec الـ U سالب cosec الـ U cot tan
أول تلاتة بالموجب وتاني تلاتة بالسالب موجب موجب
موجب سالب سالب سالب
بترجع الاصطناع الاصطناع الاصطناع الاصطناع الاصطناع
الاصطناع الاصطناع الاصطناع الاصطناع الاصطناع
الاصطناع الاصطناع الاصطناع الاصطناع
لأ لأ مش الـ sin بتقول ex ناقص e-x على
اتنين بده أشيل x وحط مكانه -x يعني هو بيصير e
-x ناقص ex على اتنين خد إشارة سالب برا
بيصير ex ناقص e-x على اتنين يعني
سالب sin x يعني أصبح f(-x) يساوي -f
x it is an odd function مظبوط ولا لا؟ اتلخبط من
الـ session. يا زماده خلاص هو اتلخبطون عدل يعني، هو
غلط فيه، هو غلط في المصحف. خلاص ليه؟ خلاص، خلاص.
الواحد يسأل امليه قال ولم تؤمن قال بلى، ولكن
ليطمئن قلبي، حابب اتأكد، وهذا حصل مع نبينا إبراهيم
عليه السلام مع الله سبحانه وتعالى. والراجل يا
عزيزي لما نيسأل سؤاله ونجاوب عليه. حابب يتأكد قال
لك ربما لكون أخطأنا فاجتهد فوجد نجتهده في غير محق
ليه ومن اجتهد فأصف له أجران ومن انتهد فأقطف له أجر
واحد يعني ماعناش مشكلة في هذه خليكم معنا خليكم
معنا خلاص بجد طيب، زي ما فيه مشتقات، معناته فيه
تكاملات، إذا بدنا نروح للتكاملات تانية، يبقى هنا
بدنا نيجي لأول تكامل من هذه التكاملة، خلّا معايا
كل سنة، طبعا زي ما تجيب في مستقبل، مشتقة الـ sin
بـ cos، إذا مشتقة الـ cos مشتقت الـ cos بالـ sin إذا
متكامل الـ sin بـ cos يبقى على كل الخط الان نمرة واحد
تكامل لـ sin x dx بدي يعطيلك cos x زائد
constant C نمرة اتنين بدنا تكامل لـ cos x dx
ساوي الـ همين dx بدي يساوي اللي هو sin x زائد كل
صندسي، نمرة تلت طيب
شيفاه، لو بدنا تكامل الـ tan x
sin x على cos x البسط مش ساقة المقارنة يبقى لنا
المقارنة مش هذا اللي بديه خليه مع الأسلحة اللي
بدك هيها بقول اه بدي تكامل لـ sec² x dx تفاهم
الـ tan بـ sec² x بمين؟ بـ tan يبقى هنا tan x زائد
constant C نمرة أربعة بدي تكامل cosec² x
سالب cot x يبقى سالب cot x
طيب يبقى ضال مين؟ الاربع دوال زائدية الأخرى خليهم
مع الأمثلة ليه؟ فعليهم مع الأمثلة طيب هنشوف كيف
هنخليهم مع الأمثلة يبقى الأن نذهب إلى الأمثلة
لغاية هنا شباب احنا خلصنا الشطر الأول من الجزء
النظري في هذا الـ section و لسه في جزء تاني اللي هو
معكوس الدوال الزائدية لكن بنقول لك خدك راست شوية
هنا و خلينا نحل مجموعة من الأمثلة مجموعة من
الأمثلة على ما سبقت دراسته المثال الأول examples
أول
مثال بيقول if cos x بده يساوي 13 على 5 و
الـ x greater than zero فاين اجد انه نمرة واحد او
نمرة A بدنا يا سيدي اللي هو مين tan x and اللي
هو مين and sec x الاتنين هدول نمرى بيه بدنا the
value of x
بنعطيني جداش القيمة العددية لـ cos x اللي 13 على
5 ومن خلالها طلب مني تلت شغلات شغلة الأولى بده
جداش مقدار tan x الثانية جداش قيمة sec x ثمانية
جداش القيمة الحقيقية لـ x اللي خلتلي المقدار هذا
يسوى جداش 13 على 5 solution
يبقى بدنا نيجي للنقطة الأولى اللى هى نمرة A أظن في
جزء منهم بقدر اجيبه مباشرة اللى هم sec بقول بسيطة
sec x بدي يساوي 1 على cos x فـ الـ cos معروفة
اللي 13 على 5، ايه من الـ social؟ يسوي 5 على
