أحنا هنكمل الموضوع لـ Properly Divergent Sequences
اللي بدأناه المحاضرة السابقة فشوفنا في المحاضرة
السابقة تعريف ما معنى أنه limit ل sequence xn
بساوي infinity وما معنى أنه limit ل sequence xn
بساوي negative infinityطبعاً الـ sequence بتكون
properly divergent إذا كانت ال limit تبعتها
بالساوي infinity أو سالب infinity في عندي
comparison test ل .. ل properly divergent
sequences هذا ال test بيقول لي لو في عندي two
sequences xn و yn two sequences of real numbers
بيحققوا الشرط star satisfy the condition star وهو
أن كل حدفي xn أصغر من أو ساوي الحد اللي بنظره في
ال sequence التانية yn هذا صحيح لكل n فإذا كانت ال
limit of the bigger sequence of the smaller
sequence is infinity then the limit of the bigger
sequence is infinity and if the limit of the big
the bigger sequence is negative infinity then the
limit of the smaller
الجزء بي هو نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط نقاطan
application of the definition طبقنا التعريف
بالبرهان زي ما انتوا شايفينه برهان الجزء A similar
مشابه لجزء B فحنسيبوا تمرين لكم اتحاولوا يعني
اتبرهنوا بنفس الطريقة okay تمام فلو سمحتوا حاولوا
انكم اتبرهنوا الجزء A بنفس الطريقة في عندنا شوية
ملاحظات على النظرية
نعطيلها رقم تسعة و عشرين فالملاحظات
في عندي تلت ملاحظات الملاحظة الأولى انه theorem
النظرية
السابقة اعتقد ان هذا الرقم المفروض يكون تلاتين
theorem 29 remains true تبقى صحيحة if condition if
condition star is replaced إذا بدلنا الشرط star by
the weaker conditionby the weaker condition
اللي
هو xn less than or equal yn لكل
n أكبر من أو ساوي m for some n natural number
يعني بدل ما Xn أصغر من أو ساوي Yn لكل الان لكل
الأعداد الطبيعية N فلأ نفرض أن يوجد M عدد طبيعي
نفرض أن يوجد some M عدد طبيعي بحيث أن المتباين هذه
تتحقق لكل N أكبر من أو ساوي M يعني مش شرط تتحقق
للأعداد الطبيعية اللي أصغر من M فالنظرية برضه تبقى
صحيحةولو بدنا نبرهن النظرية اللى فاتت تحت الشرط
الأضعف هذا الشرط أضعف من الشرط ال star لكن برضه
بيعطينى نفس النظرية فال ..
ففي الحالة هذه in fact في حقيقة القمر in fact in
the proofsin the proofs of النظرية السابقة take
the required the required in to be that
corresponds that corresponds
that corresponds to the given to
the given alpha or
given beta to
be in ابارة عن ال maximum the m و n of alphaأو n
بالساوي ال maximum الأكبر بين العدد الطبيعي m و n
of beta إذن
في البرهان مثلا هذه الجزء التالي برهاننا عادي هي
نقلت الكلام هذا صحيح و يوجد capital Nهيعتمد على
beta بحيث ان الكلام هذا يتحقق الان ال star ماقدرش
ا say bye star هذه هتكون double star بدل ال star
فانا ساميها double star فالان
باخد بعرف n ال n هذه بعرفها على انها الأكبر بين m
و n of beta وبالتالي ال n هذهأكبر من أو ساوي M و
أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي لما أجي أخد N
أكبر من أو ساوي capital N بأضمن أن ال N تبعتي هذه
أكبر من أو ساوي M وبالتالي XN أصغر من أو ساوي YN
وكذلك
ال N لما تكون ال N أكبر من أو ساوي Nالـ N هذه
فبطمن أنها أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي
الكلام هذا بتحقق ويعني هيك بيكون برهن الجزء B بال
.. باستخدام الشرط الأضعف double star بالمثل طبعا
ممكن نعطيه في حالة لما يكون بدي أبرهن الجزء A
فباخد ال N المطلوبة هي ال maximum ل M وN of alpha
في برهان A تحت شرط starهذه أول ملاحظة الملاحظة
التانية الملاحظة
التانية if condition star holds إذا كان الشرط star
holds then
النتيجة ان y in tends to infinity does not
necessarily implies ان x in tends to infinity
وكان limit ال yn بساوي infinity فليس من الضروري ان
يكون limit xn بساوي infinity وهي مثال يوضح ذلك for
example على سبيل المثال consider consider
ال sequence 1 على n أصغر من أو بساوي n لكل n في n
