اليوم طبعا هنكمل الشرح
أو
بعض الملاحظات على النظرية اللي أخدناها في المحاضرة
السابقة النظرية هذه بتتحدث عن nested interval
property أو خاصية الفترات المتداخلةوشوفنا في
النظرية هذه ان لو في عندي sequence of nested
intervals الفترات هذه كلهم nested يعني كل واحدة
تحتوي اللي بعدها مباشرة زائد ان الفترات هذه كلهم
closed كلهم closed و bounded ففي
الحالة هذه التقاطةتبع ال sequence of intervals لا
يساوي في يعني في على الأقل عنصر واحد بالتقاطة
شوفنا برضه لو في الشرط الإضافي هذا اتحقق وهو
لاحظوا أن هذه عبارة عن ساو بي ان فهذه sequence من
العداد السالمة الغير سالمة و بالمناسبة السفر واضح
أنه lower bound للمجموعة هذه صح؟لكن مش شرط أن
السفر يكون هو ال infimum للمجموعة هذه فإذا كان ال
infimum للمجموعة هذه اللي هو أكبر lower bound هو
السفر فالتقاط واحدة في أنصر واحد okay تمام وشوفنا
مرين على البرهان المرة اللي فاتت و أعتقد أن
البرهان مكتوب بالتفصيلواضح ومرنا عليه جزء جزء
فأرجعكم تكونوا قرأتهوا كمان مرة وفهمتهوا في حد
عنده استفسار على المرهانة النظرية هذه طيب الآن
النظرية هذه نرجع للنظرية كمان مرة الآن
في ملاحظة بتقول انه لو انا في النظرية هذه الفترات
هذهالفرض ان الفترات in مغلقة closed لو حذفت شيلت
الفرض هذا فالنظرية هذه بتبطل تكون صحيحة فالنظرية
هذه بتبطل تكون صحيحة وحنشوف counter example يوضح
عدم صحتها كذلك
طب افرضه ان هذا شرط متحقق في الفترات لكن اللي مش
متحقق اللي هو ال boundedness يعني الفترات هذه ليست
محدودة ليست bounded برضه في الحالة هذه المظهرية
تفشل و في counter example يوضح فشلها okay اذا
حنشوف two counter examples خليني نشوفهم مع بعض
إذا هدى ال remark اللى انا اتحدث عنها قلت انه it
should be noted يجب ملاحظة ان journal بصورة عامة
instant sequence of intervals need not have a
common point يعني لو فيه ending sequence من
الفترات المتداخلة مش شرط تقاطعهم يكون في في يعني
اى نقطة او نقطة مشاركة يعني مش شرط ان التقاطع لها
يساوي فيهفالأنثى لها دى هدا هى اللى حكينا عنها اول
مثال هاى
فى المثال الاول الفرض the hypothesis الفرض ان ال
intervals I in فى نظرية 22 be closed cannot be
dropped يعني لا يمكن حذفهلا يمكن الاستجناء عنه
وتبقى النظرية نظرية صحيحة for example على سبيل
المثال لو أخدت الفترات I N الفترة I N هي الفترة
المفتوحة من 0 ل 1 على N حيث N عدد طبيعي فواضح ان
الفترات هدي nested صح؟ لأن الفترة الأولى هتكون
الفترة مفتوحة من 0 ل 1الفترة التانية الفترة مفتوحة
من سفر لنص وهذه محتوى في I واحد و I تلاتة الفترة
مفتوحة من سفر لتلت محتوى داخل I اتنين و هكذا لذلك
واضح ان ال sequence of open intervals IN is nested
sequence كذلك عناصر ال sequence هذه bounded هذه
فترات محصورةلكن الفترات هذه not closed مش closed
يعني عبارة عن مجموعات مفتوحة ليست مغلقة، إذن شرط
الإغلاق هنا انحذف وبالتالي نتيجة النظرية مش شرط
تكون صحيحة، إذن التقاطع هنا لنفس ال sequence هذه
بيطلع بساوي fine مافيش common point مافيش نقطة
مشتركة في هذه الفترات طبعا هذا مش واضح
هذا تقاطع الفترات المفتوحة هذه بساوي في هذا مش
واضح يحتاج إلى برهان هي البرهان بين جثين مربعين
تعالوا نبره إن تقاطع الفترات هذه بساوي في to see
this to see this معناه لبرهان ذلك مش لرأي ذلك هذا
تعبير مجازم استخدمه لبرهانالشيء العبارة اللي احنا
عايزينها ف to see this suppose in the contrary
بنفترض على النقيد انه التقاطع هذا بسويش في يعني في
على الأقل عنصر X في التقاطع بنصل لتناقض طيب ال X
موجود في التقاطع معناته X موجود في I N لكل N إذن X
موجود في كل واحدة من الفترات I Nطيب X موجود في
الفترة I N معناته X أكبر من سفر أصغر من واحد على N
أصغر من واحد على N أصغر من واحد على N تمام
وبالتالي
حسب ال Archimedean property هذا عبارة عن أحد صور