13، يبقى هذه بلغة سهلة جدا، الآن هيا عندنا صار
اللي هو الـ sec و بدنا الآن الـ tan بدنا الـ tan،
طبعا قدامك أكثر من طريقة طريقة الأول أنه أنا أخد cos
² x ناقص sin² x يسوي قداش 1، من هذه
بحسب الـ sin، بصير الـ sin عندي و الـ cos عندي، بقدر
أجيبله الـ tan، هذا تفكير، تفكير آخر، بقول لأ أنت
حسبت الـ sec قداش يسوي، بقول له أيوة، قال احنا عنده
متفادقة، بتقول إن 1 ناقص tan² يساوي من؟ sec²
نقولا الله كلامك مظبوط نقدر نجيب الـ tan
مباشرة يبقى باجي بقوله tan ايش عندنا احنا؟ اللي هو
من 1 ناقص tan² x بده يساوي sec²
x هذه النقطة الثانية في أول متطابقة اخذناها،
إذا بدنا نعود فيها مباشرة يبقى هاي الـ 1 ناقص
بدو يساوي الله أعلم tan بدنا ياما sec² هي
الـ sec إذا الـ 5 على 13 الكل تربيع هذا بده
يعطيك ما يأتي انه tan² x بده يساويهنا اللي
هو مين 1 ناقص 1 ناقص 25 على 13 في
13 بمية وتسعة وستين يبقى بناء عليه أصبح tan
² x يساوي المضاعف المشترك لليه اتنين مية
وتسعة وستين بصير مية وتسعة وستين ناقص 25
اللي هو مية واربعة واربعين كويس هذا بده يعطيلك ان
tan x بده يساوي 12 على 13 بإشارة موجبة
لإن في البداية اتاني x مالها greater than zero
كويس يبقى أصبح tan x اللي بده إياها اللي عبارة عن
12 على 13 وبالتالي بكون انت هنا من المطلوب
الأول ايه هو الفرق يعني ممكن احنا طريقة المجاور
المقابل هذه دالة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة
مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة مثلثة
مثلثة مثل
أه يمكن يجربوا لبعض، بس يمكن يجربوا ليس لبعض،
تمام؟ احنا بنقول شكلًا تفرق عن بعض بالحرف إتش، لكن
هذا الفرق جعل فرقًا مفتوحة ما بين الاثنين، طيب إذا
بتلاقي المثلث كل عنه، خلّيني أستفيد برضه، مش غلط،
ماشي؟ طيب، خلصوا المطلوب الأول إن هو نمرة A، بدنا
نيجي لنمرة B، نمر بيه ويقول هاتلي قيمة X التي جعلت
هذا المقدار يساوي تلاتة عشر على خمسة، بقوله يبقى أنت
عندك الـ X بده يساويولو كنا ماخدين المعكوز كما
قلنا X يساوي جوش Inverse بس أنا ما أخذناش اللي ممكن
نعرفوش تمام، لكن أخذنا الـ exponential اللي الجوش
بدل الـ exponential E والـ 6 زائد E و أُس الـ 6
على 2، هذا اللي بده يساوي جداش اللي هو 13 على 5
المعادلة اللي عندنا هذه حولناها مسألة بدلالة الـ EOS
X الـ EOS X هذه بقدر عليها، بقدر أشتغل بيمين و شمال
زي ما بدي، هذه المعادلة لو روحنا ضرب ضرب التبادل يبصي
لنا إيه؟ خمسة EOS X زائد خمسة EOS ناقص X يصبح جداش
ستة وعشرين، هذه الأس سالب والأس موجب لا تعجبني فهو
يريد أن يتخلص من السالب ويتعامل معه، يعني يريد أس
واحد يتعامل معه، إذا لو رحت ضربت طرفي المعادلة في
E أس X، بس هنا لدينا خمسة E أس X لكل تربيع زائد
خمسة بده يساوي له ستة وعشرين E أس X، يبقى قربنا
الطرفين في E أس X وبالتالي تخلصنا من مين؟ من الأس
السالب، طب بتعملها معادلة صفرية يبقى خمسة في E أس
اثنين X ناقص ستة وعشرين E أس X يبقى زائد خمسة زائد
خمسة كلها تساوي مين؟ تساوي Zero زي ما أنت شايف هذه
أصبحت معادلة من الدرجة الثانية في المتغير E أُس X، E
أُس X الكل تربيع، كل صين في الـ E أُس X وهنا كل صين
كله بده يساوي Zero، يبقى بدنا نروح نحل معادلة
