موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما ابتدأنا فيه في
المرة الماضية المرة الماضية كنا بنتكلم على اخر
اختبارين اللي هم اختبار ال ratio test واختبار ال n
through test قلنا بالنسبة ل ratio test بنجسم الحد
النوني زائد واحد على الحد النوني و بناخد ال limit
لما ال n بده تروح لمعنى نهايةالنتج بده يسميه رو
إذا رو كانت أقل من الواحد الصحيح يبقى series
conserved إذا رو أكبر من الواحد الصحيح أو تسوي
infinity يبقى diver إذا رو تسوي واحد صحيح لاختبار
بيفشل ثم اختبار ال intro test اختبار الجذر النوني
بناخد الجذر النونى للحد النونى لل series وبنقل ال
limit هذه و بنقول بنسميها روح اذا روح اقل من واحد
صحيح the series converge و اذا اكبر من واحد صحيح
او infinite diverse واذا سواحد الاختبار بيفشل
بتروح تدورلك على اي اختبار يحل المسألة اللى عندك
اخدنا على ذلك المرة الماضية سبعة امثلة تمام المرة
هذه بنكمل هذه الأمثلة لكن المرة هذهالأمثلة أتجار
من المرة الماضية و هنشوف كل مثال بفكرة شكل مش
هنحاول نغطي الفكرة اللي موجودة في التمريد بيقول ال
summation لل N factorial لإن ال N على N في N زائد
يتنمى بنانيش نشوف هل هذه ال series converge والله
بي converge بطلع بلاقي فيها ال N factorialيبقى
افضل اختبار في الاتنين هو اختبار النسبة وال ratio
test يبقى باجي بقوله بدي اخد روه تساوي ال limit
لما ال intensity للحد النوني زائد واحد على الحد
النونييبقى limit لما ال N tends to infinity يبقى N
زائد واحد factorial لإن ال N زائد واحد كله على N
زائد واحد مضروب في N زائد واحد زائد اتنين
factorial كله بدأج اسمه على N factorialلأن ال N
على N في N زائد اتنين factorial هذا الكلام يساوي
limit لما ال N tends to infinity لمين لل N plus
one في ال N factorial هذا اللي ماعنديش fact له
بيبقى كما هو هذا اللي هو N زائد واحد كما هيوهذا هو
N زائد تلاتة إذا بقدر أفكر اللي هو N زائد تلاتة في
مين؟ في N زائد اتنين factorial القسم بحولها إلى
ضرب وبنجلب البص مقام ومقام بص N زائد اتنين
factorial كله على N factorial في لن ال Nيساوي
limit لما ال in tends to infinityتعني اختصار
الاختصارات الجث هذا مع الجث هذا مع السلامة ال N
factorial مع ال N factorial الحلو ال N زائد اتنين
factorial مع ال N زائد اتنين factorial يبقى آلة
المسألة الى N على N زائد تلاتة في limit لما ال N
tends to infinityلمن لن الان زائد واحد على لن الان
بعد الاختصارات ان على ان زائد تلاتة مضروب في لن
الان زائد واحد على لن الانبنحسب ال limit الأولى ال
limit اللي هي أولى هدف جدراش كلها بواحد صحيح طبقا
لقاعدة looped by الهدف infinity على infinity يبقى
مشتقة البصة على مشتقة المقام يبقى limit لما ال n
tends to infinity للواحد على n زائد واحد واحد على
n يبقى limit لما ال n tends to infinity لل n على n
زائد واحد يسوى جدراشايش رأيك في الاختبار؟ فشل،
يبقى هنا باجي بقول السا، ذا
محسمش المثال أو في الفشل الاختبار يبقى تروح تدورلك
على أي شغلة تانية بحيث المثال هذه تحكم عليها هل هي
