موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم المرة السابقة كنا بتكلم اخر
حاجة عن limit comparison test قولنا limit
comparison test هو عبارة عن ثلاث نقاط في عندي
series أصلية بختار series أقارن معاها ال series
هذه بكون معروفة بالنسبالي مسبقا هل هي converge او
diverge
السيريز اللى عندنا هدى بكون عارفين هل هى converge
او diverge وبالتالي بروح بجسم ال two series الحد
النوني في الكون الاولى على الحد النوني في التانية
و بروح باخد ال limit لما ال n بدها تروح ل infinity
بنطلع الناتج قيمة عبادية ليست Zero يبقى في هذه
الحالة بقول ال two series زي بعضهم إذا تبعت المقام
converge يبقى تبعت ال bus converge إذا تبعت المقام
diverge يبقى تبعت ال bus diverge إن كان الناتج
يساوي Zero تبعت المقام converge يبقى تبعت ال bus
converge إن كان المقامالنتيجة كانت تستويق
الانفينيتي وتبعث المقام by there وخمسة
امثلة وهذا هو المثال رقم ستةطيب بنروح نختار series
نقارن معاها ال series اللي عندنا هذه يبقى بناء
عليه مين بتفضل نقارن معاه ال series طبعا واحد على
إيش على إنت كإيمة اللي هي ال converge صح؟لو جربنا
واحد على ان تربية لأن هو واحد على ان تكيب convert
لما تقسم هذا يعني هفضلن ان الكل تربية عند infinity
بتطلع بجداشبإنفينتي وبالتالي بيفشل اختبار اللى
عندنا إذا من الخطأ جدا بمجرد النظر انك تجسم على
واحد على انت كيف لإن نتيجة اللى بتعطيك جداش ما لا
نهاية يبقى بيفشل اختبار نتيجة للاختيار الخاطئ لل
series اللى بنقارن معاها لكن لو روحنا قارن على
واحد على انت الأولة converge والتانية converge
وبالتالي ماعنديش إشكالية مادام الأولى ماجبتش نتيجة
التانية ممكن تجيب نتيجة والله أعلم يبقى احنا لو
جينا وقولنا هاي summationلو 1 على N تربية هذي
convert في series السبب because أن P يسوى 2 أكبر
من الواحد الصحيح يبقى بتروح أخد limit لما ال N
tends to infinity لإن ال N لكل تربية على N تقيم 1
على N تربيةيبقى limit لما ال in tends to infinity
لإن تربيع لإن ال in لكل تربيع على إن تكيب
التعويض المباشر بيجيب لك infinity على infinity
بيجيب نستخدم قاعدة lobital يبقى هنا بيستوي ال
limit لما ال N tends to infinity لان اتنينلن ال N
في مشتقة لن ال N اللي هي جداش واحد على انه مشتقة
المقام جداش بواحد يبجي أسارة المسألة اتنين هذا
constant برا ال limit وهي limit لما ال N tends to
infinity للن ال N على M هذه ال limit بجداش بجداش
ال limit هذه
أول واحدة فيهم يبقى هذا الكلام بده يساوي اتنين في
زيرو ويساوي زيرو الان النتيجة زيرو تبعت المقام
converge يبقى بناء على ال limit comparative part
two النقطة الثانية منه ال series مالها converge
فبجي بقوله bye
سؤال السابع
بيقول لي summation من n equal one to infinity
لواحد ناقص cosine واحد على n بنشوف
هل ال series هذي converge و لا diverseنقررها مع
مين يا شباب؟ مع واحد على ان انا موافق بس هل تجيب
نتيجة و لا ماتجيبش نتيجة؟ الله أعلم طب لو جينا مع
واحد على ان واحد على ان diverse مظبوط؟ وهنا واحد
ناقص كسين واحد على ان على واحد على ان لما الان بدأ
