بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هناخد أخر لقاء في ال
course وهو تكملة section خمسة أربعة في الكتاب
المقرر اللي بتكلم عن ال uniform continuityفي
المحاضرة السابقة عرفنا الاتصال المنتظم وشوفنا
أثبتنا نظريات
مهمة عن الاتصال المنتظم أو عدم الاتصال المنتظم
فأخدنا ال non uniform continuity criterion اللي
حسبها أو ممكن نستخدمها في اثبات أن دالة محددة ليست
uniform ل continuous على مجموعةمحددة جزئية من
الأعداد الحقيقية فكان في عندي non uniform
continuity criterion و آخر نظرية أثبتنا نظرية مهمة
هو هي ال uniform continuity criterion اللي بتقول
أنه لو كانت ال function تبعتي متصلة
على المجال تبعها والمجال تبعها closed bounded
interval فالاتصال يتحول الى اتصال منتظم طبعا احنا
شفنا في المحاضرة السابقة انه دايما الاتصال المنتظم
اقوى من الاتصال العادى لو كانت الدالة uniform ل
continuous فبتكون continuous لكن العكس ليس صحيح
فخدنا مثال على دالة function دالة واحد على X شفنا
أنها متصلة continuous على الفترة المفتوحة من سفر
إلى ملا نهاية but it was not uniformly continuous
على نفس الفترة وبالتالي الاتصال العادي لا يؤدي
للاتصال المنطماليوم هنتعرف على نوع جديد من ال
functions وهو لبسش functions و ال functions هدول
هتكونوا دائما كلهم uniformly continuous فنعرف لبسش
function definition a
function f
from a to r
إذ لبسش .. بنسميها
لبسش on
a إذا وجد if there exists k positive number such
that absolute f of x
وطبعا ممكن اثبات بكل سهولة
الأن هنثبت و هنشوف أنه كل لبسش function أو كل
function بتحقق لبسش condition اللي هو الشرط هذا
كل function بتحقق لبسش condition أو .. أو سمنها
لبسش function بتكون uniformly continuous فنشوف
المرحلة دالك إذا هنا every أو
if .. if from a to r is لبسش is
لبشسon a then it is uniformly continuous
on a proof
assume
إذا كان لبسش على
a ثم حسب التعريف هناك كمية positive كمية كمية كامة
كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
كمية كمية كمية
كمk times absolute x minus u for all x where u and
a طيب
لتسمي ال condition هذا star
let epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر
من السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
epsilon أكبر من السفر بيجبن
عدد موجة إبسلون على K بيطلع عدد موجة وبالتالي إذن
هنا أثبتت إن user Delta تعتمد على إبسلون فقط فلهذه
الإبسلون then لو كانت X و U موجودين في A و
Absolute X minus U أصغر من Delta فهذا هيقدّي إن
Absolute F of X-f of u باي ستار حسب المتباينة star
هذا بيطلع أصغر منه ساوي absolute x minus u
وانا عندي absolute x minus u أصغر من دلتا اذا هذا
أصغر عفوا by star في عندي هنا k ضرب absolute x
minus u الان انا عندي absolute x minus u أصغر من
دلتا لأن هذا أصغر من k في دلتا وانا عندي ماخد دلتا
بالساوي y على kأصبح هذا أصغر من إبسلون لأي
إبسلون أكبر من 0 يوجد delta تعتمد على إبسلون فقط
بحيث أنه لكل x و u في a المسافة بينهم أصغر من
delta طلع المسافة بين ال images أصغر من إبسلون
epsilon أكبر من السفر was arbitrary، إذن هذا صحيح
لكل epsilon وبالتالي by definition، إذن ال
function f is uniformly continuous
on E، وهو المطلوب إذن هناك أثبتنا إن كل لبسش
function is uniformly continuous
لكن العكس ليس صحيحا .. العكس ليس صحيحا remark ..