convert او Boilerبعدين اتطلع لمين للمثلة بدي اعرف
هالمثلة conversion or divergence بدي ارجع لمين لمن
ارجع لرأس المثلة بلاحظ في عندي factorial في البصر
وفي factorial في المقام بقدر اوصل factorial في
المقام ل factorialبتابع البصة وبالتالي بحط المسألة
في شكل جديد يبقى باجي بقول المسألة أصلا هيها ال
summation من n equal one to infinity لل n
factorial لإن ال n على مين؟ على n في n زائد اتنين
في n زائد واحد في n factorial بالشكل اللي انها ده
لو اختصرنا بروح ال N factorial مع ال N factorial
يبقى صارة المسألة كإنها summation لإن ال N على N
زائد واحد في N زائد اتنين بالشكل اللي عندنا هذا
الان بدي اشوف هل ال series هذي converge و لا
diverge بقوله بسيطة احنا عندنا لن ال M على N في N
زائد واحد في N زائد اتنين شو علاقتها ب N على N في
N زائد واحد في N زائد اتنين اللي قوله شو علاقتها
بتانية جاله الله اكبرأصغر منه يبقى أقل من هذه تمام
طيب من أن أقل منها ممكن نختصر ال N مع ال N ويصير
واحد على N زائد واحد في N زائد اتنين شو علاقة هذه
بواحد على N في N؟
أقل منها لأن مقابها أكبر، يبقى هذه أقل من هذه اللي
بيستوى واحد على ان تربية، بقوله بطولكنSummation
واحد على ان تربية convert P series because ان T
يسوى اتنين اكبر من الواحد الصحيح باجي بقول هنا by
the comparisons of the series اللي همينSummation
لإن ال N على N في N زائد واحد في N زائد اتنين
Converge إذا بناء علي ال ratio test فشل في الحكم
على series هل هي converge او diverse لكن استطعنا
نحلها بواسطة تمام بواسطة ال comparison test بعد ما
فكينا واختصرنا طيب نيجي ناخد كمان سؤالمثال اتنين
بيقول ال summation من n equal one to infinity لل n
factorial to the power n على n to the power n
تربيع مين
أخد الاختبار لهذا الشغل؟ ال ratio
بقدر اخد الجدر النوني للطرفين وبالتالي بيصير الجدر
النوني ربما يكون ايسر كتير من مية من ال ratio إذا
لو أداجي اخد اختبار الحد النوني راتو سوى ال limit
لما n tends to infinityللجذر النونى لل N factorial
to the power N على N to the power N تربية هذا لبعض
الاختصارات طبعا الجذر النونى limit لما ال N tends
to infinity لل N factorial على N to the power N
الجدر النوني يعني ان القوس هذا كل اس واحد على N
بصير واحد على N بطير هنا ان تربيه على N بيبقى لها
ن دي قدراش اس N زي ما انت شايفك بيبقى لها ن دي N
أس F طيب كويس
ن تربية يعني N في N على 1 على N يعني بيظل نص جدا ن
مش ن تربية عادي تعني N ضرب N مش أُس مُركّب أُس N
كله تربية لأن أُس بهاله تربية لو كان أُس مُركّب N
أُس N كله تربية يصير N أُس 2Nمظبوط لكن هذه N أُس N
ثربية يعني N برب N نقسم على N بصير N to the power
N بالشكل اللي عندنا هذا طيب يالا بدنا نحسب هذه
ساندويش ثيرم ساندويش ثيرم والقوة الكبيرة دي
بالساندويش ثيرم هذه محصولة بين مين ومين؟
صفر واحد على ان، ماشي، هذا كلامك العتيق، صح؟ لما
حاليا زمان ما احنا كنا نعرفش شيء، الحين صبرا نعرفش
كتير، يبقى احنا بنحلها بغير الحل اللي كان زمان،
طبعا؟ تعالى نشوف كيف نستوف ال limit هذههذه هي