ال Archimedean property بتقول ليبما ان X هد عدد
موجب، الـ X هد عدد موجب، إذا يوجد عدد طبيعي N0
مقلوب و أصغر من العدد الموجب وهذا بتديني تناقض،
هذا بتديني تناقض، هذا بتناقض مع كون ال X أصغر من 1
على N لكل Nيعني ال X هذه أصغر من 1 على N0 وهي في
نفس الواجهة أكبر من 1 على N0 لأن هذا بتديني تناقض
لأن التناقض هذا سبب ال assumption تبعنا أن يوجد X
في التقاطة لأن الصح أن التقاطع هذا مافيش فيه ولا
أنصر يعني is the empty setإن هذا مثال بورجي أو
بيوضح إنه لو حذفنا شرط إن الفترات في نظرية 22
closed فبتطلع الشفرة، النظرية تفشل، بتبطل النظرية
و هذا مثال بيوضح فشلها، الآن المثال التاني نفس
الحاجة، الفرض إن الفترات في نظرية 22 be bounded
بتكون محدودة cannot be dropped لايمكن إسخاطه
لايمكن إهماله فعشان
نوضح هذا الكلام ب counter example ف for example
على سبيل المثال هناخد الفترات المغلقة I N فترة
مغلقة من N إلى ملا نهاية حيث N عدد طبيعي هذه
الفتراتكل هذه فترة مغلقة كل فترة على الصورة هذه
مغلقة إذا شرط الإغلاق متحقق بعدين الفترات هذه نستد
لحظة أول فترة هي الفترة المغلقة من واحد لما لا
نهاية التانية فترة مغلقة من اتنين لما لا نهاية
وهذه محتوى في I واحد الفترة التالتة الفترة المغلقة
من تلاتة لما لا نهاية وهذه محتوى في I اتنين وهكذا
فالفترات هذه نستدand closed مغلقة لكن ماهياش
bounded مش محصورة it's not bounded .. هذه كمجموعة
is not bounded above، كمجموعة ليس لها supreme، is
not bounded above، اذا شرط ال boundedness اختل
وبالتالي نتيجة النظرية هتختلفإذا الفترات هذه
closed but unbounded وإذا هنجد إنه تقاطع الفترات
هذه مافيش فيه ولا نقطة تقاطع هذا بساوي five كمان
مرة المساواة هذه بدها مش واضحة ليست واضحة فبدنا
نثبت صحة المساواة هذه كمان مرة نعمل برهان بالتناقض
نعمل برهان بالتناقض
فافرضي أن التقاطع هذا لا يساوي في I وبالتالي يوجد
X في التقاطع إذا X موجود في الفترة I N لكل N هذا
من تعريف التقاطع X موجودة في I N معناته X أكبر من
أو يساوي N وهذا صحيح لكل Nهذا بتناقض مع الـ
Archimedean property نظرية الأساسية نظرية خمستاشر
في الشبطرة ده اللي بتقول لأي عدد حقيقي X ينتمي إلى
R بتأدي ان يوجد N0 ينتمي إلى N بحيث ان X أصغر من
N0
هذه هي الـ Archimedean property الأساسية طيب أنا
عندي الأن من ال Archimedean property عندي يوجد عدد
طبيعي N0 لصد أكبر من X وعندي هناإن X أكبر من أو
ساوي N لكل N في N وبالتالي X أكبر من أو ساوي N
Zero لأن N Zero ينتمي إلى N فإذا عندي هنا X أكبر
من أو ساوي N Zero و X أصغر من N Zero هذا بيديني
تناطق إذا في عندي contradiction إذا هذا العنصر غير
موجودsuch an x does not exist يعني التقاطة هذا
بساوي في كما هو مطلوب، تمام؟ واضح البرهن؟ إذن هذه
مثال تاني بوضح أن شرط ال boundedness لا يمكن
اسقاطه وتبقى nested intervals theorem صحيحة، okay؟
في نظرية تانيةيمكن هذه مرت معاكم في المبادئ لكن
اليوم هنعطيلها برهان يعتمد على ال nested intervals
theorem او nested intervals property برهان جديد
غير اللي أخدته في مبادئ الرياضيات فالنظرية
هذه 24 تتحدث عن ال uncountability of the real
numbersفبكل بساطة النظرية هذه بتقول أن مجموعة
العداد الحقيقية is uncountable the set R of all
real numbers is uncountable طيب
ما معنى أن ال set تكون countable؟ في حد فيكم
بتعرف؟ ال set A أو S definition
definition تعريف S is countable if
and only if كتوف المبادئ either اما S is finite or
او
S is denomableأو في بيجيكشن one to one
correspondence بينها وبين الأعداد الطبيعية يعني
هذا معناه is denumerable قابلة للترقيم طيب
إذا كانت ال set ماهياش
finiteوماهياش in one to one correspondence with
the natural numbers او ماهياش denumerable فبنسميها
uncountable غير قابلة للعد countable قابلة للعد
uncountable غير قابلة للعد طيب
ال
..