تروح للمال نهايةبصير كوساين صفر اللي هو بيقول باشر
واحد نقص واحد صفر تمام على صفر بدنا نروح نشتق يبقى
لما نروح نشتق بصينا عند ايه صين واحد على ان في
سالب واحد على ان تربيه على سالب واحد على ان تربيه
وصار صين واحد على ان واحد على مدى نهاية Zero صين
Zero ب Zero إذا فشل الإختبارتمام؟ إذا لو روحنا
قارننا مع واحد على ان بيفشل الاختبار، مظبوط؟ طيب،
لو روحنا لاختبار الحد النوني، limit لهذا المقدار
لما الانبط يروح للماء لنهاية، لأنه بدنا اختبار
آخر، مظبوط؟ يبقى لو أخدت limit هذا لما الانبط يروح
للماء، بيصير واحد عمال لنهاية
فش الاختبار الحدي النوني تكامل
و لسه باك تبحث الأمور التلادة طب ليش؟ غير ال
series سابعتك يعني هي القرآن نزل من السماء غير
summation 1 على M ليس بالضرورة يعني انت ممكن تختار
series و يكون هذا الاختيار خاطئ تضطر إلى تغيير ال
series اللي عندك و ليس إلى تغيير الاختبار احنا
روحنا غيرنا الاختبار دغري وهذا ليس بالضرورةطيب بدل
واحد على ان تربية لو جربت واحد على ان تربية ايش
بيصير يعني نجرب واحد على ان تربية يبقى هنا باجي
بقوله ان ال summation واحد على ان تربية يبقى هذي
convert P seriesبسبب ان P يساوي اتنين اكبر من
الواحد الصحيح اذا اذا انا اخد limit لما N تنزل
لإنفينيتي لمن؟ لما N تنزل لإنفينيتي لواحد ناقص
cosine واحد على N على واحد على N تربيع
التعويض المباشر بيجيب لي 0 على 0 إذا مشتقت البصد
على مشتقت المقام يبقى لو جينا اشتقنا البصد high
limit لما ال N tends to infinity تمام اللي لما
تفضل واحد بزيرو تفضل كساين بسالب ساين مع سالب
بيصير موجب ساين واحد على Nفي تفاضل الزاوية سالب
واحد على انت ربيع وهنا سالب اتنين على انت كيب
بنختصر سالب واحد على N تربيع مع سالب واحد على N
تربيع بيظل في المقام اتنين على N يعني صارت المسألة
هي ال limit لما ال N tends to infinity لل sign
واحد على N على اتنين على N سالب مع سالب واحد على N
تربيع مع واحد على N تربيع يبقى صارت المسألة بهذا
الشكلتعود المباشر بيجيب لقداشر Zero على Zero يبقى
Lobital كمان مرة يبقى هادي بدها ساوي هيفوت limit
لما ال in tends to infinity لمشتقة البسط بكوسين
واحد على in في مشتقة الزاوية بسالب واحد على in
تربية وسالب اتنين على in تربيةمقدار ثابت 1 على N
بـ-1 على N تربية المشتقة تبعتها سالب واحد على N
تربية مع سالب واحد على N تربية بيبقى عندي النص في
limit لما ال N tends to infinity لكوسين واحد على N
يبقى هذا الكلام يساوي نص كوصين صفر بقداش بواحد
يبقى الجواب يساوي نص طيب تبعت المقام هنا converge
والنتيجة ساوة تمام قيمة عددية يبقى التنتين هذول زي
بعض يبقى باجي بقوله بايthe limit comparison test
the series الهي ال summation ل واحد ناقص cosine
واحد على N converge طلعلي
في السؤال كويس الآن بدنا نشوف مين ال series اللي
حبينا نقارن معاها يلا اقترحوا عليناعشان يرفع يدك
ويقول لي كذا حتى نقول لك غلط يالا ايوة واحد يرفع
يدي يالا يحكي اتفضل يالا ايوة نشوف ولا واحد طب انت
بتحكي تاني ولا عشان قلت غلط ايوة اتفضل انت انت
اللي يقولك ليش غلطالان نجي مع 1 على N تربيع 1 على