تساوي limit لما ال N tends to infinity لمين؟ لل N
في N ناقص واحد في N ناقص اتنين في تلاتة في اتنين
في واحد على N في N في N في N في N في N فى ايه؟ اكم
حد اللي في ال bus كدهش عدد هو اللي فوت
ان و اللي في المقال ان كذلك يبقى عندي ان من الحدوث
لكن لو اختصرت هذه معهد بشيرة عدد الحدوث قداشنقص
واحد بينقص واحد لإن اختصرت من ال bus تحد ومن
المقام حد يعني كأن المسألة هي ال limit لما ال N
تنسوا infinity لمن؟ لل N نقص واحد على N N نقص
اتنين على N ونظل ماشيين لغاية تلاتة على N اتنين
على N واحد على Nيعني اعتبرت كل واحد مقسم على N من
ال N's اللي موجودة عندى طب شوف ليه .. شو مقارنتك
مع limit لما ال N تنسى infinity لل N ناقص واحد على
N N ناقص واحد على N N ناقص واحد على N N ناقص واحد
على N شوف ليه ال limit الأولى و الله التاني يمين
اللي أقل
طيب؟ التاني أقل من الأولى؟ أكبر لأن ال bus تبعها
أكبر من bus هذه يعني أنا ثبت ال bus كله بالنقص
واحد لكن هنا ال نقص واحد أجل منه النقص اتنين ال
نقص كله أجل منه إذا ال limit هذه أقل من مين؟ من ال
limit اللي قلنا هذه صحيح ولا لا؟هذا الكلام يساوي
limit لما ال N تنسى ال infinity كم واحدة هؤلاء؟
نقص واحد يبقى هذه N نقص واحد على N to the power N
minus ال oneاللي بقدر اكتبها limit لما ال N tends
to infinity ل 1 ناقص 1 على N أس N ناقص 1
ما رأيك هذه لو ضربتها في واحد صحيح واحد ناقص واحد
على n واحد ناقص واحد على n مش ضربتها في واحد صحيح
وبالسؤال ليش ضربتها هذا ما سنجيب عليه الآن نبقى
هذا limit لما ال n تنسو infinity للواحد ناقص واحد
على n to the power n واحد ناقص واحد على n
الله أعظم لعلكوا أدركتوا شو السبب قداش limit
الباصة E والسالب واحد يبقى E والسالب واحد والمقام
واحد يبقى ليش عملت هك؟ مشان أجدركت قد مين؟ بدلالة
ال E والسالب واحد من الجدول الرقم خمسة في الجدول
تبع ال limits فيبقى هذا بده يساوي واحد على E
الواحد على E مالها؟أكبر من واحد، إذا ال limit اللي
عندنا هديها أقل، أقل، ضلت، ماشي، لجت، أقل من
الواحد، يبقى ال series converge ولا diverge؟
converge، يبقى بروح بضله، الآن
يبقى بروح و بقوله by the inf root test the series
الاصلية اللى وراها ال summation لل N factorial to
the power N أُس N تربيع converge
إذا فكرة السؤال هذا تختلف عن فكرة السؤال اللي
جابله وإليك السؤال رقم تلاتة نشوف الفكرة زيهم
والله بتختلف كمان السؤال بيقول ما ياتي summationمن
N equal one to infinity للاربعة to the power N N
factorial الكل تربيع على الاتنين N factorial يبقى
ال ratio test والله ال N throat
الراتو ساوي ال limit لما ال n tends to infinity
لحد انه يزايد واحد على الحد انه يبقى limit لما ال
n بده تروح الى infinityبدي أشيل كل N و أضع مكانها
N زائد واحد يبقى أربعة أس N زائد واحد N زائد واحد
factorial لكل تربيع
ن فاكتوريال تقسيم أربعة to the power of N ن
فاكتوريال لكل تربيع كله على اتنين ن فاكتوريال هذا
الكلام بده يساوي ال limit لما ال N tends to
infinityلمن؟ للأربعة في أربعة أس N في N زائد واحد