معروف في مبادئ رياضيات درسنا ان ال interval هذي و
ال interval هذي كلا هما uncountable الفترة
المفتوحة من سفر لواحد infinite set اول حاجة
infinite set و
طبعا ممكن تثبت انها uncountable
و طبعا هذه الفترة المغلقة تحتوي ال six هذه الفترة
المفتوحة فإذا كانت هذه uncountable هذه بتكون
uncountable وهذا البرهان موجود في نظرية في الكتاب
المقرر textbook الكتاب المقرر
طبعا
طيب
الـ احنا عايزين نثبت عشان نثبت ان ال set هذه ال R
لاحظوا ان ال R is
in one to one correspondence مع الفترة المفتوحة او
المغلقة حتى في
byjection بينه وبين الفترةالمفتوحة المغلقة 01
وبرضه المفتوحة الان لو أثبتنا ان الفترة هذه
uncountable فهذه
ال 6 in one to one correspondence معها فال 6 هذه R
تطلع uncountableهذه نظرية موجودة في مبادئ
الرياضيات إذا كانت هناك مجموعتين واثنتين
equivalent to each other فهناك بيجيكشن بينهم إذا
كانت واحدة countable فالتانية تظهر countable إذا
كانت هذه finite تظهر هذه finite إذا كانت هذه
infinite تظهر هذه infinite كل هذه نظريات موجودة في
مبادئ الرياضياتإذا لو أثبتنا إن الفترة هادى
uncountable فبطلع R uncountable طيب
لإثبات ذلك هنا عايزين نثبت إن الفترة هادى نثبت إن
الفترة هادى uncountable لبرهان ذلك نعمل برهان
بالتناقض
بنثبت ان الفترة المغلقة هذي uncountable نفرض
المقيد
ان الفترة هذي countable لاحظوا ان الفترة هذي
infinite والان countable اذا بتطلع equipotent او
in one to one correspondence with natural numbers
الأن في الحالة هذه I in one to one correspondence
within actual numbers أو بنسميها innumerable صح؟
الان ال set I denominable يعني ممكن ترقيمها
بالأعداد الطبيعية إذا ممكن نسمي عناصرها xn-n عدد
طبيعي اللي هي x1, x2, x3 الاخرى أي set denominable
أو in one to one correspondence with natural
numbers ممكن ترقيم عناصرها ك list by the natural
numbers إذا I هي كل عناصرها رقمناهم بالأعداد
الطبيعية
لحظة احنا بدنا نصل الى تناقض احنا بدنا القرآن
وفرضنا ال contrary هيو Assume ال contrary ان I is
countable بدنا نصل الى تناقض طيب هي الفترة I هي
الفترة I هي الفترة I هذه
Iو في اندس اي هاد الفترة اي هاد يعني عناصرها هي
مرقمة اكس واحد اكس اتنين الى ملا نهاية افرض ان اكس
واحد موجود هان اول عنصر في الفترة موجود هان فممكن
اختار فترة مغلقة اسميها اي واحد ممكن اختار فترة
مغلقةأسميها I1 بحيث ان ال X1 هذه لا تنتمي للفترة
I1 وممكن
اختار فترة مغلقة تانية طب افرضي ان X2 موجودة هنا
العنصر التاني في الفترة I ايه رقم X2 موجود هنا او
هنا او هنا فبقدر اختار فترة مغلقة تانيةنسميها I2
اللي هي الفترة هذه بحيث ان X2 لا تنتمي ل I2 و
الفترة I2 هي فترة جزئية من I1 طيب افرض ان X3
موجودة هنا او هنا او هنا او اي مكان تاني فبقدر
اختار فترة مغلقة تسميها I3اللي هي الفترة هذه بحيث
ان X3 لا تنتمي للفترة I3 والفترة I3 جزئية من
الفترة I2 ممكن نستمر على هذا النمط هنحصل على
