بسم الله الرحمن الرحيم هندرس اليوم ان شاء الله مع
بعض ال section خمسة أربعةاللي بيتحدث عن موضوع ال
uniform continuity أو الاتصال المنظم للدوال
هحنحاول ناخد أكبر جزء ممكن من ال section الجزء
المتبقي ممكن نكمله في المحاضرة الجاية يوم الأتنين
فال
.. خلّينا الأول نراجع .. نراجع تعريف الاتصال
العاديال continuity على مجموعة فلو كان في handy
function f من a ل r فالعبارات التالية بتكون
متكافئة if is continuous at at
every at every u ينتمي إلى a اللي هو مجال الدالة
العبارة التانية given
epsilon أكبر من السفر and given u ينتمي إلى a يوجد
.. بيقدر نلاقي delta و ال delta هذه تعتمد على ال
epsilon و على ال u عدد موجببحيث أنه لكل x ينتمي
إلى a و absolute x minus u أصغر من delta فهذا
بتضمن إلى absolute f of x minus f of u أصغر من
epsilon
خلّينا بس ناخد المثال التالي consider
ال function f of xبتساوي واحد على X و X ينتبه لايه
اللي هي الفترة
كل ال X في R حيث X أكبر من الصفر إذا ال function F
معرفة على كل الأعداد الموجبة احنا
أثبتنا قبل هيك و proved
earlier فيما سبق في دراساتنا السابقة في section
اربعة خمسة ثلاثة او خمسة اتنين اثبتنا ان ال
function f is continuous على المجموعة a وخلنا
نراجع مع بعض ان مع بعض نراجع البرهان fix
fix u ينتمي إلى a given إبصر
أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
أكبر من صفر أكبر من صفربتطبيق تعريف epsilon delta
للاتصال ان نقطة given epsilon اذا بيطلع ارجعه we
found delta و ال delta هذه كانت ال minimum لقنتين
u ع اتنين او كانت هناك c ع اتنين بدل u كانت النقطة
بيسميها c فعندي u ع اتنين و u تربيه على اتنين في
epsilonطبعا هذا عدد موجب واضح ان ال delta هذه عدد
موجب لان هذا عدد موجب و هذا عدد موجب و بعدين ال
delta لاحظوا انها بتعتمد على ال epsilon و على ال U
الـ Delta بتعتمد على الـ Epsilon وعلى الـ U مش بس
على الـ Epsilon وعلى النقطة U اللى احنا بدنا نفحص
عندها الاتصال فشوفنا بعد هيك انه .. اذا for this
Delta اذا لو أخدنا X ينتمي إلى A و Absolute X
minus U أصغر من Delta فطبعا هذا قدهذا أدى أن الـ
delta هنا أصغر من أو يساوي U ع 2 وبالتالي هذا
بيقدر أن X أصغر من 3U ع 2 أكبر من U ع 2 لما نحل
المعادلة المتبينة هذه في U وهذا
بيقدر بدوره
أبسلوت f of x minus f of u طالع بيساوي أبسلوت واحد
على x minus واحد على u هذا بيساوي أبسلوت u minus x
على x في u المفروض أحط هنا أبسلوتأكس في U لكن ال X
و ال U عناصر في A و A عناصرها كل أعداد موجبة فلا
داعي ال absolute value الأن absolute أنا عندي هنا
من المتباينة هذه بيطلع عندي المفروض أنه أنا عندي
بيطلع U على 2 أصغر من X صح فهذا بيقدي أنه X فيأضرب
في U، U عدد موجب فبطلع U تربيع اتنين اصغر من X
وبالتالي واحد مقلوب XU بطلع اصغر من اتنين على U
تربيع اذا مقلوب XU اصغر من اتنين على U تربيع في
absolute U minus Xو هذي أصغر من دلتا إذاً هذي أصغر
من اتنين على U تربية في دلتا طيب الدلتا أنا
اختارها ال minimum للقيمة هذه وهذه فبالتالي الدلتا
هذه تطلع أصغر من أو ساوي القيمة التانيةإذن اتنين
على U تربية ضرب U تربية على اتنين في Epsilon و
