موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما ابتدأنا فيه في
المرة الماضية المرة الماضية كنا بنتكلم على آخر
اختبارين اللي هم اختبار ال ratio test واختبار ال root
test قلنا بالنسبة ل ratio test بنجيب الحد
النوني زائد واحد على الحد النوني وبناخد ال limit
لما ال n بتروح لـ ما لا نهاية الناتج بسميه رو
إذا رو كانت أقل من الواحد الصحيح يبقى series
converges إذا رو أكبر من الواحد الصحيح أو تساوي
infinity يبقى diverges إذا رو تساوي واحد صحيح الاختبار
بيفشل ثم اختبار ال root test اختبار الجذر النوني
بناخد الجذر النوني للحد النوني لل series وبناخد ال
limit هذه وبنسميها رو إذا رو أقل من واحد
صحيح the series converges وإذا أكبر من واحد صحيح
أو infinite diverges واذا تساوي واحد الاختبار بيفشل
بتروح تدور لك على أي اختبار يحل المسألة اللي عندك
أخدنا على ذلك المرة الماضية سبعة أمثلة تمام المرة
هذه بنكمل هذه الأمثلة لكن المرة هذه الأمثلة أكثر
من المرة الماضية وهنشوف كل مثال بفكرة شكل مش
هنحاول نغطي الفكرة اللي موجودة في التمارين بيقول ال
summation لل N factorial لإن ال N على N في N زائد
اتنين نشوف هل هذه ال series converge والله
بي converge بطلع بلاقي فيها ال N factorial يبقى
أفضل اختبار في الاتنين هو اختبار النسبة وال ratio
test يبقى باجي بقوله بدي اخد رو تساوي ال limit
لما ال n تروح لـ ما لا نهاية للحد النوني زائد واحد على الحد
النوني يبقى limit لما ال N tends to infinity يبقى N
زائد واحد factorial لإن ال N زائد واحد كله على N
زائد واحد مضروب في N زائد واحد زائد اثنين
factorial كله بدأج اسمه على N factorial لإن ال N
على N في N زائد اثنين factorial هذا الكلام يساوي
limit لما ال N tends to infinity لمين؟ لل N plus
one في ال N factorial هذا اللي ما عنديش fact له
بيبقى كما هو هذا اللي هو N زائد واحد كما هي وهذا هو
N زائد ثلاثة إذا بقدر أفكر اللي هو N زائد ثلاثة في
مين؟ في N زائد اثنين factorial القسم بحولها إلى
ضرب وبنجلب البسط مقام ومقام بص N زائد اثنين
factorial كله على N factorial في لن ال N يساوي
limit لما ال n tends to infinity يعني اختصار
الاختصارات الجث هذا مع الجث هذا مع السلامة ال N
factorial مع ال N factorial الحلو ال N زائد اثنين
factorial مع ال N زائد اثنين factorial يبقى آلة
المسألة إلى N على N زائد ثلاثة في limit لما ال N
tends to infinity لمن؟ لن الان زائد واحد على لن الان
بعد الاختصارات n على n زائد ثلاثة مضروب في لن
الان زائد واحد على لن الان بنحسب ال limit الأولى ال
limit اللي هي أولى هدف جدراش كلها بواحد صحيح طبقا
لقاعدة L'Hôpital's rule الهدف infinity على infinity يبقى
مشتقة البسط على مشتقة المقام يبقى limit لما ال n
tends to infinity للواحد على n زائد واحد واحد على
n يبقى limit لما ال n tends to infinity لل n على n
زائد واحد تساوي جدراش إيش رأيك في الاختبار؟ فشل،
يبقى هنا باجي بقول السا ذا
ما حسمش المثال أو في فشل الاختبار يبقى تروح تدور لك
على أي شغلة ثانية بحيث المثال هذه تحكم عليها هل هي