sequence of intervals اللي هي I1 تحتوي I2 تحتوي I3
و هكذا ممكن نستمر إلى ملا نهاية و كل الفترات هذول
محتوى .. كل واحدة منهم محتوى داخل الـ I و كل واحدة
من الفترات هذه صممناها بحيث ان XN لا ينتمي إلى IN
لكل N بساوي واحد اتنين إلى ملا نهاية صح؟ إذا لو
استمرنا في العملية هذههنحصل على sequence of nested
intervals و ال intervals هدولة كلهم closed و
bounded كلهم closed و bounded و كل الفترات هذه
محتوية داخل الفترة I و X in العنصر X in من ال
sequence هذه لا ينتمي ل I in لكل N الان ممكن نطبق
nested interval property theorem اللي هي theorem
بتقول ده في عندي sequence of nested intervals و
كلهم closed و bounded فالتقاطع تبعهم لا يساوي في I
إذا التقاطع تبعهم موجود في نقطة واحدة دعنا نسميها
ساي و الفترات هذه كلها كل الفترات هذه موجودة داخل
الفترة I داخل الفترة I
ماشي هنا اه
ايش صار؟ هي فوق صار
إذا حسب نفس ال interval theorem يوجد نقطة psi في
تقاطة الفترات الفترات كلهم موجودين داخل I إذا
تقاطعهم موجود داخل I وبالتالي النقطة psi هذه
موجودة في كل الفترات I in لأن موجودة في تقاطعهم
كلهم صح إذا النقطة psi موجودة في I in لكل Nوالفترة
I N هذه لا تحتوي من هنا الفترة I N لا تحتوي X N
والان تحتوي ساي إذا ساي لا تساوي X N الكلام هذا
صحيح لكل N بظبط هذا عنصر في الفترة هذه و X N ليس
عنصر فيها إذا مش ممكن يكونوا متساويين صح؟
الـ Psi قلنا هي تنتمي إلى I الـ Psi موجودة في I و
الفترة I رقمنا عناصرها قبل شوية انا
في اندي يوجد عدد حقيقي Psi ينتمي ل I و في نفس
الوجهة الفترة I هي كل عناصرهامُرقّمة بالعداد
الطبيعي عناصرها X1 و X2 إلى ما لنهائي و الأن في
عندي Psi مختلف عن كل عناصر الفترة I فهذا
بيدّي أن ال sequence أو ال set هذهis not a
complete enumeration of I ليست ترقيم كامل للفترة I
وهذا تناقض يعني
احنا قلنا الفترة I هذه تطلع countable و infinite
اذا ممكن نرقم اذا denumerable يعني ممكن نرقم عن
صرها كلها بالاعداد الطبيعي وبالتالي كل عن صرها X
تمام؟ الآن في البرهان هذا وجدنا ان في صي أنصر جديد
في I مختلف عن كل عناصرها معناته هذه ال list ليست
ترقيم كامل ل I في عناصر أخرى زي صي مش مرقمة و هذا
تناقضلأن إحنا عندنا ال set I هذي countable و
infinite و denomable إذن هي list تبع كل عناصرها
فكيف طلع فيه أنصر جديد مختلف عن عناصرها فهذا تناقض
إذن هذا التناقض بثبت أن فرضنا أن الفترة Iكانت
countable كان فرض خاطر وبالتالي الفترة I تطلع
uncountable اذا الان الفترة I uncountable وانا
عندي R equivalent لفترة مغلقة 01 ممكن نوجد
bijection بينهم اذا ال R تطلع uncountable كما هو
مطلوب اذا
هذا هو برهانالنظرية اللي فادت هي طبعا برهان بيعتمد
على شوفنا ال nested interval theorem وبالتالي هذا
برهان مختلف عن البرهان اللي بنعطيه في مبادئ
الرياضيات في برهان تاني برضه لنظرية هذه يعطى في
مبادئ الرياضيات اللي هو باستخدام counter diagonal
argument مشهور