طبعا هذولا بيروحوا مع بعض و بيظل Epsilon وبالتالي
بما أن Epsilon was arbitrary إذا ال F is
continuous at U ولمّا كانت U arbitrary since U
belonged to A was
arbitrary if is continuous على كل المجموعة ايه هذا
كان برهانة خلناها قبل هيك طيب ما الغرض مش ايش
النقطة ان احنا نعيد البرهان النقطة هي عايزين نفكز
او نأكد انه في اثبات الاتصال عند النقطة U لاحظنا
ان ال delta بتعتمد على ال epsilon و على ال Uهذا
معناه ان الـ delta بتتغير قيمتها مع تغير ال U
فمثلا
لو جينا نعمل هاي الدالة دي لو جينا رسمناها هاي
الدالة واحد على X لو جيت اخدت انا X لو كان هذا
واحد هذا اتنينفو هذا نص لو كانت ال U تبعتي لو كانت
ال U بساوي نص ف
F لنص بساوي هيطلع اتنين هذا بساوي F لنص طب لو جيت
أخدتأبسلون نيبرهود لاتنين اذا هذا عبارة عن بي
ابسلون لاتنين اللي هو صورة النص فهذا الابسلون
نيبرهود هيقابله delta
neighborhood هيقابله
delta
هذا عبارة عن delta neighborhood للنص باللاحظ هنا
ان ال delta هي قيمتها
هذه اتنين لو اخدت U بساوة اتنين لو اخدت U بساوة
اتنين احنا اثبتنا ان الدالة متصلة على الاتنين وهذه
ال function شكلها هيكون زي هيك يعني
هون ف F لتنين
بساوي نص او صورة اتنين بطلع نص اللي هي صورة
الاتنين الان لو انا اخدت كوانة epsilon
neighborhood لنقطة نص هذه ال epsilon هنا نفس قيمة
ال epsilon اللي هنا نفس القيمة وبالتالي الان اذا
في عندي انا دي epsilon لن نصفطبعاً لكل epsilon
neighborhood للنص بما أن الدلة متصلة عند اتنين
هيوجد V Delta يوجد
V Delta okay
هذا هيكون V Delta
هذا عبارة عن V Delta او Delta neighborhood للإفنين
فبلاحظ انه رغم ان ال epsilon هنا نفس قيمة ال
epsilon هنا الا ان ال delta هنا شوف جدش صغيرة
بينما ال delta هنا شايفين ما اكبرها؟تغيرت مين اللي
غير ال delta ال U لما ال U كانت نص ال delta كانت
صغيرة لما ال U كانت اتنين ال U كبرت اذا ال delta
هنا او ال delta نبرهود بيعتمد على ال epsilon او ال
delta بتعتمد على ال مش بس على ال epsilon و على ال
U و على النقطة نفسها okay واضح اذا هنا ال delta
تغيرت مع تغير ال UOkay تمام وبالتالي ال delta لأي
epsilon ال delta ده بتعتمد على ال u على ال epsilon
أو على النقطة وعلى ال epsilon تمام واضحة النقطة
هذه طيب احنا خلينا نقبل ناشية ده المثال خلينا ناخد
مثال تاني example
2
خلّينا ناخد الـ function f of x بساوي 2x و x ينتمي
إلى R Note
that .. خلّينا نلاحظ أول أن absolute f of x minus
f of uبساوي absolute اتنين X minus اتنين U بساوي
اتنين في absolute X minus U لكل X و U ينتمي ال R
مظبوط هيك؟ طيب
الدالة هذه معروفة انها متصلة على R المجال تبعها
صح؟
على الـ set R فكيف بنعمل فكس بنثبت U في R بنثبت أن
F متصل عند الـ U صح؟ and let أكبر من السفر be
given
تختار دلتا نختار دلتا بساوي أبسلون ع اتنين أكبر من
السفر فلهذه الدلتا then لو كان x ينتمي إلى ال a
اللي هي r و absolute x minus u أصغر من الدلتا فهذا
هيديني absolute f of x minus f of uبتقول إن هذا
بيطلع بساوية أصغر من أو ساوية اتنين في absolute x
minus u أو بساوية بالأعلى، صح؟ طيب مانا ال X هذه
ماخدها بحيث أن absolute x minus u أصغر من ال