N تربيع convert لما نقارن معاه تطلع N تربيع فوق و
N و 3 على 2 مبقال جذر ال N فلن ال N بما لنهاية
يبقى فاشل الاختبار يلاوأحد على نقص نص غلط يالا
يبقى هاي ال N نص نص بتطلع فوق بيصير لإن ال N على N
وواحد على نقص نص by vary و لإن ال N على N ب zero
يبقى فاشي يالا غلط قول واحد على نقص كده تلتين
اتنين على تلتين اتنين على تلتين اتنين على تلتين
اتنين على تلتين اتنين على تلتين اتنين علىطبعا يبقى
اتنين على تلاتة بيصير هنا اتنين على تلاتة هنا واحد
و نص طبعا اتنين على تلاتة تلتين بيبقى النص زي
التلت خمس أسداس صح ولا لأ؟ يبقى بيبقى الواحد على
انص خمس أسداس في المقام وعلى انتكابه بيفشل، ايش ما
تقول بيفشل؟ اه ساتسات لإن الان ترفيه على انتكابه
لأن ال interview ..يعني تبقى تقارن مع الأصليها دي؟
السؤال اللي جابله يعني؟ اه ليه توجع رأسك؟ يعني انت
لو هذه مش موجودة تقدر تقارن معاها؟ طيب احنا بيجيبك
واحدة تقارن معاه و يكون صحيح، بس انت لو انك دقيق
النظر شوية، كيف؟النص نص فشلت، و أس تلتين فشلت، و
إيه؟ واحد علين فشلت، و واحد علين نقش واحد و نص
فشلت، و واحد علين تربية فشلت، و واحد علين نص خمسة
علت .. طب و أنت ليش بتمشي النص واحد واحد و نص
اتنين لاتنين؟ طب ما تخليها واحد و ربع مثلايعني غير
انصاص يعني هو القرآن نزل من السنة ليس بالضرورة
المهم رقم بدكي أكبر من الواحدة و أقل من الواحد
تمام؟ اذا انا لو اتجربت واحد على إن أس واحد و ربع
مثلا، conversion or divation؟ طيب نشوف، انطلق
نتيجة صفر خلصنا، مظبوط؟ اه يعني انت سغري مش ان انا
اقولك ايش ما تقول غلط من البدالة نسؤالبدو تفكير
دقيق شوية يعني، يبقى احنا بنيجي بنقول ان summation
1 على N أس 1 وربع يعني جباشخمسة على اربع واحد
واربع يعني series convert يفجأ هذي convert P
series السبب because ان P تساوي خمس اربع اكبر من
الواحد الصحيحطيب بدأو حاخد limit لما ال N tends to
infinity لإن ال N N أس ثلاثة على اتنين تقسم واحد
على N أس خمسة على أربعةlimit لما ال N tends to
infinity ل N أُس خمسة على أربعة على مين في لن ال N
على N أُس ثلاثة على اتنين ويسوي limit لما ال N
tends to infinity ل لن ال N على N أُس ربع
خمسة على أربعة واحد وربع تلاتة على اتنين واحد ونص
من واحد ونص لواحدة ربع فارجية جداش ربع يبقى بصير N
أص ربع تعاود المباشر بيجيب لجداش Infinity على
Infinity بدي استخدم قاعدة Lobital يبقى ال limit
لما ال N تنسوا Infinity لواحد على N وهدي الربع N
أسالب تلاتة ربعيعني معنى هذا الكلام يساول أربعة
تطلع برا وهذا ال limit لما ال N tends to infinity
وطلع هذه فوق بصير N أس تلت تربع بالموجب وهذه بتنزل
N تحت بعد الحذف والاختصارات بتقول إلى limit لما ال
N tends to infinity لواحد على N أس ربعوحدة على
مالة نهاية يعني هذه بتصير أربعة في زيرو اللي هو
بتساوي جداش زيرو بالشكل اللي عنها طيب تبع في
المقام converge والنتيجة تساوي زيرو بقول له by the
limit comparison test the series اللي هي converge
على اي حال هذا السؤال يعتبر من المسائل الصعبة اللي
موجودة في التمرين يبقى وصلنا الى exercises عشرة
اربعة المسائل التالية من عند الواحد لغاية اربعة و