في N factorial في تربيع بيصير هذا تربيع وهذا تاني
تربيع حالة هذه شباب قداشر N N زائد اتنين بيصير
اتنين N زائد اتنين نين N زائد واحد
الجسم هحولها لضرب و نجلب بيصير عندي اتنين N
factorial على اربعة to the power N في ال N
factorial الكل تربيع يابجي ابقى انانيجي نختصر
الاختصارات اللي عندنا و نشوف ايش بده يطلع
طلّع ليه كويس؟ اربعة وسن مع اربعة وسنin factorial
تربيع مع in factorial تربيع اتنين in factorial مع
اتنين in factorial بلّعلي هادي هادي اتنين في in
زائد واحد بظبط يبجي اتنين مع الاربعة ببقى اللي
عندى اتنين وin زائد واحد مع التربيع تمام يبجي هذا
اللي بلّعنا يبجي قالت ال limitلما ال N tends to
infinity لمن؟ لل 2N زائد 1 على 2N زائد 1 يبقى
يساوي limit لما ال N بده تروح ل infinity مشتقت
البعض على مشتقت المقام كده شو بطلع؟ 2 على 2 يساوي
1يبقى معنى هذا الكلام انه اختبار ال ratio test
نالو بيفشل هذا بده يعطيك the ratio test is
inconclusive طيب
تبر حالك
يعني لو انا بتقل السؤال عليه خمس علامة بحطلك علامة
افشل يا كده بالحالة، كويس؟ ولذلك لشان وضيع وانت
بتحطله عليه علامة، اللي انا كنت شوفه اللي كان دارج
و الله ضايق دارج ما قالليشيبقى فاشل الاختبار انا
طالب تحكم تشوف ليه conversion ولا divergence؟ انا
ماقلتليش لا conversion ولا divergence صح ولا لا؟
ففاشل الاختبار معاه، اذا بدك تروح تدورلك على طريقة
أخرى طيب كيف دورك؟ ايش بقى؟ هذا in fact لو بده فكه
تربية بصير ما شاء الله عليها معقدة جدا
طيب ندبر حالنا شوية نشوف كيف الحين احنا لما جسمنا
اتنين على بعض امشي امشي امشي وصلنا لوين؟لهذه صحيح
ولا لأ يبقى أصبح عند الحد النوني زائد واحد على
الحد النوني بدي ساوي اتنين N زائد اتنين على اتنين
N زائد واحد مش هذا اللي توصلنا له السؤال هو هل هذا
الكثر أكبر من واحد صحيح ولا أجاليحق من واحد صحيح
ان ال bus اكبر من مقدار واحد اذا هذا اكبر من
الواحد الصحيح يعني معناه ايش؟ معناته ان الحد
اللوني زائد واحد على الحد اللوني اكبر من الواحد
الصحيح مصبور؟ طيب يا سلام ال bus اكبر من المقام
ولا لا؟من الابتدائي من الرابع الابتدائي للبس اكبر
مقامي والكسر اكبر من الواحد الصحيح ماشي اذا كنت
صغير اصغير بطيك تظل كثير انت حر مالاشي ده يعني طيب
على اي حال صار المقدار هذا اكبر من الواحدة ال A ان
عمره بياخد قيمة سالبةلأن رياشي و لأن ثلوج اشتراقنا
كل الحدود موجبة و مسئلة كل الحدود موجبة يبقى لو
ضربت الطرفين في A M يبقى هذا معناته أن الحد النوني
زائد واحد أكبر من الحد النوني لكل N أكبر من أو
تساوي كم؟ واحدطب كويس، إيش رأيك؟ إيش بفهم من هذا؟
إن الحد النوني زاد واحد أكبر من الحد النوني، يبقى
ال series increasing ولا decreasing؟ increasing
تزاوية، يعني لو عرفت الحد الأول، بكون الحد التاني
أكبر منهلو عرفت الحد العاشر، يكون الحد الحدي عشر
أكبر منه، لو عرفت الحد الرقمية، يكون الحد الرقمية
واحد أكبر منه، لأنه increasing، مظبوط؟ طب تعالوا
نتعرف على الحد الأول، يبقى لو جئت وقلت بدأ أخد A
واحد يساوي، برجع لرأس المثلة، بدأ أشيل كل N و أحط