remark the
canvas .. the canvas of above theorem
is false for
example على سبيل المثال يعني معنى آخر لو كانت ال
function uniform ل continuous مش شرط تكون لبسش على
نفس ال function على نفس ال .. for example consider
Consider الـ function f of x بساوي جدر الـ x هو
x ينتمي ل I بساوي closed interval من صفر لاثنين
by exercise فى exercise أخدناه اللى هو جبنالكم
إياه سؤال فى الامتحان ال exercise هذا كان .. خلينا
نشوف
أو ممكن اثبات أن الدالة هذه is continuous طيب
اه
by exercise
في chapter اربعة اربعة واحد question تمام اه اربعة
واحد مظبوط صحيحby exercise تمامية section اربعة
واحد ال
function if is continuous على الفترة لأن في هداك
ال exercise هتتبتو انه limit جدر ال X لما X تقول ل
C بساوي جدر ال Cلكل C أكبر من أو ساوي السفر طبعا
في ال exercise ماخد C أكبر من السفر لكن لما C
بساوي السفر فهذا trivial وبالتالي هذا معناه أن
دالة F هذا
معناه شرط الاتصال عن C متحقق فهذا معناه أن F is
continuousAt C وده صحيح لكل C أكبر من أوسعها سفر
وبالتالي اذا F is continuous على الفترة من سفر إلى
ملا نهاية وبالتالي متصلة على الفترة من سفر إلى
اتنين اللي هي جزوة منها okay تمام طيب اذا
إذا by طيب since I بساو الفترة من الزفر لإتنين
الفترة هذه is closed and bounded و
if continuous عليها then by
uniform continuity theorem
نظرية الاتصال المنتظم بتقول إذا كان في عندي
function f متصلة على فترة مغلقة أو محدودة فالاتصال
هذا بيكون اتصال منتظم uniform continuity ففي عندي
by uniform continuity theorem تطلع f is uniformly
continuous
على الفترة I إذاً هي مثال على function uniform ل
continuous على المجال تبعها هنشوف الآن إن هذه ال
function ما هياش لبسش على نفس الفترة إذا
ال claim
if is not .. if is not لبسش على
الفترة I فلبرحان
ذلك assume
on
contrary
assume on contrary that
if is لبسش on
I then
there exists k أكبر من السفر بحيث أنه absolute f
of x minus f of u أصغر منها ساوي k في absolute x
minus u لكل xهو you تنتمي للفترة I اللى هى الفترة
المغلطة من سفر لاتنين
إذا ان هنا فرضنا ال contrary و يطلع ان بيطلع عندى
فيه huge العدد موجة بحيث كان أنا ادم اتحقق وهذا
بيقدر ان absolute f of x لو خدنا u بساوة سفر minus
f of 0 أصغر لو ساوة k فabsolute xوهذا صحيح لكل x
تنتمي للفترة I إذا أنا هنا أخدت U بساوي سفر و
السفر ينتمي للفترة I طيب أنا عندي F صفر بساوي سفر
إذا
بطلع عندي absolute
f of x أصغر من أو يساوي k في absolute ال X وهذا
صحيح لكل X تم تمي لفترة I هي الفترة المغلقة من
السفر لفترة بس
هذا هيدي لتناقل طيب
تاك لو أخدت x بساوي واحد على n تربيها فهذا
عبارة عن .. هذا ينتمي للفترة .. للفترة المغلفة من
سفر لإتنين اللي هي I لأن هذا عدد موجب لكل n ينتمي
ل N لكل عدد طبيعي هذا بطلعينتمي للفترة هذه
وبالتالي إذا المفروض يطلع absolute if لواحد على N
تربية أصغر من أو يساوي K في absolute واحد على N
تربية هذا صحيح لكل N في Nطيب if واحد على ان تربية
بيطلع بساوي الجدر التربية إلى واحد على ان تربية
اللي
هو عبارة عن واحد على ان ف absolute واحد على ان
بيطلع واحد على ان أصغر من أو ساوي كفي واحد على ان
تربية هذا صحيحلكل N في N اضرب
المتدينة هذه في N تربية فبطلع عندي N أصغر من أو
ساوي K for all N في N وهذا بتناقض مع ال
Archimedean property which contradicts
التي تتناقض
مع مين؟ التي تتناقض مع الـ Archimedean property
خاصية Archimedes لأن خاصية Archimedes بتقوللي لأي
عدد K عدد موجب أو أي عدد حقيقي K يوجد N0 عدد طبيعي
لحيث أن N0 أكبر من K صح؟و من هنا كل الأعداد
الطبيعية من ضمنها N0 أشملها أصغر من أو يساوي ال K
فبطلع N0 أكبر من N0 contradiction إذا السبب ال