الدرجة الثانية، بتحللها تحليل، ماشي، بتقدرش بتروح
على القانون، بصوب؟ طب نشوف بنقدر نحللها والله
إذا ما نقدرش علمونا في الإعدادية إنه ممكن تسوي مقص
أو ممكن تحلل على طول، تمام؟ لو جينا لهذه قلنا خمسة
في E والـ 6 وهنا E والـ 6 لوحدها فقط، هذه اللي بعد خمسة
في واحد يبقى هذا الخمسة وهذا الواحد، الإشارة زائد
اللي في النص بالنقص يبقى الاثنين بالنقص، تعالى نشوف
هل كلام هذا صحيح ولا لأ، طبعًا ناقص في ناقص بزائد خمسة
مظبوط، هي زائد خمسة وهذه EO6 في خمسة EO6 بخمسة EO2
ناقص، إذا المطلوب اللي في النص يكون جداش ناقص ستة
وعشرين EO6، أضرب لهك سالب خمسة وعشرين EO6 وسالب EO6
يبقى سالب ستة وعشرين، يمكن تحليلنا مصبوخ مائة
بالمائة، يبقى المعادلة هذه صارت خمسة EO6 ناقص واحد
في EO6 ناقص خمسة كله بده يساوي Zero، يبقى إما خمسة
في EO6 ناقص واحد بده يساوي Zero والـ ثانية الـ EO6
ناقص خمسة بده يساوي Zero، هذه معناها أن الـ E أُس X
بده يساوي خمسة وهذه معناها أن الـ E أُس X بده يساوي
كده؟ خمسة، خذ للطرفين يبقى الـ X يساوي للخمسة للخمسة
اللي هو كده؟ سالب للخمسة، يبقى هذا سالب للخمسة إيه
إيش رأيك في الشغل هذا؟ مقبول هذا؟ مش مقبول، ليش؟ إنه
قال شرط علي X أكبر من الـ Zero، هذا بيعطينا رقم أقل
من الـ Zero يبقى هذا الكلام مرفوض، يبقى impossible
هذا كلام غير ممكن، هشيل ممكن، آخذ الـ len للثانية يبقى
X بدها تساوي قداش؟ لن الخمسة، هذه هي الإجابة الصحيحة
لهذه المسألة
المثال الثاني بيقول simplify the
following expressions
بسيط لي كله من الصيغة التالية، الصيغة الأولى اللي
هو sin لمن؟ لـ اثنين لن الأكس أظن
أخذنا هذه الأشكال في معكوس الدوال المثلثية فره
مظبوط، وكنا بنجل المثلث وبنرسمه وبنطلق القيام،
طبعًا، بس أنا ما عنديش مثلث، لكن عندي تعريف لمين؟
للسنج، يبقى أنا الآن مشان أعرف هذه القيمة، بدي
أرجع لتعريف السنج، سنش الـ X هو E أس X ناقص E أس ناقص
X على اثنين، مكان الـ X كده شجاني، يبقى E أس اثنين لن
الـ X ناقص E أس ناقص اثنين لن الـ X على اثنين، يبقى
هذا يساوي E أس اثنين لن الـ X ناقص E أس ناقص اثنين
لن الـ X كل هذا على إيه؟ على اثنين، بنرجع لـ
Exponential Function سبعة تلاتة نقول له اه يعني
هذا لو بسط بديش أشوف المسألة لا exponential ولا
حتى len مشان هيك بنقول بسيطة هذا رقم قبل الـ len
إذا بيجي أسلمينلل X يبقى هذا E أس ل X تربيع وهذا
ناقص E أس ل X أس سالب اثنين، هذا بيلغي الثاني لإن هو
ده لو معكوسها بيبقى لاندي قداش؟ X تربيع ناقص X أس
ناقص اثنين على اثنين، أو إن شئتم فقولوا X square
ناقص واحد على X square كله على اثنين، أو بصيغة أخرى
لو وحدنا المقامات بيصير X أس أربعة ناقص واحد كله
على اثنين X تربيع، يبقى هذه المثلة لا فيها Sing ولا
فيها Lin يبقى لما يقول لبسطها يعني اتخلص من كل
الكلكة اللي عندك واتحالي بدلالة من؟ بدلالة X، طيب
نيجي لنمر بيه، أول نقطة ثانية اعتبر هذه A وهذه B، نمر
بيه بيقول بدي قداش؟ لن لجوش الـ X زائد سنش الـ X زائد
لن جوش الـ X ناقص سنش الـ X، ما شاء الله عليها يعني
مش صغيرة، كبيرة خالص، طبعًا؟ طيب، هذه بسيطة، بقوله