يعني البرهانيرجع إلى العالم الرياضي Cantor يسمى
Cantor دي اقنع ال argument بثبت ان الفترة المفتوحة
من سفر لواحد is uncountable وبالتالي R is
uncountable لأن R في byjection بينها وبين ال open
interval من سفر لواحد الآن في نتيجة على نظرية
الأخيرة هذهالـ set هذه الـ R minus Q اللي هي الـ
set of all irrationals أيضًا is uncountable
والبرهان هنا نفس البرهان اللي بنعطيه في المبادئ
برهان by contradiction assume and contrary إن ال
set R minus Q is countable وإحنا عندنا نظرية في
المبادئ أخدنا بتقول إن لو في عندي مجموعتين A وBوكل
واحدة منهم countable فاتحادهم بيطلع countable الان
انا في عند Q countable معروف ان Q is countable
والان احنا فرضين ان R-Q is countable اذا اتحاد
المجموعتين هدول اللي هو R بيطلع countable وهذا
بتناقض مع النتيجة اللي لسه مثبتينها في النظرية
السابقةOkay إذا في عندي contradiction إذا الفرض
إنه الست هذي countable كان خاطئ إذا الصح إنه الست
هذي اللي هي ال irrational number is is uncountable
okay تمام إذا ال مع
انتهاء النتيجة هذه هيك بنكون غطينا section اتنين
خمسةو هاي التمرين المطلوب تهلوها مش عايز ابدأ
section جديد عايز ان احنا نستغل الوقت المتبقى من
المحاضرة في حل اسئلة discussion يعنيمناقشة فأي
واحدة فيكم عندها مناقشة احنا انا عارف ان انتوا
هتحضروا حالكم ليوم السبت المناقشة لكن برضه اكيد
يعني في بينكم ناس محضرين فلو عندكم أسئلة في
section اتنين تلاتة او اتنين اربعة او section
اتنين اتنين او اتنين واحد فممكن نحاول نحلها في
الوقت المتبقى من المحاضرةماشي الحال فإذا مين عندها
أي سؤال في ال .. المحاضرات
السابقة أو تمارين المحاضرات السابقة من
لديها سؤال؟ في عندنا أسلة كتيرة في المحاضرات
السابقة homework كتيرمين لديها سؤال؟ مين عندها
سؤال؟ مين بتحلم السؤال؟ ولا
واحدة عندها سؤال؟ تفضل طيب
طبعا هذه إشارة غير يعني غير إيجابية أو إشارة سلبية
يعني لحد تلان أنتوا مش المادة مابتدرسهاش دراسة
حقيقية و هذا معناه أن أنتوا مش ماخدينها بجد يعني
كما أجب و هذا دليل عليكم تحلوش مسألة فانا
هسأل عنكمخليني أحللكم كام سؤال هاي section اتنين
تلاتة هنا هاي
مثلا سؤال أربعة
هي السؤال أربعة سكشن اتنين تلاتة انا
عندي set S أربعة بيساوي كل الأعداد واحد سالب سالب
واحد رصد N على N حيث N عدد طبيعي والمطلوب
find
Find الـ Supremum أو الانفمم ل S4 و ايضا ال
Supremum ل S4 طيب
احنا أخدنا في مثال في ال section هذا
خلنا نام هنا ولا لسه؟
Solution اخدنا احنا مثال بيقول انه ال .. لو كان في
.. في ال section اللي بعد و ممكن الحل باستخدام
المثال رقم A يعني by example
تنين اربع واحد الجزء A انا عندي ال supremum ل A
زاد S A عدد حقيقي S مجموعة جزئية من R اثبتنا ان
هذا بساوي A زاد supremum ال S فلو
بدى احل الجزء Bف let S بساوي مجموعة ..
let
S بساوي مجموعة الأعداد سالب
واحد أس N على N حيث N عدب طبيعي
ممكن نحول السلب لموجة هاد عبارة عن سالب واحد ..