contradiction هذا أنه إيه ال assumption الفرض
تبعنا ال assumption تبعنا أن F is لبسش on I okay
إذاً هذا بتثبت هذا ال contradiction بتثبت أن ال is
عفوًا if is not لبسش on
a أو i وهو المطلوب إذاً هذا مثال على function
uniformly continuous على set معينةلكنها ليست لبسش
لكن أثبتنا قبل ايه ان كل لبسش function is always
uniformly continuous ناخد
بعض الأمثلة
example led f of x بساوي x تربية و x ينتمي
للمجموعة a اللي هي الفترة المغلقة من سفر إلى بي
حيث بي أي عدد موجب بي أي عدد موجببنأثبت أن الـ
function هذه تطلع uniformly continuous show
that show
أن f is uniformly continuous
on a ففيه برهنيناو حالين proof one حال الأول since
if
is continuous on a being
a polynomial
لأنها polynomial و احنا قلنا كل polynomial
function متصل على R وبالتالي على أي مجموعة جزئية
من R زي المجموعة A اللي هي الفترة المغلقة من سفر
إلى الـ B ف
if is continuous على A كونها polynomial and بما
انه and sinceالـ set A هذه اللي هي عبارة عن الفترة
المغلقة من سفر لـ B is closed and bounded and
bounded interval
then by uniform continuity theorem
حسب نظرية الاتصال المنتظم اللى بتقول لو كان فيها
function مجالها closed bounded interval و ال
function متصل عليها فالاتصال بتحول الى اتصال منتظم
اذا ال function f is uniformly
continuous on a وهذا برهان لأنه ممكن نستخدم ال
uniform continuity theorem لإثبات أنه function
اللي زي هذه الدالة التربية uniform continuous على
أي فترة مغلقة زي الفترة هذه الحل
التاني ممكن نثبت أن الدالة هذه لمساش برضه و أستخدم
نظرية هذه
انشوف مع بعض، هنا البرهان تاني أو برهان رقم اتنين،
proof اتنين claim
انه F is لبسش
on a التي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بى
فالإثبات هذا الكلام تعالى نشوف هي absolute f of x
minus f of u ايش بيساوي absolute x
تربية minus U تربية بساوي absolute X زائد U في
absolute X minus U وهذا بساوي absolute X زائد U في
absolute X negative U و by triangle inequality
absolute X زائد U أصغر من أو ساوي absolute Xزاد
absolute u كل هذا مضروف absolute x minus u الان
ال u و ال x ينتموا للمجال تبع الدولة وبالتالي
كلاهما عداد غير سالفة و كلاهما أصغر من أو يساوي ال
b صح؟إن هذا أصغر من أوي ساوي بي زائد بي في
absolute x minus u for all x و u ينتموا للمجموع
اللي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بي طبعا هذا
بساوياتنين بي في absolute x minus u for all x و u
تنتمي الى a اذا هاي شرط لبسيش اتحقق with k بيساو
اتنين بيعدد موجب اذا هنا take k
بيساو اتنين بيعدد موجب
Okay طبعا
واضح البران في اي سؤال او استفسار في
عندي نظرية تتعلق بال uniform الها علاقة بال
uniform continuity وهي النظرية التالية
فيرم if if from a to r is uniformly is uniformly
continuous
on a then
For any Cauchy Sequence
xn contained in A The
sequence f
of xn اللي هي ال image لسيقونس xn is Cauchy
in R that
is that
is هذا يعني هذا يعني هذا يعني انه uniformly
uniformly continuous
functions preserve كوشي
sequences
يعني الدوال اللي بتكون متصل اتصال منتظم بتحافظ على
cushy sequences بمعنى انه لو كانت xn cushy
sequence في المجال تبع الدالة A فصورتها هتطلع
cushy sequence في المجال المقابل R والبرهان سهل
طبعا هذا بس صحيح لل uniform ل continuous functions
أما لو كانت ال function بس continuous فمش شرط
اتحافظ على كوشي sequences والبرهان
سهل بسيط prove let
if from A to Rب uniformly continuous on
a and let x in contained in a,b كوشي كوشي sequence
و بدنا نثبت ان ال image لل sequence x in بتطلع
كوشي طيبto show ان
ال image لسيكوينس XN is Cauchy لبرهان