يستوي، إيش بتختارها علينا مشان نبسط قيمة المعرفة؟
نسمع المقترح الأول، نعمل هضر نعمل هضر، هذه وجهة نظر
سليمة، لما نشوف هل هناك وجهات نظر أخرى ولا لا،
خلينا نطبق اللي قال عنه، زميلكو بيقول، شو اسمك أنت؟
أخوك محمد حمدا بيقول إيه؟ بيقول لن زائد ان لو
راجعنا لـ section 7 اثنين بيقول هذا لن حاصل الضرب
لإن اللي لما بيدخل على الضرب بيحوله إلى جامعة
بيقوله والله مظبوط، يبقى لن جوش الـ X زائد essential
X في جوش الـ X ناقص essential X، بيقوله والله كلامك
مظبوط، لكل سؤال هو شرايك في الجثين هدول، مش هو تحليل
فرق بين المربعين، إذا بدي أرجعه إلى أصله قبل
التحليل يبقى هذا بده يساوي لان جوش square X ناقص
سنش square X ويساوي لان
قداش؟ هذا من المتطابقات قبل شوية؟ واحد صحيح، طب و
لإن الواحد صحيح فقداش؟ يعني هالكلكة على كبيرة ما
شاء الله عليه طلعت بالصفر، طب هذا اقتراح محمد حمدا،
نسمع اقتراح، شو اسمك أنت؟ محمد أبو الخير، محمد أبو
محمد أبو الخير، هات لنا من هذا الخير اللي عندك يلا
كلام
كويس، يبقى هذا رجع لمين؟ محمد أبو الخير رجع
للمتطابقات اللي اتكلمنا عليها وراح لآخر متطابقتين
كتبناهم فمين؟ في مجموعة المتطابقات، جالي هنا
another solution
شوف يا سيدي، أجي قال لي هذا الـ Lin الأولى هذي شلة
وحط بدلها مين؟ EO6، قلنا له والله كلامك مظبوط، و
أجي للتانية وقال لي لن هذي EO سالب X، وبعد ذلك
راح أستخدم صلاحيات الـ Lin، يبقى هذي بيصير X في لن
الـ E، طب لن الـ E بقداش؟ بواحد، يبقى بدل الـ X وهذه
ناقص X في لن الـ E اللي هي بواحد، إلا لو هي طلعت
جداش Zero زي اللي جاب لها، يبقى الحل الأول أو الحل
الثاني كلاهما صحيح ولا اعتراض على أي منهما، ولكن
الخيار عادل تشوفه أسهلك امشي فيه
طيب هذا كان المثال الثاني، نذهب إلى المثال الثالث
تلاتة، find y' for each of the following، بدنا مشتقة
كل من الدوال التالية، Y تساوي اثنين جذر الـ X في تانش
لجذر الـ X
لو نظرت لي هذه الدالة بلاحظ أن هذه تعتبر دالة وهذه
دالة، إذًا أن عندي مشتقة حاصل ضرب دالتين، يبقى
باجي بقوله الـ Y' يساوي الدالة الأولى في مشتقة الدالة
الثانية، تفاضل التانش جدر six squared جذر الـ X ضرب
مشتقة من جذر الزاوية، مشتقة الجذر واحد على
اثنين جذر، يبقى هذا الأولى في مشتقة الثانية زائد
الدالة الثانية اللي هي تانش جذر الـ X في مشتقة
الأولى اثنين مالكش دعوة ومشتقة جذر الـ X اللي هو
جذاش واحد على اثنين جذر الـ X يساوي عظم إن اثنين جذر
الـ X مع اثنين جذر الـ X مع السلامة واثنين هذه مع
السلامة مع اثنين هذه يبقى آلة المسألة إلى الشكل
التالي سينش سكوير لجذر الـ X زائد تانش لجذر الـ X كله
مقسوما على مين؟ على جذر الـ X النقطة الثانية من الـ
derivatives نمر اثنين بيقول لي Y تساوي لن سينش الـ X
لن سينش الـ X زائد كوش لمين؟ لن تلاتة X الشكل عنها
بيبقى الـ Y Prime تساوي طبعا واضح هذه function وهذه
function واثنين مجموعات مع بعض جامعة إذا احنا
بدنا مشتقة المجموع الجبري لدالتين يبقى مشتقة
الأولى زائد مشتقة الدالة الثانية
مشتقة لن الـ U بواحد على U يبقى واحد على سينش الـ X
في مين؟ في تفاضل السنش اللي هو بجوش يبقى جوش الـ X
زائد الكوش تفاضلها بالسالب سش تانش يبقى سالب سالب