خمسين الاد
هذا البرنامج موجود في مدينة مصر
بنجي لقى ل section عشرة خمسة في عشرة خمسة هناخد
الاختبارين اللي بالعت علينا واحد اسمه اختبار
النسبة the ratio test والثاني اختبار الجذر النوني
مش الحد النوني الجذر النوني اللي هو ال answer هو
ال test يبقى عشرة خمسة اللي هو من the ratio
and in throat tests يبقى اختبار النسبة واختبار
الجذر النوني ناخد الاختبار الأول اللي هو the ratio
test بيقول
ال net summation على a n
بسيريز with positive terms
سيريز
with positive terms and suppose that and
suppose that
limit لما ال n tends to infinity لل a n plus one
على a n بده يساوي raw then نمرة واحد the series
summation على a n converge
نقطة التالتة
the test is inconclusive
او fail بيفشل افرط ساوي واحد نمرا اتنين the
inferred
test
انتروت تست بيقول
لات summation
على a n ب a series ب a series with
الـ a n greater than or equal to zero for n
greater than capital N and suppose that وافترض
انه limit الجذري النونيللحد إنني لما ال in tends
to infinity يساوي را
السؤال الأول summation من n equal one to infinity
للإن فاكتوريال على عشرة to the power N
طيب احنا حتى الان اخدنا اربعة اختبارات اللي هي
اختبار التكامل واختبار الحد النوني واختبار ال
comparison test واختبار ال limit comparison test
وباقى اختباران اختباران هو موضوع ال section اللى
تبقى عشرة خمسة الاختبار الاول اسمه the ratio test
اختبار النسبة والتانى اسمه ال in through test
اختبار الجذر النونىلما نخلص الاتنين هدول بيكون
خلصنا كل اختبارات الستة زيدي التلاتة series
المشهورة وبالتالي يمكن الحكم على أي series
بتقابلنا هل هي converge او diver لو نظرت
للاختبارين اللي هو الأول والثاني اللي هي ال ratio
test و ال intro test بلاحظ انه كمان هدول ل series
with positive terms وبالتاليأخر خمسة اختبارات كلها
series with positive terms ما عدا الاختبار الأول
اللي هو nth term test بهمناش هل ال series بالموجب
أو بالسالب نجي للاختبار الأول ال ratio test بقول
let summation على a n b هي series with positive
termsالحدود كلها مجمع and suppose that وافترض انه
limit لل a n plus one على a n يعني الحد النوني
زائد واحد مقصوم على مين على الحد النوني يعني الحد
العاشر مقصوم على الحد التاسع مثلاالحد التلاتين
مقسما على الحد تسعة وعشرين إلى آخرين يبقى جسمنا
الحد النوني زائد واحد على الحد النوني واخدنا ال
limit لما ال entrance to infinity سميت النتج raw
يبقى بالضبط روها دي قد تكون عدد و قد تكون infinity
ان كان عدد بنجي نطلع في هذا العدد إذا العدد هذا
كان أقل من واحد صحية طبعا من صفر لغاية واحد صحية
طبعا صفر لئم السالب مافيش ليش ان ال series with
positive terms الحد النوني زاد واحد موجب و الحد
النوني موجب يبقى فيش عندي سالبيبقى النتيجة أقل
حاجة بتبقى Zero فما فوق فإن كانت النتيجة من Zero
لغاية الواحد بس ما تسويش الواحد Zero ماعناه مشكلة
يبقى بقول ال series مالها converged إن كانت
النتيجة أكبر من الواحد الصحية أو ما لا نهاية بقول
ال series