مكانها؟يبقى بيصير اربعة اقص واحد باربعة واحد
factorial تاربيع على مين على الاتنين factorial
يبقى اربعة على اتنين ويساوي اتنين إذا الحد الأول
إتنين، حد فده يعطيلك إن الحد رقم M دائما و أبدا
أكبر من اتنين ولا لأ؟صح ولا لا؟ يبقى الحد سوى يبعث
لك الله، احنا اتفاقنا انه increasing، هذا الشرط
اللي موجود عندنا، لأن هذا ما قلتش يسوى، N زاد واحد
أكبر من N، يبقى ال N دايما اكبر من اتنين لومين، حد
لو ال N يمكن هذا رقم خمسميةإذا رقم خمسمية أكبر من
اتنين مدام الان أكبر من اتنين يبقى بصير ال limit
للان لما ال n tends to infinity أكبر من اتنين هل
اتنين هذا ممكن يساوي zero؟يبقى لا يمكن أن يساوي
zero يبقى star limit a n لا يمكن أن يساوي zero بال
in term test ال series مالها diverse بروح بقول هنا
by the in term test the seriesSummation ل 4 to the
power n factorial تربيه على 2n factorial by virgin
شكل انها طيب احنا اننا الآن بدأ السؤال تلاتة وكل
واحد صارت في فكرة شكل مختلفة عن الثانية تماما احنا
ايه لما جينا خدنا ال limit ووصلنا لهناحسبنا ال
limit لاجناها تساوي واحد صحيح إذا ال ratio test
فاشل في الحكم عالميا على ال theories هل هي
converge او by birth لما نفشل اختبار ال ratio قول
الله ادبر حالك بأي وسيلة لو بدي أعمل مثل المثال
الأول حلل واختصر هذا التحليل مش سهل نن ن نقص واعة
نن نقص اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين
اتنين اتنين اتنين اتnطبعا عندك N factorial ترابية
يعني لو اختصتنا على ال N factorial بظل ال N
factorial كمان فوق ومخلصناش صارت المسألة معقدة اذا
بدي ارجع بتفكير اخر بقول النتيجة لانها دي اتنين N
زي دي اتنين على اتنين N زي واحد كثر اكبر من الواحد
الصحيحطب النتيجة هذه عبارة عن مين؟ عبارة عن خارج
قسمة الحد النوني زايد واحد على الحد النوني، إذا
صار الحد النوني زايد واحد على الحد النوني أكبر من
مين؟ أكبر من واحد، لأن هذا الكسر أصلا أكبر من
واحد، هذا شو معناه؟ معناه أن دالة increasing
تزايديةتزايدى يعنى لو جبت اى حد الحد اللى بعده
بيكون اكبر منه روحنا جبنا الحد الاول طالع باتنين
اذا الحد التانى اكبر من اتنين والتالت اكبر من
اتنين والعاشر اكبر من اتنين والنونى اكبر من اتنين
ما دام أكبر من اتنين إذا لا يمكن أن يساوي zero
يبقى صار limit للحد النوني لا يمكن أن يساوي zero
ال term test بيقول إذا limit للحد النوني كان لا
يساوي zero او infinite يبقى ال series مالها by
value هذا اللي احنا قلناها حد بدأ يسأل اي سؤال؟
ايوة انت حلتي السؤال بعد مافيشو أنا دايما لما بفشل
معايا السؤال بحاول أحله بأي طريقة صحيحة مش احنا
موضوعنا ال ratio و ال in through يبقى انا بتطبق
الاختبارات هذه لما اتطبقت واحد منهم فشل الاختبار
فشل الاختبار روح تدبر حالك شوف يحكم عليه
conversion و other way بأي طريقة تقدر عليهامظبوط؟
روحت انا استخدمت المعطيات اللى توصلتلى هذه مش
هملتها ياماها كلها سفر روحت منها لأن هذه خارج قسمة
الحد النوني زاد واحدة لحد النوني واستخدمت استخدام
صحيح وقدرت احكم على سيرة هل هي convert ولا diverse