كوش كتانش قصدي سالب كوش اللي هو لن تلاتة X
كتانش لمين؟ لن تلاتة X لمشتقة من الزاوية يبقى هنا
واحد على تلاتة X في جذاش فيه تلاتة طبعا في اختصارات
بنقدر نقول التلاتة هذه مع التلاتة هذه وبالتالي آلة
المشتقة إلى الشكل التالي جوش على سينش اللي هو
كوتانشنت الـ X وهذه ناقص وهذا كوتانشنت لمين؟ لن تلاتة X
كوتانشنت لن تلاتة X كله مقسوما على مين؟ على X
الشكل اللي عندها النقطة
الثالثة النقطة الثالثة بيقول لي Y تساوي
جوش أس خمسة جوش الجذر التربيعي لـ إي أس تلاتة X
زائد اثنين
هذا كأنه قوس والقوس كل قوس كم؟ قوس خمسة يبقى من
الـ share rule قولنا القوس في القوس مرفوع لنفس
القوس مطروح منه واحد في مشتقد ما داخل القوس يبقى
الـ wire prime تساوي القوس في القوش مرفوع لنفس
القوس مطروح منه واحد
تمام؟ في مشتقة مداخل القوس مشتقة القوش الـ cinch
يبقى هذا cinch من الجدر التربيع إلى E أس ثلاثة X
زائد اثنين في مشتقة الجدر نفسه لسه قبل ما بدأ
مشتقة الجدر بقى واحد على اثنين الجذر يبقى واحد على
اثنين الجذر التربيه الي E أس تلاتة X زائد اثنين
الآن في مشتقة مداخل الجذر مشتقة الـ X بننشل بالـ X
بننشل itself ضرب مشتقة الأس مشتقة اثنين F0
اختصارات الحمد لله لا يوجد فيها أي اختصار يبقى
بنخليها زي ما هي
Y تساوي سينش لمين؟ لتان الـ X سينش لتان الـ X زائد كتان
inverse لمين؟ لسينش الـ X
خلّي بالك معانا شايف كيف مكتوبة حرفيا رابط الدوال
المثلثية مع الدوال الزائدية قصدينها متعمدين طبعا
نهيك على أن هذه معرفة لأن السنش على كل الـ real
line والـ cotton inverse على كل الـ real line
متعملين وبالتالي ماعنا مشكلة في هذه الحالة يبقى Y'
يساوي هذه كلها تعتبر كيانها زي الزاوية بالنسبة
لمن؟ للسينش إذا انتفضل السنش بقداش؟ بجوش لتان الـ X
في تفاضل تان سك تربيع يبقى سك تربيع الـ X دي بالك و
احنا بمصحى في الامتحان الملاجئ كتير الـ H هذي
بتنتقل وأن كله على كيفك زي اللي بنتقل من زهرة
إلى زهرة النحل يعني أنت مافيش أنت جوش ممكن تبقى
جوش يعني cosine cosine يبقى هذي لكن اتفرج بين
الدوال الزائدية والدوال المثلثية يبقى يخلصها من
مشتقت الأولى الـ quotient inverse مشتقتها بالناقص
مظبوط quotient inverse بالزائد و quotient inverse
بالسالب سالب واحد على واحد زائد سينش سكوير X في
تفاضل السنش اللي هو جذاش بجوش الـ X يبقى الـ 10
inverse X سالب واحد على واحد زائد X تربيع في مشتقة
اللي هو الـ .. اللي هي الجوش طيب الآن هذه عبارة عن
جوش لمين؟ لتاني الـ X كله مضروب في سيك تربيع الـ X
ناقص هذا الـ term يا شباب موجودش واحد زي .. مين اللي
قال واحد؟ استعجل الزلمة يعني، أيوة يبقى إياك
والاستعجال في التأمن السلامة وفي العجلة الندامة،
مين اللي قال واحد توقفلي شوية أنت؟ أنت؟ طب بتقدر
تجيبلي آية فيها شغلة على الاستعجال هيك من كتاب
الله؟ بتقدر؟ بالمرة؟ طب لو غششتك الصورة، بتقدر تجيب
الآية؟ صورة الإسراء اسمعك
وين؟ ويدعو الإنسان بالشر دعاه بالخير وكان الإنسان
عجولة، بيستعجل كتير، تمام؟ وهذا هو الذي حدث معاك
يبقى واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة
واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة
واطنة واطنة واطنة واطنة
واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة واطنة
واطنة واطنة واطنة واطنة
لمن؟ لتان الـ X في سك تربيع الـ X ناقص سش الـ X
النقطة الخامسة النقطة
الخامسة عندك Y تساوي جوش الـ X
واضح أن هذه عبارة عن أيش؟ هذه عبارة عن function
ثانية إذن هذه مشتقة حاصل ضرب دالتين بدنا نرجع إلى
مشتقة حاصل ضرب دالتين اللي هو الأولى في مشتقة
الثانية زائد الثانية في مشتقة الأولى يبقى هاي Y
يساوي جوش الـ X اللي هو الأولى مشتقة تان inverse هو 1
على 1 زائد sinh square X في مشتقة الـ sinh اللي هو
cosh بقى الـ X هذه لسه الأولى في مشتقة cosh الثانية
زائد الثانية في مشتقة الأولى يبقى هنا tan inverse
لسنش الـ X في مشتقة الجوش اللي هو cosh بسنش الـ X حد
شافه يقدر يقول لي كده المقدار هذا سيكون واحد صحيح
النتيجة تساوي واحد صحيح وهنا زائد اللي هو ten
inverse لسينش الـ X في من؟ في سينش الـ X طيب نروح للنقطة
السادسة والأخيرة من الـ derivatives يقول
الحمد لله الراجل متضايق تنفذ السعاداء طيب يبقى ستة
Y تساوي الـ X في جوش الـ X مين قال فيك الحمد لله
نشوف احنا ويا شغلنا مع المسألة هذه مين اللي قال
الحمد لله يعني أن أنا متضايق أو زهقانت؟ عم أنت اسم
ابني هناك شو اسمك أنت؟ item البنى item البنى بده
يبنينا الحل اللي هنا عندي هذه المثلة نشوف هل هو
بده يبني بناء صحيحا ولا بناء خاصة إذا كان من كلية
الهندسة يعني طيب ايش بدك تقترح علينا؟
وجهة نظر سليمة جدا لما ناخد لن الطرفين
يبقى أنا عندي طريقين وأي طريق نصركوا صحيح يا اما
بأخذ لن الطرفين ثم الاشتقاق وهذا اللي كنا
نسميه التفاضل اللغاريثمي يا اما يا اما بروح تمام
تمام يبقى بدي أكتب هذه بدلالة الـ exponential يبقى
E أس جوش الـ X لن الـ X بالشكل اللي عندها أو بمن؟
بطريقتنا الأولى طيب يبقى الآن بدا أقوله الـ Y'
يساوي الـ exponential كما هي جوش الـ X في لن الـ X في
تفاضل الأس تبع الـ exponential اللي هو حصل ضرب
دالتين يبقى جوش الـ X في واحد على X زائد لن الـ X في
تفاضل الجوش اللي هو بسنش الـ X الشكل اللي عندنا هنا
ممكن نرجعها إلى أصلها ونكتب X أس جوش الـ X في مين؟
في جوش الـ X على X زائد لن الـ X في سينش الـ X آخر
سؤال اللي هو مثال 4 evaluate
the following integrals
سبل التكاملات التالية
النقطة الأولى اللي وعدناكوا فيها قبل قليل اللي هي
تكامل لمين؟ لتنش الـ X DX وأيه السوء تكامل ليه؟
تنش اللي هو سينش الـ X على جوش الـ X DX البسطة فضل
المقام يبقى لأن absolute value في دعيه كتبها لأن
الجوش من واحد فمفروض لغاية الملأ نهائية يبقى لأن
جوش الـ X زاد كلص تلسي يبقى good exercise إلك تكامل
ل potential X
النقطة الثانية بدنا تكامل لـ cos X DX Y يساوي يلّا
اثنين
على ecos X زائد e-cos X DX واضرب في ecos X و اجمع
على ecos X بصير اثنين تكامل ecos X DX على e2cos X زائد 1
تمام؟ لو حطيت ecos X بـ variable وليكن T تساوي ecos X يبقى
dT بـ -ecos X DX إذا قالت المسألة الاثنين تكامل DT على T
تربيع زائد 1 اللي هو اثنين tan inverse T زائد
constant C يبقى اثنين tan inverse U of X زائد
constant C يعطيك العافية