الاختبار بيفشل if the test is inconclusive او فهل
اذا كانت روة تساوي واحدة
باخد الجدر النوني للحد النوني لما ال N بده تروح
للملايين و برضه بده يسوي رو، والله إذا رو كانت أقل
من واحد صحي بيجي ال series converge أكبر من واحد
صحي او infinity ال divergeتساوي واحد صحية يبقى
الاختبار بيفشله معاك خمسة اختبارات أخرى سابقة عليه
استخدام اللذي تراه مناسبا طبعا هنعطيك العديد من
الأمثلة بعضهم يفشل وبعضهم مش هيفشل تمام؟ وإذا فشل
هنشوف كيف نتغلب على مين على هذه المشكلة أنا قسمت
الأمثلة لقسمين القسم الأول يعني الأسئلة المباشرة
القسم الثاني كل سؤال فيه فنبشوية نشوف كيف نتخلص من
المشكلة اللى اتحققها بنا حد ايه له اي استفسار قبل
ندخل الى الأمثلة؟ حد بدى يسأل اي سؤال؟ طيب نجى
للسؤال الاول شوف لها ال series هذى converge او
diverse بنحب نحط فى دماغكمن حد ما تتطلع في الحد
انه يتلاقى ال in factorial في الشمكانية تاخد جذر
لكن سهل جدا تاخد ال ratio test يبقى من حد ما تشوف
المثل in factorial على ratio وانت مغملفى الغالب
يعنى 99% بتبقى نحلة المشكلة طيب اذا بروح اخد روح
تساوي limit لما الintensity infinity إلى الحد انه
يزايد واحد على الحد انه يبقى limit لما الintensity
infinityالحد انوني زائد واحد معناته بيدشيل كل N
وحق مكانها N زائد واحد يبقى بصير N زائد واحد
factorial على عشرة أس N زائد واحد الكلام هذا تقسيم
N factorial على عشرة to the power N يبقى هذا
الكلام بده يسوي ال limit لما ال N tends to
infinite الخطوة التاليةبدا فك الحد النوني زاد واحد
ده يتأوصل لشكل الحد النوني مشان يصير ان الاختصارات
نختصرها مع بعض يبقى ال N زاد واحد factorial هو N
زاد واحد في مين؟ في ال N factorial على عشرة مضروبة
في عشرة أس N القسم بحولها إلى ضربه من شجلة بصير
عندي عشرة أس N على N factorial ويسببن فاكتوريال مع
ن فاكتوريال عشرة أقص ن على عشرة أقص ن يبقى هذا
الكلام يساوي عشر في limit لما ال N tends to
infinity لل N plus one النتج كده يحطيني هذا؟
مالانها يبقى لما قسمت الاتنين على بعض طلع النتج
مالانها يبقى serious لأن هذه مالها by there يبقى
بروح بقوله bythe ratio test the series الهي
summation لل N factorial على عشرة to the power N
by where
طبعا احنا الان في الاختبار الخامس السؤال هو هل في
امكانية احله باختبار اخر؟ اقول نعم لو جيت على
اختبار الحد النوني اللي هو اول اختبارواخدت ال
limit لحد انني لما ال N tends to infinity هذي
standard من الجدول رقم ستة في الجدول مظبوط بس مش
مجلوبة تمام؟ مدام مجلوبة هذيك السفر إذا هذي قداش
اما لنهاية بال N تقريبا بس ال series is diverse
يبقى هاي كمان طريقة أخرى لحكم على ال series
Conversion أو Divergence من غير ال ratio لكن لما
كان موضوع من موضوع ال ratio test حبينا نحل السؤال
بال ratio test لكن لو بيجي الكلام بتاعنا احنا
بنقيدكش حل بالطريقة التي تراها مناسبة يبقى
summation من N equal to infinity لل N على لن ال N
أُس N
نطلع في الحد النوني إذا سهل أخذ الجذر النوني بروح
باستخدم اختبار الجذر النوني مش سهل بروح على مين