ممكن احنا نوصل لزاد واحدة لحد النوني؟فبعدين استخدم
ال answer ده مع طول طب و احنا هى اللى عملناه يا
ابنك؟ لأ يعني بدون ما أستعمل اختبار و يفشل و اعطول
انا مابحب استعمل ال answer نسمع اقتراحك يا بنبصله
يا بنقوله تدهاش تاني مرة خليكوا معايا، قول اقتراحك
عاد بدون ما استعمل اختبار ال .. ال ratio عطول اكسر
من حد انهني و اعطولها من حد انهني كيف بيكتيجي
اسمه؟ هك يعني زى التبصيتوالله كيف بدك تبص فهو
factorial تربية و factorial تاعة؟ كيبت تجسمه؟ هو
ال polynomial على ال polynomial مشان تجسمه؟ زي ما
شعرنا اذا وضعنا .. اهو ياولا .. زي ايه؟ زي ما
انجسمت ياولاطيب انا انت ايش رأيك؟ امسك جلمك و
ورقتك و اجسمليه معاك من هنا مش لأخر المحاضرة،
للمحاضرة الجاية تبعت ايه؟ بكرا ولا بعد بكرا؟ بكرا،
معاك من هنا لبكرا، و بتجيبلي النتيجة، ماشي؟ و اذا
ماكفهش لبكرا لبعد بكرا كمان، المحاضرة تبعت بعد
بكرا، فلازم؟طيب يجب الأن ننتقل إلى مثال آخر يختلف
كمان عن هذه الأمثلة في الفكرة بتبعته يبقى بالدالي
إلى المثال رقم أربع يقول لي a1 يساوي ثلاثة و الحد
إنهني زائد واحد يساوي n على n زائد واحد في ال a n
خلّيني أقول لك في الكتاب بيجي 6 مثال من هذا
الموديل وهذا واحد منهم برضه بيقول لي شوف هل هذه ال
series converge و الله ضعيفة بعدين بطلع فيها بقول
انا مش عارف شكل ال series ايه حتى ابدأ اخد ال
ratio test او ال info انا مش عارف ما هو شكل ال
series لكن لاحظ المعطيات اللي معطيها لك علاقة تربط
بين الحد نوني زائد واحد والحدوكانوا بيغششك بيقولك
خد او استخدم اختبار النسبة لان اختبار النسبة هو
علاقة من الحد النوني زاد واحد من الحد النوني صحيح
ولا لا؟ اذا انا هذه هاها بقدر اكتبها على الشكل
التالي انالان زائد واحد على الان يسوى ان على ان
زائد واحد يعني كأنه ايش؟ كأنه قلي اجسم الحد النوني
على الحد النوني زائد واختصر وهي نتيجة الاختصارات
رايحني مش زي اللي قبل انا لسه قعدت اختصريبقى هذا
قلع أبسط من هذا، يبدأ مجد اختصف، لا لا جاهز وخالص،
يبقى مش لازم لي شكل الحد النوني، لكن يمكن يلزم
الله أعلم، مابندريش، إذا أنا جبت علاقة بتربط الحد
النوني زاد واحد مع الحد النوني، إذا باخد ال limit
دغري، طيب إن أنا أخد ال limitيبقى هذا limit لل a n
زائد واحد على ال a n لما ال a n tends to infinity
limit لما ال a n tends to infinity لل a n على a n
زائد واحد يسوى جداش طب مين هو هذا؟ شو اسمه؟الراشيو
تيست فشل؟ الحمد لله يدوب سلكت حالنا غير و راح فشل
كمان يبقى باقى بقول ذا راشيو تيست فال
طيب يالا افكرلك فى طريقة تانى بقول اه ببطلها فى
المثل بقول اسمع انت وياه بقول ا واحد يسوى تلتة
ماعطيهاش للبلاش هذه ماعطيت فى المثل إذا إلها دور
فى الحل إذا بدي أروح أشوف ماهو دورها فى الحل بقوله
كويس ال a واحد يسوى قداش تلتة هل بنقدر نحسب a
اتنينأه كيف اتنين بدي اروح اكتبها ا واحد زائد واحد
يبقى صار الواحد اللي عندي هذا مكان مين؟ مكان ال N
يبقى بدي أشيل كل N هنا و أحط مكانها يبقى هذه بدي
أساوي واحد على واحد زائد واحد ا واحد ا واحد يبقى
كم؟ تلاتة واحد زائد واحديبقى الحد الثاني طلع في