converge أو diverge بعدين أطلع لمين؟ للمثلة بدي أعرف
هالمثلة convergence or divergence بدي ارجع لمين؟ لمن
أرجع لرأس المثلة بلاحظ في عندي factorial في البسط
وفي factorial في المقام بقدر أوصل factorial في
المقام لـ factorial بتابع البسط وبالتالي بحط المسألة
في شكل جديد يبقى باجي بقول المسألة أصلا هيها ال
summation من n equal one to infinity لل n
factorial لإن ال n على مين؟ على n في n زائد اثنين
في n زائد واحد في n factorial بالشكل اللي إنها ده
لو اختصرنا بروح ال N factorial مع ال N factorial
يبقى صارت المسألة كإنها summation لإن ال N على N
زائد واحد في N زائد اثنين بالشكل اللي عندنا هذا
الآن بدي أشوف هل ال series هذي converge ولا
diverge بقوله بسيطة احنا عندنا لن ال n على N في N
زائد واحد في N زائد اثنين شو علاقتها بـ N على N في
N زائد واحد في N زائد اثنين اللي بقوله شو علاقتها
بثانية جاله الله أكبر أصغر منه يبقى أقل من هذه تمام
طيب من أن أقل منها ممكن نختصر ال N مع ال N ويصير
واحد على N زائد واحد في N زائد اثنين شو علاقة هذه
بواحد على N في N؟
أقل منها لأن مقامها أكبر يبقى هذه أقل من هذه اللي
بيساوي واحد على n تربيع بقوله بطولك summation
واحد على n تربيع converge p series because n تساوي
اثنين أكبر من الواحد الصحيح باجي بقول هنا by
the comparison test of the series اللي همين summation
لإن ال N على N في N زائد واحد في N زائد اثنين
converge إذا بناء على ال ratio test فشل في الحكم
على series هل هي converge أو diverge لكن استطعنا
نحلها بواسطة تمام بواسطة ال comparison test بعد ما
فكينا واختصرنا طيب نيجي ناخد كمان سؤال مثال اثنين
بيقول ال summation من n equal one to infinity لل n
factorial to the power n على n to the power n
تربيع مين؟
أخذ الاختبار لهذا الشغل؟ ال ratio
بقدر أخد الجذر النوني للطرفين وبالتالي بيصير الجذر
النوني ربما يكون أسهل كتير من مية من ال ratio إذا
لو أداجي أخد اختبار الحد النوني root test تساوي ال limit
لما n tends to infinity للجذر النوني لل N factorial
to the power N على N to the power N تربيع هذا لبعض
الاختصارات طبعا الجذر النوني limit لما ال N tends
to infinity لل N factorial على N to the power N
الجذر النوني يعني إن القوس هذا كله أس واحد على N
بيصير واحد على N بطير هنا n تربيع على N بيبقى لها
n دي قدراش أس n زي ما أنت شايفك بيبقى لها n دي n
أس n طيب كويس
n تربيع يعني N في N على واحد على N يعني بيظل نص جدن
مش n تربيع عادي تعني N ضرب N مش أس مركب أس n
كله تربيع لأن أس بهاله تربيع لو كان أس مركب n
أس n كله تربيع يصير n أس 2n مظبوط لكن هذه n أس n
تربيع يعني n برب n نقسم على n بصير n to the power
n بالشكل اللي عندنا هذا طيب يلا بدنا نحسب هذه
ساندوتش ثيرم ساندوتش ثيرم والقوة الكبيرة دي
بالساندوتش ثيرم هذه محصورة بين مين ومين؟
صفر واحد على n ماشي هذا كلامك العتيق صح؟ لما
حاليا زمان ما احنا كنا نعرفش شيء الحين صار نعرفش
كتير يبقى احنا بنحلها بغير الحل اللي كان زمان