على ratio test طبعا بطلع هنا سهل أخذ الجذر النوني
و هنا سهل أخذ الجذر النوني تمام إذا بروح باخد
limit لما ال intensity للجذر النوني للحد النونيلأن
الـ N كلها to the power N يسوى ال limit لما ال N
tends to infinity لل N أس واحد على N كل هذا على لن
ال N هذا الكلام يسوى limit البصر جداش يا شباب من
الجدور رقم اتنين و limit المقامطيب قداش النتج؟ و
Zero ماله؟ أقل من الواحد، مظبوط؟ يبقى الأن بروح
بقوله By the nth road test the series الهي ال
summation لل N على لن ال N كله to the power n
convert
يعني انت بتتطلع في المثلة إذا المناسب ال ratio
test بناخد ال ratio test إذا مناسب أخذ الجذر
النوني بنروح ناخد اختبار الجذر النوني طيب السؤال
التالت بيقول ما يأتي نمرة تلاتة
Summation من N equal one to infinity لل N
factorial تلاتة على N كله to the power N مرة جيبنا
السؤال زي هذا في إحدى الامتحانات الجزء الأخير من
المثل السهل أخد الجذر النوني بس ال N factorial
بقدر أخده للجذر النونييبقى ال automatic على ال
ratio test
لو N factorial تلاتة to the power N على N to the
power N يبقى هذا الكلام بدي يساوي ال limit لما ال
N tends to infinity لل N زائد واحد في ال N
factorialيبقى فكية ال N زائد واحد factorial هذه
بقدر اكتبها تلاتة أس واحد في تلاتة أس N مقسومة على
N زائد واحد في N زائد واحد to the power Mيبقى N
زياد واحد أس واحد مضروب في N زياد واحد أس M
هيبسطنا من الحد النوني زياد واحد نجي للحد النوني
بصير N أس M على N factorial تلاتة to the power M
نختصر الاختصارات تلاتة أس ان مع تلاتة أس ان ان
factorial مع ان factorial ان زائد واحد مع مان مع
ان زائد واحد يبقى النتيجة تساوي هي التلاتة خليها
برا وهي limit لما ال in tends to infinity لل in to
the power n على n plus one to the power n أو تلاتة
limitيلا بدنا نحسب ال limit هذا، نشوف إيش رأيكوا
فيه هذه شفتوها قبل هيك ال limit هذه؟ شفناها عدة
مرات مش مرة واحدة، مش هيك؟ طب شافوا يا حد بيقدر
يقولي قداش الناتج؟ يلا شافوا قداش الناتج لهذه؟ ال
limit لهذا المقدار؟ قداش؟
تسمع واحد بس يحكي يعطيني إجابة صحيحة ولا واحد هاي
هذه ها تلاتة واحد على ايه مظبوط high limit لما ال
M tends to infinity لواحد على واحد زائد واحد على N
كله to the power Mجسمنا البس والمقام على مين؟ على
n بصير عندي واحد فوق واحد زاد واحد على n كله to
the power n هذا النتج بدي سوى تلاتة برا وهذا جدا
دواشر واحد على ايه يبقى تلاتة على ايه اكبر من
واحدة صحية والله اقلأكبر لإن ال E ب 2 و 7 من 10
يبقى هذا greater than one الآن استخدمنا من ال
ratio فبجي بقوله by the ratio test the series اللي
هي summation لل N factorial تلاتة على N to the
power N مالها by Vنقدر نخلها converge هذه بتغيير
بسيط هكذا؟ نقدر؟ اه يعني بدل مكانها ال diverge بدي
اخليها converge بتغيير بسيط في رأس المسألة ولا
اتنين و باب ده، بدي اشيل التلاتة و احط مكانها
اتنين بسحط اتنين، حط واحد، حط واحد و نص، بصير
convert بدل ما صحيح الرب يفهم، ليش؟ لأن الأخير
طالع عندي هنا ثلاثة على إيه، بيش ما تحط هناك،