الجدار ثلاثة على اتنين طيب نجيب الحد التالتإتنين
زائد واحد يبقى هشيل كل ان وحق مكانها اتنين وهذه
تصبح اتنين يبقى صارت هذه طولتين وهذه تلاتة على
اتنين يبقى صارت جدا واحد فبشرح كل واحد بقدر اكتبها
تلاتة على تلاتةمش مشكلة قبلش هيك لحاجة في نفسي يا
عقوب ستعرفونها بعد قليل يبقى ايه؟ اربع قلي ملا كده
بقول اربع اللي ايه تلاتة plus one تلاتة على تلاتة
plus one ايه تلاتة تلت اربع فاهمين في واحد يبقى
تلاتة على اربعإيه خمسة وبيكفي؟ إيه خمسة إيه أربعة
زائد واحد يبقى متساوي أربعة على أربعة زائد واحد
إيه أربعة يبقى أربعة أخمس في تلت اربع يسوي تلتة
على خمسةإذا بناء عليه بقدر أعرف ال series اللي
عندنا فبروح بقول لها the series is الحد الأول
تلاتة على واحد التاني تلاتة على اتنين تلاتة على
تلاتة تلاتة على أربعة تلاتة على خمسة بتضلك ماشي
لغاية تلاتة على ان إلى آخرينتمام؟ يبقى ال series
هذه مين؟ اللي هي تساوي summation لتلاتة على N من
عند ال N تساوي واحد لغاية infinity تلاتة summation
لواحد على N من N equal one to infinity مين هي هذه؟
مين هي هذه؟ Diverge Harmonic Series يبقى هذه
Diverge Harmonic Series يبقى يستطيعنا حل هذه
المسألة و الحكم عليها هل هي Converge او Diverge
لحد هنا انتهى هذا ال section و اليكم ارقام المسائل
اللي هي عشر خمسةExercises عشرة خمسة المسائل من
واحد لاتنين وستين اللي هي multiple of
three اللي هي مضاعفات من مضاعفات التلاتة
الان بدنا نجي ل section عشرة ستة بتكلم
عن ال alternating series
بنعطي تعريف لل alternating series احنا سابقا كله
بنتكلم عن series with positive term يعني من عند ال
test لغاية اخر اختبارين في ال section الماضي كله
series with positive term ندل الآن لل alternating
series اللي هي عبارة حد موجب و حد سالب من اول ال
series حتى اخرها يبجى definitionThe alternating
series
is an expression in the form الشكل التالي
من n equal one to infinity لسالب واحد to the power
n plus one لل N
حبينا نتعرف على شكل العناصر هدف تديلك a1- a2 زائد
a3- a4 زائد زائد ناقص واحد to the power n plus one
لل a n زائد الاخرين four summation من n equal one
to infinityلا ناقص واحد to the power n لل a n يبقى
سالب a one زائد a two سالب a three زائد a four
سالب زائد ناقص واحد to the power n a n زائد إلى
آخرى
لو رجعنا للاختبارات السابقة كانت الاختبارات
السابقة كلها تتحدث عن series with positive term
فعادة الاختبار الأول اللي هو ال test with positive
term لكن هذا ال section ينتقل إلى alternating
series يعني حد موجب و حد ثالثممكن يكون الحد الأول
موجب وممكن يكون الحد الأول سالب إن كان الأول موجب
اللي بعده سالب موجب سالب موجب سالب لغاية infinity
إن كان الحد الأول سالب التاني موجب سالب موجب سالب
موجب و هكذا لغاية ايه؟ لغاية infinityيبقى هذا
الشكل او هذا الشكل ليه اتنين اسمه alternating
series سواء كانت ال series اللي عندنا هذه او ال
series اللي عندنا هذه السؤال هوكيف بدنا نحكم على
هذه ال series هل هي converge او diverge؟ بيقولك اه