إذن هى انا عندي xn وهى عندي yn وهى xn أصغر من
يساوي yn الشرط الصغير متحقق لكن أنا عندي ال limit
ل sequence yn اللى الحد العام تبعها n هدى بساوي
infinity but ال limit ل xn اللى هى واحد على nبساوي
سفر لا تساوي infinity السفر لا يساوي infinity okay
تمام إذا الشرط star ما بيخلنيش أستنتج أنه limit x
in بالساوية infinity عندما limit y in بالساوية
infinity بالمثل if condition star holdsإذا كان
الشرط الـ start متحقق then x
in تقول إلى negative infinity ليس بالضرورة بيؤدي
مش شرط يؤدي ان ال sequence y in تقول ل negative
infinity هذا مش شرط يكون صحيح بنا مثال على ذلك
ممكن نفس المثال بس
for example بس نضرب في سالب هي عندي negative n
أصغر من أو ساوي negative واحد على n لكل n في nهل
هذا كلام صح؟ انا عندي واحد على n أصغر من أو ساوي n
لكل n هذا صح اضرب في سالب واحد تناقص هاه؟ هاي عندك
xn بساوي سالب n وهي عندنا ynبساوي negative واحد
على n الان انا عندي limit xn اللي هو سالب n لما
طبعا n تقول infinity بساوي negative infinity but
لكن limit ال yn اللي هو واحد على n ايش بتساوي؟
ساوي سفر سالب واحد عفوا سالب واحد على n limit سالب
واحد على n بساوي سفرو ليست سالب infinity okay
تمام؟ إذا النظرية ال comparison test لا يقبل .. لا
يقبل التأويل زي ما بيقولوا بس النتائج تبعتها كما
هي في a و b أي شيء آخر مش مظبوطهو أمثلة بتوضح
الأشياء الأخرى تمام؟ في كمان اختبار أخر زي هذا
بنسميه limit comparison
test فال
.. نمسح
limit comparison test خلّيني
أاخد two sequences x in و y in بsequences of
positive real numbers
بالتالي سيكون الحدود
الموجبة لكي يكونوا سالبة وبعضهم سالبة وبعضهم موجبة
بي
such that limit
ل xn over yn as n tends to infinity بساوي L عدد
موجبة
بنسمي المعادلة add star then
limit xn بساوي infinity if and only if limit yn
بساوي infinity إذا
هنا في عندي limit comparison testالذي يتم استخدامه
لسيقونسات واحدة فقط من حدوث واحدة واحدة فقط من
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث
واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
فقط من حدوث واحدة فقط من
حدوث واحدة ف
let assume ال أكبر من السفر satisfies
المعادلة
لسه نفرض ان في عدد حقيقي الوهو بحقق star يعني هو
limit ل ratio ل xn على yn تمام؟
take epsilon
بساوي
L على 2Since L is positive L over 2 is positive
لأن أنا جبت إبسلون which is positive طيب since من
الفرض since by star XN over YN converges to Lوهي
عندي إبسلون أكبر من الصفر is given إذا by
definition of convergence by epsilon capital N
definition لإبسلون هذه for this إبسلونthere exist
capital N يعتمد على إبسلون يعتمد
على الإبسلون اللي هي بتعتمد على العدد L natural
number بحيث أنه لكل N أكبر منه سوى capital N بيطلع
عندي absolute xn over yn negative L less than
إبسلونهزبوت هيك؟ طيب الـ Y بسوي L over 2 خلّينا
نشيل ال absolute value فبصير اندي Xn over Yn minus
L less than L two bigger than negative L ع اتنين و
هذا صحيح لكل N bigger than or equal N اجمع L على
كل الأطرافإن أنا بطلع عندي xn over yn less than
three over two L bigger than L over two and this
is true for every n bigger than or equal n نسمي
المتباينة هذه double star now
by double star انا عندي xn على yn اصغر من تلاتة ع
اتنين ال اللي هو الجزء هذا وهذا صحيح لكل n bigger
than or equal to n بيقدي انه xn
في اتنين على التلاتة L less than Y N وهذا صحيح لكل
N bigger than or equal N تصبوت هيك صح؟ هذه
المتباينة بتقدر هذه هي نفس هذه
so as limit احنا فرض .. now now
او .. او so if
limit xn بساوي infinity إذا كان limit xn بساوي
infinity و هذا ثابت موجب this is positive constant
ف limit كل هذا برضه بساوي plus infinity و
بالتالي by comparison test then by comparison by
comparison
by comparison test النظرية اللى فاتت مع الشرط
المخفف مع الشرط المخفف لأن فى النظرية اللى فاتت