بيكون رقم عليه اتنين على إيه، كسر أقل من الواحد
الصحيح، بيصير series ما لا، convert و ايه كده هذا
السؤال التالت، السؤال الراجعالسؤال الرابع بيقول ال
summation من n equal one to infinity لل n
factorial على n to the power nطبعا هذه السؤال
شوفناها قبل هيك بس ماحللاش ب ratio بدنا نحل بال
ratio اليوم يبقى بدروح اخد limit لما ال N tends to
infinity لل N plus one factorial مقسوما على N plus
one مرفوع لل N plus one تقسيم N factorialعلى N to
the power N يسوي ال limit لما ال N tends to
infinity لما ال N بدها تروح لل infinity بدها تفك
هذا يبقى N زائد واحد في N factorial على N زائد
واحد في N زائد واحد to the power N في N to the
power N على N factorialنختصر تروح هاي مع هاي
والجوس هذا مع الجوس هذا يبقى آلة المسألة إلى ال
limit لما ال N tends to infinity انقص
N و هنا N زائد واحد أس N يبقى N على N زائد واحد
كله to the power Nمظبوط؟ يبقى النتيجة from above
يسوى كده؟ واحد على ايه؟ هي في الخطوة اللي قبلها،
السؤال اللي قبلها واحد على أي مالها؟ اقل من الواحد
الصحيح استخدمنا ال ratio فبجي بقوله by the ratio
test the series
السؤال الخامس بيقول summation من n equal one to
infinity لواحد ناقص واحد على n كله to the power n
تربيع
من امس بحاجة اختبار النسبة او اختبار الجذر النوني
الجذر انه سهل اخد الجذر يبقى باجي بقوله ر تساوي
limit لما ال N tends to infinity للجذر النوني
لواحد ناقص واحد على N كله to the power N تربيع
يبقى هذا بده يساوي limit لما ال N tends to
infinity لواحد ناقص واحد على Nكله to the power n
اظن هذه ال standard معروفة من الجدول ايه السالب
واحد يعني واحد على ايه واحد على اتنين وسبعة من
عشرة كاسر ماله اقل من الواحد الصحيح يبقى باجي
بقوله by the
السؤال السادسبقول summation من N equal one to
infinity ل واحد ناقص واحد على تلاتة N كله to the
power N مين
أفضل اختبار الجدر ماشي الحال هاي رو تسوي ال limit
لما ال N tends to infinity للجدر النونيفشل يبقى
باجي بقوله هنا the ens wrote test failed او
inconclusive فشل طيب دبل حالك نرجع ايه للاختبارات
ناخدهم بالدور اختبار الحد النوني بحل الإشكالية شفه
ومجرد النظر اه بحلها يبقى بروح باخدlimit لما ال in
tends to infinity للحد النوني اقص لب طلت يعني واحد
على اقص طلت طيب هذا بيساوي zero في يوم من الأيام؟
لا يمكن ان يساوي zero يبقى بروح بقوله byeby the
nth term دي البارك nth term وليس nth root the nth
term test the series summation
لواحد ناقص واحد على تلاتة in كله to the power in
byيبقى اختبار الجذر انونى فاشل لكن اختبار الحد
انونى هو اللى حل الاشكالية اللى موجودة عندنا طيب
السؤال السابع
Summation من N equal one to infinity لواحد تلاتة
خمسة لغاية اتنين N ناقص واحد كله على اتنين اربعة
ستة لغاية اتنين N في تلاتة أس N زائد واحد
الجذر على النسبة جذر في الشمكانية يبقى على النسبة
دوري يبقى راه تساوي ال limit لما ال N tends to
infinity لواحد، تلاتة، خمسة، يبدأ يشيل ال N ويضع
مكانها جداش N زائد واحد يبقى لو حاطيت N زائد واحد