طبعا؟ تعالى نشوف كيف نستوف ال limit هذه هذه هي
تساوي limit لما ال N tends to infinity لمين؟ لل N
في N ناقص واحد في N ناقص اثنين في ثلاثة في اثنين
في واحد على N في N في N في N في N في N في إيه؟ كم
حد اللي في ال bus كدهش عدد هو اللي فات
n واللي في المقام n كذلك يبقى عندي n من الحدود
لكن لو اختصرت هذه مع بعض شيرة عدد الحدود قداش نقص
واحد بينقص واحد لإن اختصرت من ال bus تحد ومن
المقام حد يعني كإن المسألة هي ال limit لما ال N
تنسى infinity لمن؟ لل N ناقص واحد على N N ناقص
اثنين على N ونظل ماشيين لغاية ثلاثة على N اثنين
على N واحد على N يعني اعتبرت كل واحد مقسم على N من
ال N's اللي موجودة عندي طب شوف ليه شو مقارنتك
مع limit لما ال N تنسى infinity لل N ناقص واحد على N
N-1 على N N-1 على N N-1
على N شوف ليه ال limit الأولى والله التاني يمين
اللي أقل
طيب؟ التاني أقل من الأولى؟ أكبر لأن ال bus تبعها
أكبر من bus هذه يعني أنا ثبت ال bus كله بالنقص
واحد لكن هنا ال نقص واحد أجل منه النقص اثنين ال
نقص كله أجل منه إذا ال limit هذه أقل من مين؟ من ال
limit اللي قلنا هذه صحيح ولا لا؟ هذا الكلام يساوي
limit لما ال N تنسى ال infinity كم واحدة هؤلاء؟
نقص واحد يبقى هذه N-1 على N to the power N
minus ال one اللي بقدر أكتبها limit لما ال N tends
to infinity ل 1-1 على N أس N-1
ما رأيك هذه لو ضربتها في واحد صحيح 1-1
على n 1-1 على n مش ضربتها في واحد صحيح
وبالسؤال ليش ضربتها هذا ما سنجيب عليه الآن نبقى
هذا limit لما ال n تنسو infinity للواحد ناقص واحد
على n to the power n 1-1 على n
الله أعظم لعلكم أدركتوا شو السبب قداش limit
الباصة E والسالب واحد يبقى E والسالب واحد والمقام
واحد يبقى ليش عملت هك؟ مشان أجدركت قد مين؟ بدلالة
ال E والسالب واحد من الجدول الرقم خمسة في الجدول
تبع ال limits فيبقى هذا بده يساوي 1 على E
الواحد على E مالها؟ أكبر من واحد، إذا ال limit اللي
عندنا هديها أقل، أقل، ضلت، ماشي، لجت، أقل من
الواحد، يبقى ال series converge ولا diverge؟
converge، يبقى بروح بضله، الآن
يبقى بروح و بقوله by the inf root test the series
الأصلية اللى وراها ال summation لل N factorial to
the power N أُس N تربيع converge
إذا فكرة السؤال هذا تختلف عن فكرة السؤال اللي
جابله وإليك السؤال رقم تلاتة نشوف الفكرة زيهم
والله بتختلف كمان السؤال بيقول ما ياتي summation من
N equal one to infinity للاربعة to the power N N
factorial الكل تربيع على الاتنين N factorial يبقى
ال ratio test والله ال N throat
الراتو ساوي ال limit لما ال n tends to infinity
لحد انه يزايد واحد على الحد انه يبقى limit لما ال
n بده تروح الى infinity بدي أشيل كل N و أضع مكانها
N زائد واحد يبقى أربعة أس N زائد واحد N زائد واحد
factorial لكل تربيع
ن فاكتوريال تقسيم أربعة to the power of N ن
فاكتوريال لكل تربيع كله على اثنين ن فاكتوريال هذا
الكلام بده يساوي ال limit لما ال N tends to
infinity لمن؟ للأربعة في أربعة أس N في N زائد واحد
في N factorial في تربيع بيصير هذا تربيع وهذا ثاني