ال section هذا يعتبر مراجع ليه ما سبقت دراسته
بالنسبة لل sections الماضية يبقى كأنه هذا بيقول
الحين تتطلع في المسألة و بتروح تستخدم الاختبار
اللي تراه مناسبا بالنسبة لمين للمسألةلذلك بدنا
نروح ناخد نظرية هذه النظرية تتحدث عن ال
convergence of the alternating series شوف
ايش بتقول النظريةبيقول انك بتجي على ال alternating
series و بتسيبك من الإشارة السالبة اللى عندك هذه و
هذه كلها السالبة تطلع لل a1 لحال و ال a2 و ال a3 و
ال a4 هل كلهم موجب ولا لا إذا كلهم موجب بنقول آه
خلصنا الخطوة الأولى كل الحدود موجبةبنجي للخطوة
التانية هل هي decreasing ولا لأ يعني هل الحد
النوني اللي عندي أكبر من الحد النوني زاد واحد ولا
لأ اتحقق الشرط التاني روحت أخدت limit للحد النوني
لما ال N بتروح للمالة نهاية طلع الناتج يساوي zero
ان تحققت الشروط التلاتة دي بقول ال alternating
series مالهاالكلام اللى سمعته بدنا نروح نكتبه لك
فبتقول هنا the series النظرية
بتقول ما ياتى اللى هى summation من n equal one to
infinity لسلب واحد to the power n plus one لل a n
converge if the following
the three conditions are
satisfied إذا
تحققت الشروط التلاتة بقدر أقول إن ال series هذه
مالها convert النقطة الأولى the a and's كل الحدود
are all positive
الحدود الموجبة هذه are non increasing
ليست تزايدية يعني ممكن تكون decreasing أو ممكن
تكون constant that isان الان اكبر من او يسوى الان
زائد واحد لكل الان اللي اكبر من او يسوى capital N
for some integer capital N نقطة ثالثة والاخيرة
limit للانلما ال intensity infinity بده يساوي zero
example
determine
whether
the
series
مرة تانية بقول الان بدي اشوف ال series هل هي
converge ولا diverge بدي اروح على الشروط التلاتةهل
كل الحدود موجب ولا لأ؟ باخد و بسيب الإشارة السلبية
اي واحد لحال اتنين اتلتا كلهم موجب ولا لأ؟ كلهم
ماشي الحال النقطة التانية هل هدول بيشكلولي
increasing و non increasing series ولا لأ؟ الشرطة
تالي ال limit للحد النوني يسوى zero ولا لأ؟ ان حدث
ذلك يبقى seriesconvert طيب تعالى نشوف نطبق هذا على
أرض الواقع هالهي اللى اغطيتها دول هدى شو اسمها؟
واحدة من مين هى؟ Harmonic Harmonic اللى هى ايه؟
diverse طب ال alternating harmonic اللى نشوف هالهى
converge والله diverse اذا بدي اخد اللى هو النقطة
الاولى ال and the and الحدود اللى هو مين؟وحد على ن
يعني ثبت الإشارات السالبة كلها هل هذه موجة ولا
سالبة كلها موجة are all positiveالشرط التاني الحد
النوني بده يساوي واحد على ان اكبر من الحد النوني
زايد واحد اللي هو واحد على ان زايد واحد يبقى هذه
decreasing لكل الان اللي اكبر من او تساوي الواحد
الشرط التالت بدنا limit لل a n لما ال n tends to
infinity يبقى limit ل 1 على n لما ال n tends to
infinity يسوى جدّه ايه؟ Zero يبقى by the above
theorem the alternating harmonic
يبقى ال harmonic diverse لكن ال alternating
harmonic series converge صحيح
لأ المرة جاية ان شاء الله بتقولك وقتاش ال
alternating series بتبقى converge