كان عندي xn أصغر من أو يسوى yn لكل n بعدين قلنا أن
هذا الشرط لو خففناه لكل n أكبر من أو سوى عدد طبيعى
ما وليكن capital N هنا برضه بتظل صحيحةف by
comparison test and limit ال sequence هذه بساوي
infinity إذا limit الأكبر limit yn بساوي infinity
تمام؟ الآن بنثبت العكس نثبت الآن العكس طيب
conversely
Conversely Assume Assume المرهد أنه limit yn بساوي
infinity من double star من double star لو أخدت
النص .. النص هذا من المتباينة النص الآخرفعندي انا
L على 2 أصغر من XN على YN هذا صحيح for every N
أكبر من أو ساوية capital N طيب هذا بيقدي ان ال L
over 2 في YN أصغر من XN لكل N bigger than or equal
to capital N طيب
since
limit yn بساوي infinity بيقدي انه limit ثابت موجب
في yn لأن هذا بيقدي انه limit ثابت الا اتنين في yn
بساوي infinity so by comparison
by comparison test
أنا عندي limit ال sequence لصغيرة infinity، إذا
limit ال sequence الأكبر بطلع infinity، إذا limit
xn equals infinity وهذا بكمل البرهان، okay؟
تمام؟ إذا هذا بكمل ال limit comparison .. برهان ال
limit comparison testطبعا ال test هذا و ال test
اللي جابله ال comparison test في عليهم هتجدوا فيه
بعض التمرين ممكن
تطبيقهم على بعض ال sequences موجودة في التمرين
فهنسيبكم طبعا تحلوا التمرين عشان تشوفوا كيف ممكن
تطبيقهم
باقي section واحد في ال chapter تلاتة
السيكشن الأخير سيكشن
تلاتة سبعة في شبكر 3 هذا هيكون أبراعا مقدمة
introduction to
infinite series
introduction to infinite series مقدمة في
المتسلسلات اللانهائية
نعرف شو معناه متسلسلة لانهائية let xn
contained in R be a sequencesequence of real
numbers sum
x1
plus x2 plus ..x3 plus و هكذا plus xn plus و هكذا
و ممكن نكتبه بالصورة using sigma notation نستخدم
رمز sigma ممكن هذا نسميه summation from n equals
one to infinity إلى xn فالصن
المجموع هذاهذا expanded هذا compact form of
summation is called an infinite series generated
by
متولدة من .. by الـ sequence x in إذن
infinite series generated by الـ sequence x in إذا
هذه عبارة عن infinite series بتسميها متولدة من الـ
sequence x in طيب for every
for each n belong to N define خلّيني أعرف S1 على
أنه X1 S2 على أنه S1 زاد X2 بساوي X1 زاد X2 S3
بساوي S2 زاد X3Y ساوي X1 زايد X2 زايد X3 and
so on و هكذا نعرف SN على انه SN negative one زايد
XN و طبعا ال SN negative one هيكون عبارة عن
summation
x1 زائد x2 زائد و هكذا إلى أخر حد xn-1 هذا عبارة
عن ايه هذا عبارة عن s in negative one بنضيف لها xn
فهذا بيطلع بيساوي summation من k equals one to n
to for xk اذا
sn هو مجموع الحدود من اول حد الى حد رقم n وهكذا
ممكن نستمر الى ملا نهاية and so on الان انا كوّنت
sequence لاحظوا s1, s2, s3, sn هذا عبارة عن
sequence ال sequence الجديدة هذه لها اسمو sequence
مهمة of partial sums مظبوط قعدت نسميها اذا طرست
تفاضل الف وفهمته الموضوع هذا هناك الموضوع ال
series قعدت نسميها the sequence of partial sums
اذا the sequence
SN from N equals one to infinity is called بنسميها
the sequence the sequence of partial sums
sequence of partial sums of the seriesاللي هي
sigma xn او sigma من n بساعة واحد لانفينيتي okay
الان now if
ال sequence sn converges say
limit sn بالساوي عدد s ينتمي إلى r طبعا then
we say في الحالة هذه بنقول أنه the series اللي
هي summation xn from n equals one to infinity
converges
and its sum is summation from n equals one to
infinity ل x in ال summation تبعها أو المجموعة
تبعها عبارة عن limit لل sequence of partial sums
اللي هو العدد S
لو كانت الـ sequence divergent
if الـ sequence is in diverges we
say أنه الـ series sigma
x in diverges
إذا ال convergence و ال divergence depends on the
divergence أو convergence of the infinite series
depends on the convergence or divergence of the