تربيع حالة هذه شباب قداشر N N زائد اثنين بيصير
اثنين N زائد اثنين اثنين N زائد واحد
الجسم هحولها لضرب و نجلب بيصير عندي اثنين N
factorial على أربعة to the power N في ال N
factorial الكل تربيع يابجي ابقى انانيجي نختصر
الاختصارات اللي عندنا و نشوف ايش بده يطلع
طلّع ليه كويس؟ أربعة وسن مع أربعة وسن in factorial
تربيع مع in factorial تربيع اثنين in factorial مع
اثنين in factorial بلّعلي هادي هادي اثنين في in
زائد واحد بظبط يبجي اثنين مع الاربعة ببقى اللي
عندي اثنين و in زائد واحد مع التربيع تمام يبجي هذا
اللي بلّعنا يبجي قالت ال limit لما ال N tends to
infinity لمن؟ لل 2N زائد 1 على 2N زائد 1 يبقى
يساوي limit لما ال N بده تروح ل infinity مشتقت
البعض على مشتقت المقام كده شو بطلع؟ 2 على 2 يساوي
1 يبقى معنى هذا الكلام انه اختبار ال ratio test
نالو بيفشل هذا بده يعطيك the ratio test is
inconclusive طيب
تبر حالك
يعني لو أنا بتقل السؤال عليه خمس علامة بحطلك علامة
أفشل يا كده بالحالة، كويس؟ ولذلك لشان وضيع وأنت
بتحطله عليه علامة، اللي أنا كنت شوفه اللي كان دارج
والله ضايق دارج ما قالليش يبقى فاشل الاختبار أنا
طالب تحكم تشوف ليه conversion ولا divergence؟ أنا
ما قلتليش لا conversion ولا divergence صح ولا لا؟
ففاشل الاختبار معاه، إذا بدك تروح تدورلك على طريقة
أخرى طيب كيف دورك؟ ايش بقى؟ هذا in fact لو بده فكه
تربية بصير ما شاء الله عليها معقدة جدا
طيب ندبر حالنا شوية نشوف كيف الحين احنا لما جسمنا
اثنين على بعض امشي امشي امشي وصلنا لوين؟ لهذه صحيح
ولا لأ يبقى أصبح عند الحد النوني زائد واحد على
الحد النوني بدي ساوي اثنين N زائد اثنين على اثنين
N زائد واحد مش هذا اللي توصلنا له السؤال هو هل هذا
الكثر أكبر من واحد صحيح ولا أجاليحق من واحد صحيح
أن ال bus أكبر من مقدار واحد إذا هذا أكبر من
الواحد الصحيح يعني معناه ايش؟ معناته أن الحد
النوني زائد واحد على الحد النوني أكبر من الواحد
الصحيح مصبور؟ طيب يا سلام ال bus أكبر من المقام
ولا لا؟ من الابتدائي من الرابع الابتدائي للبس أكبر
مقامي والكسر أكبر من الواحد الصحيح ماشي إذا كنت
صغير اصغير بطيك تظل كثير أنت حر مالاشي ده يعني طيب
على أي حال صار المقدار هذا أكبر من الواحدة ال A ان
عمره بياخد قيمة سالبة لأن رياشي و لأن ثلوج اشتراقنا
كل الحدود موجبة و مسئلة كل الحدود موجبة يبقى لو
ضربت الطرفين في A M يبقى هذا معناته أن الحد النوني
زائد واحد أكبر من الحد النوني لكل N أكبر من أو
تساوي كم؟ واحد طب كويس، ايش رأيك؟ ايش بفهم من هذا؟
أن الحد النوني زاد واحد أكبر من الحد النوني، يبقى
ال series increasing ولا decreasing؟ increasing
تزاوية، يعني لو عرفت الحد الأول، بكون الحد الثاني
أكبر منه لو عرفت الحد العاشر، يكون الحد الحادي عشر
أكبر منه، لو عرفت الحد الرقمية، يكون الحد الرقمية
واحد أكبر منه، لأنه increasing، مظبوط؟ طب تعالوا
نتعرف على الحد الأول، يبقى لو جئت وقلت بدأ أخد A
واحد يساوي، برجع لرأس المثلة، بدأ أشيل كل N و أحط
مكانها؟ يبقى بيصير أربعة أقص واحد باربعة واحد
factorial تربيع على مين على الاثنين factorial