اتنين يبدأ تنضرب في N زائد واحد تصيروا اتنينبصير
اتنين ان زائد اتنين ونقص واحد يعني جداش اتنين ان
زائد واحد يبقى بيبقى ماشي لغاية اتنين ان زائد واحد
مقسوما على اتنين اربعة ستة وهذا بيصير جداش اتنين
ان زائد اتنين اتنين انزائد يتنام هنا هذا اللي بصد
خلاصنا منه المقام بدي يصير تلاتة أس ان زائد واحد
على واحد شرايك أحول لضرب وشجل بدورييبقى ايش بيصير؟
اتنين اربعة ستة لغاية اتنين N في تلاتة أس N زائد
واحد على واحد تلاتة خمسة لغاية اتنين N ناقص واحد
طيب
بدي اسأل السؤال التالي واشوف ايش رأيكوا فيهحد فيكم
بيقدر يجيبلي ال term اللي جابلي ال term هذا واحد
تلاتة خمسة وصلنا اتنين in زي انه بدي اللي جابله
بدي ارفع عيدك بس و احكي ايه اللي بدي احكي انا
باتفضل انا ناقص واحد ان ان ناقص واحد وليس اتنين in
لأن كل حد بيفرج عن اللي جابله مقدار اتنين اذا اللي
جابله هنا بدي يكون اتنين in ناقص واحد طب اللي جاب
ال هذا
طب تعالوا نختصر الجش هدول كلهم مرة واحدة مع هدول و
هدول هك مع السلامة مع هدوليبقى بقى قصتنا صارت
بسيطة يبقى هذا الكلام بده يساوي limit لما ال N
tends to infinity ل 2N زائد 1 على 2N زائد 2 في
limit لما ال N tends to infinity ل 3 أس N زائد 1 3
أس N زائد 1 زائد 1 ايش رأيك في ال limit هذه كلها؟
بقى limit اللي عندنا هذه limit tends to infinity
هذه بتجيب لي ملأ نهاية على ملأ ان اشتق ال bus على
مشتقت اتنين مقام مش هنخلص لكن بقدر اجسم كل من ال
bus والمقام ع تلاتة أسن زائد واحدلأكبر قيمة موجودة
في المقام يبقى لو جسمت عليها تبقى هنا تلت
وهنا تبقى واحد على تلاتة أس ان زائد واحد وهنا واحد
زائد واحد على تلاتة أس ان زائد واحد
جسمت كل من البصد والمقام على تلاتة أسئلن زائد واحد
النتيجة Zero و هنا Zero يبقى جديش عندي تلت على
واحد اللي هو جديش والتلت مانه أقل من الواحد الصحيح
بروح بقول هنا by the ratio test the series
converge
طيب، هذا يا واحد ماعجبوش الحل هذا، نفس السؤال،
بديش أعطيه حاجة جديدة، بدي أعطيك فكرة تانية، بداكش
بلاشهذه واحد تاني قال لي انا بدي افكر في السؤال
بال comparison test قلنا له كيف؟ قال لي هي الحد 1
3 5 2 N ناقص 1 2 4 6 2 N 3 أس N زيد 1قلت له ايوة
قال لي طالع ان ال comparison يبقى اقل منه جينا قال
لي خلي المقام زي ما هو هذا اتنين اربعة ستة وضلنا
ماشيين لغاية اتنين in وهنا تلاتة in زائد واحد وروح
كتبلي هنا اتنين اربعة ستة اتنين in صحيح؟
بظبط؟ المقام ثابت، الواحد كتب بدالها اتنين،
التلاتة كتب بدالها اربعة، الخمسة كتب بدالها ستة،
اتنين اناقص واحد كتب بدالها اتنين، يبقى البسط اللي
عندي اقل من البسط هذا، اذا هذا الكسر اقل من الكسر
هذا، قلنا له تمام، قاللي هدول بيختصروا مع هدوليبقى
الناتج كم؟ واحد على تلاتة أس N زائد واحد جالي هذا
كمان أقل من واحد على تلاتة أس N قلنا له مظبوط يبقى
هذا تلت أس N مين هي هذه؟ Geometricسيريو convert
يبقى هاد ال series لو واحد تعملها بتطلع convert
geometric series لإن ال ratio أقل تقل من الواحد
الصحيح بال comparison الأصلية مالها convert
يعني يمكن للسؤال ان يحل بعدة اختبارات
الاختبار المناسب مرة جاي نكمل ان شاء الله