sequence of partial sums مرتبط بيها ال sequence of
partial sums convergent السيريز اللي تابع إليها
convergentو العكس إذا كانت ال sequence of partial
sums divergent ال series ال infinite series
التابعة إلى divergent طيب
ناخد بعض الأمثلة طبعا
ال Sn هذا ال Sn
هذا بنسميه الانث partial sum الانث partial sum
انث partial sum المجموع الجزئي أنوني okay هو
الحد العام لل sequence و partial sumsأذا لما بدى
نخبر هل ال series convergent ولا divergent بجيب ال
sequence of partial sums وبجيب الحد العام لل
sequence of partial sums وبأفحص هل ال sequence هذي
convergent ولا divergent ناخد
بعض الأمثلة
المثال الأول consider
sequence
R to N from N equals 0 to infinity طبعا هذه
sequence of real numbersWhere R is a real number
which
generates الsequence هذه generates the geometric
.. the so-called geometric series .. geometric
series
اللي هي summation from n equals zero to infinity
from r to n okay اذا هي ال sequence هذه of real
numbers بتولد infinite series او generates this
infinite series اللي هي حدودها اول حد لما n بساوي
سفر واحد بعدين r بعدين r تربيهو R أس N و
هكذا ف such series is called geometric series هذه
ال series اللي على الصورة هذه بنسميها geometric
series الآن ال series هذه
this series واحد converges and
its sum اللي هو sigma from n equals zero to
infinity لRn بساوي واحد على واحد minus R إذا كان
absolute R أصغر من واحدand diverges and
اتنين diverges if
absolute are أكبر من أو يساوي واحد خلّينا
نثبت الجزء الأول
to prove one أنا
عندي ال S N بساوي سيجما
من K بساوي سفر إلى N ل R أس K اللي هو واحد زائد R
زائد R تلبية زائدR Sn وفي عندي .. في عندي ..
لو
ضربت Sn في Rفادرب الطرف اليمين في R فبطلع R زاد R
تربيه زاد و هكذا زاد R أس N و آخر حد هيكون R أس N
زاد 1 تمام؟ الآن خلّينا نطرح ال subtract
subtract نطرح المعادلة لتحت من اللي فوق فبطلع عندي
sn في واحد minus r أخدت عامل مشترك sn ولمّا أطرح
هذا بروح مع هذا كل الهدوء بتروح مع بعضها بظل عندي
واحد سالب r to n زاد واحد تمام ومن هنا اذا sn
بساوي واحد على واحد سالب R سالب R to N زايد واحد
على واحد سالب R ممكن
هذا نوديه على ناحية التانية فبصير عندى هذا سالب
هذا بساوي
سالب R to N زياد واحد على واحد سالب R الآن إذا
ناخد ال absolute value للطرفين Sn سالب واحد على
واحد سالب R بيطلع بيساوي الكلام هذا وهذا أصغر من
أو ساوي absolute R أسن زياد واحد على absolute واحد
minus R تمام؟
أذا عندي أنا هاي واحد على absolute واحد سالب R ضرب
absolute R أسن زائد واحد الان if absolute R أصغر
من واحدفهذا بيؤدي ان ال limit ل absolute R to N زي
1 لما N تقول ل infinity هذا بيساوي سفر أخدناها قبل
هيك وبالتالي
اذا ال ..
اذا انا عند ال absolute value هذه أكبر من أو ساوي
سفر و أصغر من أو ساوي ثابت موجب في sequenceالـ
sequence هذه تقول لـ 0 وهذه الـ sequence ثابتة
تقول لـ 0 اذا by sandwich theorem
بتطلع عند ال limit ل absolute sn minus 1 على 1
minus r لما n تقول ل infinity بساوي سفر و ممكن
ندخل ال limit جوا فهذا بقدر انه limit 1 على sn
عفوا limit sn لما n تقول ل infinity بساوي 1 على 1
سالب rوبالتالي إذا الـ series sigma from N equal 0
to infinity لR to N المجموعة تبعها تطلع convergent
ومجموعة بساوي limit SN وهذا بساوي 1 على 1 minus R
إذن هذا بثبت الجزء الأول الجزء التاني ممكن اثباته
لو R بساوي واحد فبطل عندي بجمع واحد على واحد عدد
لا نهائي من المرات وبالتالي ال sequence of partial
sums ممكن اثبات أنها unbounded وبالتالي not
convergent إذن ال series not convergent نفس الحاجة
لو كان absolute R أكبر من واحد فممكن اثبات أن ال
sequence of partial sums is divergent وبالتالي ال
series is divergentتمام؟ في أي سؤال؟ إذا بنوقف هنا
و بنكمل ان شاء الله الموضوع اللي جاي في المحاضرة
القادمة يوم السبت