يبقى أربعة على اثنين ويساوي اثنين إذا الحد الأول
اثنين، حد فده يعطيلك إن الحد رقم M دائما و أبدا
أكبر من اثنين ولا لأ؟ صح ولا لا؟ يبقى الحد سوى يبعث
لك الله، احنا اتفاقنا انه increasing، هذا الشرط
اللي موجود عندنا، لأن هذا ما قلتش يسوى، N زاد واحد
أكبر من N، يبقى ال N دايما أكبر من اثنين لمين، حد
لو ال N يمكن هذا رقم خمسمية إذا رقم خمسمية أكبر من
اثنين مدام الان أكبر من اثنين يبقى بصير ال limit
للان لما ال n tends to infinity أكبر من اثنين هل
اثنين هذا ممكن يساوي zero؟ يبقى لا يمكن أن يساوي
zero يبقى star limit a n لا يمكن أن يساوي zero بال
in term test ال series مالها diverse بروح بقول هنا
by the in term test the series summation ل 4 to the
power n factorial تربيه على 2n factorial by virgin
شكل انها طيب احنا اننا الآن بدأ السؤال تلاتة وكل
واحد صارت في فكرة شكل مختلفة عن الثانية تماما احنا
ايه لما جينا خدنا ال limit ووصلنا لهنا حسبنا ال
limit لاجناها تساوي واحد صحيح إذا ال ratio test
فاشل في الحكم عالميا على ال theories هل هي
converge او by birth لما نفشل اختبار ال ratio قول
الله ادبر حالك بأي وسيلة لو بدي أعمل مثل المثال
الأول حلل واختصر هذا التحليل مش سهل نن نقص واعة
نن نقص اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين
اتنين اتنين اتنين اتنين طبعا عندك N factorial ترابية
يعني لو اختصرتنا على ال N factorial بظل ال N
factorial كمان فوق ومخلصناش صارت المسألة معقدة إذا
بدي ارجع بتفكير آخر بقول النتيجة لأنها دي اتنين N
زي دي اتنين على اتنين N زي واحد أكثر أكبر من الواحد
الصحيح طب النتيجة هذه عبارة عن مين؟ عبارة عن خارج
قسمة الحد النوني زائد واحد على الحد النوني، إذا
صار الحد النوني زائد واحد على الحد النوني أكبر من
مين؟ أكبر من واحد، لأن هذا الكسر أصلا أكبر من
واحد، هذا شو معناه؟ معناه أن الدالة increasing
تزايدية تزايدية يعني لو جبت أي حد الحد اللي بعده
بيكون أكبر منه روحنا جبنا الحد الأول طالع باتنين
إذا الحد الثاني أكبر من اتنين والثالث أكبر من
اتنين والعاشر أكبر من اتنين والنوني أكبر من اتنين
ما دام أكبر من اتنين إذا لا يمكن أن يساوي zero
يبقى صار limit للحد النوني لا يمكن أن يساوي zero
ال term test بيقول إذا limit للحد النوني كان لا
يساوي zero أو infinite يبقى ال series مالها by
value هذا اللي احنا قلناه حد بدأ يسأل أي سؤال؟
ايوه أنت حلتي السؤال بعد ما فشلت أنا دائما لما بفشل
معايا السؤال بحاول أحله بأي طريقة صحيحة مش احنا
موضوعنا ال ratio و ال in through يبقى أنا بتطبق
الاختبارات هذه لما طبقت واحد منهم فشل الاختبار
فشل الاختبار روح تدبر حالك شوف يحكم عليه
conversion و other way بأي طريقة تقدر عليها مظبوط؟
روحت أنا استخدمت المعطيات اللي توصلت لها هذه مش
هملتها ياماه كلها سفر روحت منها لأن هذه خارج قسمة
الحد النوني زاد واحدة للحد النوني واستخدمت استخدام
صحيح وقدرت أحكم على السلسلة هل هي convert ولا diverse
ممكن احنا نوصل لزاد واحدة للحد النوني؟ فبعدين استخدم