سالب واحد و نص و سالب تلت و ربع و كده
فممكن اثبات انه ال super mom تبع السيدتها دى
أستاذ
نعم هنحن لو سالب اللي برا دخلناه يصير سالب واحد
plus one plus واحدعلى أنا ممكن اه ممكن ناخد سالب
هذا فهذا أكبر أنصر هو الواحد صح هيك بتنحل الصح
برضه هذا ممكن فبصير عندى هنا واحد سالب اول أنصر
واحد سالب نص فالصبر ممكن يكون واحد بعدين تلت سالب
ربع و هكذافال supremum إذاً ال supremum ل S بساوي
هاي اللي .. لاحظ ان الأكبر عدد في الست هذه هو
الواحد واحد أكبر من أو ساوي كل الأعداد هذه وهو
أصغر upper bound إذاً الواحد upper bound للست هذه
هي أكبر من أو ساوي كل عناصرها وهو أصغر upper bound
إذاً هذا بساوي واحدلأ س .. إيش بس يعني؟
ما
هو أصغر؟ طلع اتنين اتنين أستاذ ال super اتنين مش
هي على حسب القاعدة نحن نحط اي واحد بيصير
اتنين؟ لا لااحنا بنحكي عن ال 6 هذه اللي هانا مش
اللي هناك هذه S و هذه S4 فبيختلفوا عن بعض ال 6 هذه
هدا هي أنصرها فما
هو بيناجيب lower bound او اكبر lower bound اكبر
lower bound طب نلاحظ سالب نص اصغر من سالب ربع اصغر
منبعد هيك سالب سادس اه فاعتقد
ان هذا هيطلع سالب نص هذا اكبر lower bound
طيب لو طبقنا المضارية هذه أنا أخدت S بساوي الكلام
هذا و A بساوي واحد اذا
ال supremum ل S أربعة بساوي A زائد ال supremum ل S
صح؟و ال a بساوي واحد و ال suprem ل s بساوي واحد
فبطلع ال suprem ل s أربعة بساوي اتنين تمام؟ الان
بنجيب ال infimum ل s أربعة بنفس الطريقة ممكن
اثبات
إذا هنا similar
example
similar
example اتنين اربعة واحد ايهممكن من خلاله نثبت ان
الانفمام ان
الانفمام لست a زياد s بيساوي a زياد الانفمام ل s
وبالتالي
ان
انا لو بدي اجرب على جزء aف ال infimum ل S أربعة
بيساوي ال infimum ل A زائد S اللي هو ال infimum ل
واحد زائد S و هذا بيساوي واحد زائد infimum ل Sو
هذا بيساوي واحد زائد in from ال S سالب نص فبطلع نص
okay ان ال in from لست S أربعة بيطلع سالب بيطلع نص
هذا حل حل تاني ان انا يعني احاول
أه يعني أكتب عناصر المجموعة هذه أفرفتها و أحاول
أشوف وين أصغر عنصر و وين أكبر عنصر و وين هيكون في
عندي upper bounds و lower bounds و نحاول نثبت أنه
ال .. يعني بالطريقة هذه يعني ممكن نحن نحل الاسئلة
بطريقة تانيةفهذا حلو يعني
هذا ال set ممكن نكتب عناصرها يعني أول عنصر لما n
بساوي واحد واحد سالب سالب
سالب واحد يعني اتنين الانصر اللي بعدهواحد سالب نص
بيطلع نص اللي بعده بيطلع واحد سالب سالب تلت يعني
واحد تلت يعني جديش اربعة على تلاتة اللي بعده واحد
موجب ربع بيطلع جديش
خمس اربع و هكذا فهنلاحظ
ان الاتنين اتنين upper bound لان هو هيكون اكبر
عنصر و ينتبه للست لو في اي upper bound تاني لو في
any upper bound
of S4 فهذا بيقدي انه اتنين اصغر من او ساوي ال V
لانه اتنين عنصر في الست S4 صح؟ اذا اتنين upper
bound واضح انه اتنين اكبر من او ساوي كل عناصر S4
صح؟ولو أخدت أي upper bound ل S4 فبما أن V هو upper
bound ل S4 واتنين عنصر في S4 إذن اتنين أصغر من أو
يساوي V إذن هنا أثبتنا أن اتنين upper bound ل S4
واتنين أصغر من أو يساوي أي upper bound ل S4 إذن
اتنين هو ال supreme بالمثل ممكن نثبت أن النص هو
الانفع إذن هذا برهان تانيانا اتعمد تعطيكم البرهان
هذا عشان القوانين هذه نشوف كيف نطبقها برضه هذا
برهان صعيب ناجح الحل؟ okay؟
في اي سؤال او استفسار؟ اذا احنا هنكتفي بهذا القدر