ان ال sequence هذه ال image لسيكوينس XN is Cauchy
نحاول نطبق تعريف Cauchysequence او نحاول نحقق شرط
كوشي فكيف نحقق قولت epsilon أكبر من السفر بيه جبن
وبينا نرد عليها بcapital N تحققلي شرط كوشي طيب
since if
is uniformly
continuous on a إذا لأي إبسلون موجبة زي هذه يوجد
إذا
لأي إبسلون زي هذهمع ان if uniform continuous اذا
لأي epsilon حسب تعريف ال uniform continuity يوجد
delta تعتمد على epsilon عدد موجة بحيث انه لو كان x
و U موجودين في A و Absolute X minus U أصغر من
Delta فهذا بعدي أن Absolute F of X minus F of U
أصغر من Y نسمي ال implication head star الان
since ال sequence X in is Cauchy
then و delta and
delta أكبر من السفر طبعا هذه given is given ال
delta هذه قلنا يوجد delta عدد موجة بما أن هذه
تعتبر given delta فلل delta هذه اللي هنا عدد موجة
بما أن xn is Cauchyإذا there exist يوجد capital N
يعتمد على delta عدد طبيعي بحيث انه شرط كوشي يتحقق
وهو لكل N و M أكبر من أو ساوي capital N بطل عندي
absolute xn minus xm أصغر من delta
بنسمي هذه double star now star and double star
بيقدّوا أنه يوجد capital N يعتمد على epsilon لأن
ال delta بتعتمد على epsilonالـ delta بتعتمد على
إبسلون، ملاحظة الحال ف N هذه نفسها N of delta
بيساوي N of إبسلون بتتمي ل N بحيث أنه لو كان N و M
أكبر من أوي ساوي capital N فهذا بيقدّي أنه by
double starهذا بيقدم absolute xn minus xm أصغر من
دلتا وحسب ال star by star ال star بتقول لو كان
عندي x و u المسافة بينهم أصغر من دلتا فالمسافة بين
صورهم اللي هي xn هنا وصورة ال xm تطلع أصغر من إبسم
تمام؟ إذا هنا أثبتت لأي إبسلون أكبر من السفر يوجد
capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي بحيث لكل M M
أكبر من أو ساوي capital N طلع المسافة بين F of X M
و F of X M أصغر من إبسلون إذا بما أنه since إبسلون
أكبر من السفر was arbitraryإذا الـ sequence f of x
in is Cauchy تطلع الـ sequence هذه Cauchy وهو
المطلوب okay تمام ممكن نستخدم النظرية هذه ممكن
نستخدم النظرية هذه في ال ..
ان نثبت ان function معينة ليستuniform and
continuous هاي example use
above theorem
to show ال function f of x بالسعر واحد على x is
not
uniformly continuous on a بساوي الفترة المفتوحة من
صفر إلى ملا نهار
لحظة ان النظرية دي ايش بتقول لو كانت ال function
uniform ل continuous فلازم تحافظ على كوشي sequence
طب لو محافظتش على كوشي sequence مش ممكن تكون
uniform ل continuous صح؟ مظبوط؟ اذا هنا proof
by above theorem حسب النظرية على it suffices
to show يكفي اثبات ان f is .. if does not .. if
does .. does not preserve .. preserve Cauchy
sequences ف
consider
consider ال sequence xn اللي هي بساوي واحد على ن
ال sequence هذه converge لصفر وبالتالي
اذا xn is Cauchy تمام but صورة ال xn
أيش بتطلع؟ صورة الواحد على ان تطلع ال sequence in
صح؟ و ال sequence هذه properly divergent to
infinity، اذا I'm divergent، اذا I'm not Cauchy
تمام؟
Okay؟ وبالتالي إذا هاي في عندي .. هاي في عندي ..
إذا if لا تحافظ على ال koshi sequences إذا if does
not preserve
.. preserve koshi
sequences وبالتالي حسب النظرية الأخيرة مابتكونش
uniformly continuous لأن لو كانت uniformly
continuous فالمفروض تاخد كوشي sequence زي هذه
تعطينا صورتها كوشي sequence وهذا مستحيل okay تمام
واضح في أي سؤال اي استفسار اذا هيك نكتفي بهذا
القدر من section خمسة اربعة وزي ما حكينا سابقاهذا
كان آخر section هناخده في المقرر و بالتالي هيكون
يعني .. يعني ان شاء الله أنهينا ال course كما هو
موضح على ال syllabus فشكرا لكم و شكرا لحسن إصداركم
و يعطيكم ألف عافية