ال answer ده مع طول طب واحنا هي اللي عملناه يا
ابنك؟ لأ يعني بدون ما استعمل اختبار ويفشل واعطول
أنا مابحب استعمل ال answer نسمع اقتراحك يا بنبص له
يا بنقول له تدهاش تاني مرة خليكوا معايا، قول اقتراحك
عاد بدون ما استعمل اختبار ال... ال ratio عطول اكسر
من حد انهني واعطولها من حد انهني كيف بيكتيجي
اسمه؟ هك يعني زي التبصيت والله كيف بدك تبص فهو
factorial تربية و factorial تاعة؟ كيف بتجسمه؟ هو
ال polynomial على ال polynomial مشان تجسمه؟ زي ما
شعرنا إذا وضعنا... اهو ياولا... زي ايه؟ زي ما
انجسمت ياولاطيب أنا أنت ايش رأيك؟ امسك جلمك و
ورقتك واجسمليه معاك من هنا مش لأخر المحاضرة،
للمحاضرة الجاية تبعت ايه؟ بكرا ولا بعد بكرا؟ بكرا،
معاك من هنا لبكرا، وبتجيب لي النتيجة، ماشي؟ وإذا
ما كفاش لبكرا لبعد بكرا كمان، المحاضرة تبعت بعد
بكرا، فلازم؟ طيب يجب الآن ننتقل إلى مثال آخر يختلف
كمان عن هذه الأمثلة في الفكرة بتاعته يبقى بالدالي
إلى المثال رقم أربع يقول لي a1 يساوي ثلاثة والحد
النهني زائد واحد يساوي n على n زائد واحد في ال a n
خلّيني أقول لك في الكتاب بيجي 6 مثال من هذا
الموديل وهذا واحد منهم برضه بيقول لي شوف هل هذه ال
series converge والله ضعيفة بعدين بطلع فيها بقول
أنا مش عارف شكل ال series ايه حتى أبدأ آخد ال
ratio test أو ال info أنا مش عارف ما هو شكل ال
series لكن لاحظ المعطيات اللي معطيها لك علاقة تربط
بين الحد النوني زائد واحد والحد وكانوا بيغششك بيقولك
خد أو استخدم اختبار النسبة لأن اختبار النسبة هو
علاقة من الحد النوني زاد واحد من الحد النوني صحيح
ولا لا؟ إذا أنا هذه هاها بقدر أكتبها على الشكل
التالي an زائد واحد على الان يساوي n على n
زائد واحد يعني كأنه ايش؟ كأنه قالي اجسم الحد النوني
على الحد النوني زائد واختصر وهي نتيجة الاختصارات
رايحني مش زي اللي قبل أنا لسه قعدت أختصر يبقى هذا
أبسط من هذا، يبدأ مجد اختصف، لا لا جاهز وخالص،
يبقى مش لازم لي شكل الحد النوني، لكن يمكن يلزم
الله أعلم، مابندريش، إذا أنا جبت علاقة بتربط الحد
النوني زائد واحد مع الحد النوني، إذا باخد ال limit
دغري، طيب إن أنا آخد ال limit يبقى هذا limit لل a n
زائد واحد على ال a n لما ال a n tends to infinity
limit لما ال a n tends to infinity لل a n على a n
زائد واحد يساوي قداش؟ طب مين هو هذا؟ شو اسمه؟ الراشيو
تيست فشل؟ الحمد لله يدوب سلكت حالنا غير وراح فشل
كمان يبقى باقي بقول ذا ratio test فال
طيب يلا أفكر لك في طريقة تانية بقول اه ببطلها في
المثل بقول اسمع أنت وياه بقول a واحد يساوي تلاتة
معطيهاش للبلاش هذه معطيت في المثل إذا الها دور
في الحل إذا بدي أروح أشوف ماهو دورها في الحل بقوله
كويس ال a واحد يساوي قداش؟ تلاتة هل بنقدر نحسب a
اتنين؟ اه كيف اتنين؟ بدي اروح أكتبها a واحد زائد واحد
يبقى صار الواحد اللي عندي هذا مكان مين؟ مكان ال N
يبقى بدي أشيل كل N هنا وأحط مكانها يبقى هذه بدي
أساوي واحد على واحد زائد واحد a واحد a واحد يبقى
كم؟ تلاتة واحد زائد واحديبقى الحد الثاني طلع في
الجدار تلاتة على اتنين طيب نجيب الحد الثالث اتنين
زائد واحد يبقى هشيل كل n وحق مكانها اتنين وهذه
تصبح اتنين يبقى صارت هذه اتنين وهذه تلاتة على
اتنين يبقى صارت تلاتة على اتنين يبقى صارت واحد ونص فبشرح كل واحد بقدر أكتبها
تلاتة على تلاتة مش مشكلة قبلش هيك لحاجة في نفسي يا
عقوب ستعرفونها بعد قليل يبقى ايه؟ أربعة قلي كده
بقول أربعة اللي ايه تلاتة plus one تلاتة على تلاتة
plus one ايه تلاتة تلت أربعة فاهمين في واحد يبقى
تلاتة على أربعة ايه خمسة وبيكفي؟ ايه خمسة ايه أربعة
زائد واحد يبقى متساوي أربعة على أربعة زائد واحد
ايه أربعة يبقى أربعة أخماس في تلت أربع يساوي تلاتة
على خمسة إذا بناء عليه بقدر أعرف ال series اللي
عندنا فبروح بقول لها the series is الحد الأول
تلاتة على واحد الثاني تلاتة على اتنين تلاتة على
تلاتة تلاتة على أربعة تلاتة على خمسة بتضلك ماشي
لغاية تلاتة على n إلى آخره تمام؟ يبقى ال series
هذه مين؟ اللي هي تساوي summation لتلاتة على N من
عند ال N تساوي واحد لغاية infinity تلاتة summation
لواحد على N من N equal one to infinity مين هي هذه؟
مين هي هذه؟ Diverge Harmonic Series يبقى هذه
Diverge Harmonic Series يبقى يستطيعنا حل هذه
المسألة والحكم عليها هل هي Converge أو Diverge
لحد هنا انتهى هذا ال section وإليكم أرقام المسائل
اللي هي عشرة خمسة Exercises عشرة خمسة المسائل من
واحد لاتنين وستين اللي هي multiple of
three اللي هي مضاعفات من مضاعفات التلاتة
الآن بدنا نجي ل section عشرة ستة بتكلم
عن ال alternating series
بنعطي تعريف لل alternating series احنا سابقا كله
بنتكلم عن series with positive term يعني من عند ال
test لغاية آخر اختبارين في ال section الماضي كله
series with positive term ندل الآن لل alternating
series اللي هي عبارة حد موجب وحد سالب من أول ال
series حتى آخرها يبقى definition The alternating
series
is an expression in the form الشكل التالي
من n equal one to infinity لسالب واحد to the power
n plus one لل N
حبينا نتعرف على شكل العناصر هدف تديلك a1- a2 زائد
a3- a4 زائد زائد ناقص واحد to the power n plus one
لل a n زائد الآخرين for summation من n equal one
لا ناقص واحد to the power n لل a n يبقى to infinity
سالب a one زائد a two سالب a three زائد a four
سالب زائد ناقص واحد to the power n a n زائد إلى
أخرى
لو رجعنا للاختبارات السابقة كانت الاختبارات
السابقة كلها تتحدث عن series with positive term
فعادة الاختبار الأول اللي هو ال test with positive
term لكن هذا ال section ينتقل إلى alternating
series يعني حد موجب وحد ثاني ممكن يكون الحد الأول
موجب وممكن يكون الحد الأول سالب إن كان الأول موجب
اللي بعده سالب موجب سالب موجب سالب لغاية infinity
إن كان الحد الأول سالب الثاني موجب سالب موجب سالب
موجب وهكذا لغاية ايه؟ لغاية infinity يبقى هذا
الشكل أو هذا الشكل ليه اتنين اسمه alternating
series سواء كانت ال series اللي عندنا هذه أو ال
series اللي عندنا هذه السؤال هو كيف بدنا نحكم على
هذه ال series هل هي converge أو diverge؟ بيقولك اه
ال section هذا يعتبر مراجع لِما سبقت دراسته
بالنسبة لل sections الماضية يبقى كأنه هذا بيقول
الحين تتطلع في المسألة وبتروح تستخدم الاختبار
اللي تراه مناسبا بالنسبة لمين؟ للمسألة لذلك بدنا
نروح ناخد نظرية هذه النظرية تتحدث عن ال
convergence of the alternating series شوف
ايش بتقول النظرية؟ بيقول إنك بتجي على ال alternating
series وبتسيبك من الإشارة السالبة اللي عندك هذه وهذه كلها السالبة تطلع لل a1 لحال و ال a2 و ال a3 و
ال a4 هل كلهم موجب ولا لا؟ إذا كلهم موجب بنقول آه
خلصنا الخطوة الأولى كل الحدود موجبة بنجي للخطوة
الثانية هل هي decreasing ولا لأ؟ يعني هل الحد
النوني اللي عندي أكبر من الحد النوني زاد واحد ولا
لأ؟ اتحقق الشرط الثاني روحت أخدت limit للحد النوني
لما ال N بتروح للمالا نهاية طلع الناتج يساوي zero
إن تحققت الشروط الثلاث دي بقول ال alternating
series مالها؟ الكلام اللي سمعته بدنا نروح نكتبه لك
فبتقول هنا the series النظرية
بتقول ما ياتي اللي هي summation من n equal one to
infinity لسالب واحد to the power n plus one لل a n
converge if the following
the three conditions are
satisfied إذا
تحققت الشروط الثلاث بقدر أقول إن ال series هذه
مالها convert النقطة الأولى the a and's كل الحدود
are all positive
الحدود الموجبة هذه are non increasing
ليست تزايدية يعني ممكن تكون decreasing أو ممكن
تكون constant that is أن ال an أكبر من أو يساوي ال an
زائد واحد لكل ال an اللي أكبر من أو يساوي capital N
for some integer capital N نقطة ثالثة والأخيرة
limit لل an لما ال intensity infinity بده يساوي zero
example
determine
whether
the
series
مرة ثانية بقول ال an بدي أشوف ال series هل هي
converge ولا diverge بدي أروح على الشروط الثلاث هل
كل الحدود موجب ولا لأ؟ باخد و بسيب الإشارة السلبية
أي واحد لحال اتنين تلاتة كلهم موجب ولا لأ؟ كلهم
ماشي الحال النقطة الثانية هل هدول بيشكلولي
increasing و non increasing series ولا لأ؟ الشرطة
التالية ال limit للحد النوني يساوي zero ولا لأ؟ إن حدث
ذلك يبقى series convert طيب تعال نشوف نطبق هذا على
أرض الواقع هالهي اللي أغطيتها دول هدى شو اسمها؟
واحدة من مين هي؟ Harmonic Harmonic اللي هي ايه؟
diverse طب ال alternating harmonic اللي نشوف هالهي
converge والله diverse إذا بدي آخذ اللي هو النقطة
الأولى ال and the and الحدود اللي هو مين؟ واحد على n
يعني ثبت الإشارات السالبة كلها هل هذه موجبة ولا
سالبة كلها موجبة are all positive الشرط الثاني الحد
النوني بده يساوي واحد على n أكبر من الحد النوني
زائد واحد اللي هو واحد على n زائد واحد يبقى هذه
decreasing لكل ال n اللي أكبر من أو تساوي الواحد
الشرط الثالث بدنا limit لل a n لما ال n tends to
infinity يبقى limit ل 1 على n لما ال n tends to
infinity يساوي جدة ايه؟ Zero يبقى by the above
theorem the alternating harmonic
يبقى ال harmonic diverse لكن ال alternating
harmonic series converge صحيح
لأ المرة الجاية إن شاء الله بتقولك وقتاش ال
alternating series بتبقى converge