delta، صح؟عشان ذلك انا اخترت delta بساوي epsilon ع
اتنين اه شوفت ايش خدنا delta بساوي epsilon ع اتنين
طيب و هذا بساوي epsilon حسب اختيارنا لل delta
وبالتالي هيك اذا ال function بما انه epsilon was
arbitrarily اذا f is continuousat الـ U وبما أن U
belong to R وزر فبتره إذا if continuous على كل ال
R كمان مرة النقطة هنا اللي عايزين أن أكد عليها هو
إن ال Delta لأي إبسلون و لأي U و لأي إبسلون ال
Delta هنا تعتمد على إبسلون فقط مالهاش دعوة في ال U
بمعنى آخر لو أنا ال U هذه غيرتهاأخذت U تانية لو
كانت تانية مثلا U بالساعة و سفر او واحد او اتنين
او تلاتة او اي عدد حقيقي فكل مرة ال delta نفس ال
delta F2 will work لل U لكل Uلأي إبسن خدي نفس ال
delta إبسن على اتنين هتعطيهم إيه ال implication
هذه بغض النظر عن ال U okay؟ وبالتالي هنا في ال ..
في ال .. في الاتصال هذا ال delta هنا تعتمد على
إبسن فقط و لا تعتمد على U بينما في المثال السابق
شوفنا ال delta بتعتمد على Uهذا النوع من الاتصال
بنسميه اتصال منتظم اللي فيه ال delta تعتمد على
epsilon فقط اتصال منتظم او uniform continuity
اتصال اللي جابله اللي ال delta تعتمد على ال
epsilon و على النقطة Uهذا نسميه continuity عادية
او نقول continuity اتصال اما هذا uniform
continuity هنشوف ال gate من التعريف ان ال uniform
continuity اقوى و اشمل من ال continuity العادية
okay تمام اذا خليني اضع تعريف ال uniform
continuity definition
فنشطة f من a الى r هي عامة عامة
مستمرة عامة مستمرة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
إبسلون أكبر من السفر يوجد Delta تعتمد على إبسلون
فقط، عدد موجب بحيث أنه لكل X و U تنتمي إلى A
وأبسليوت X minus U أصغر من Delta هذا بتضمن أن
أبسليوت F of X minus F of U أصغر من الإبسلون
إذا هنا لأي أبسلون أكبر من السفر في دلتة واحدة
تعتمد على أبسلون فقط والدلتة هذه تلف على كل ال X
وكل ال U أو لكل ال U مرة واحدة فهنا لكل X و لأي U
إذا المسافة بينهم أصغر من الدلتة فالمسافة بين
أصغرهم أصغر من X تمام؟ الآن واضح من التعريفات
remarks المراحبة الأولى uniform
continuity
uniform continuity implies continuity
الاتصال المنتظر بيؤدي للاتصال العادى و البرهان
واضح يعني بمعنى اخر لو في عندي function f from a
to r و ال function كانت uniformly continuous فهذا
بيؤدي ان f continuous فالبرهان ذلكأفرضي أن F
uniformly continuous إذا اشترتها تتحقق تبع الـ
Uniform Continuous الآن لإثبات أن F continuous على
A بتثبت أن F continuous at every U ينتمي لـ A يعني
بتثبت أنه لأي epsilon و لأي U فـ let epsilon be
given و let U be fixed element في A
من هنا لهذه الـ Epsilon من هنا بما أن هذا الشرط
متحقق لأن خد ال Delta لأي ال Epsilon هادي given خد
ال Delta اللي هي هذه موجودة في ال uniform
continuous اللي بتعتمد على Epsilon فقط خديها هي ال
Delta هذه فطبعا هذه ال Delta بتخلي ال implication
هذه تتحقق نظرت؟ لو هذه متحققة فهذه متحققةإذن هيك
واضح إن ال uniform continuous إذا الواحدة بيقدر أن
f continuous and u لما أن u واظهر بترة إذا f
continuous and كل على كل المجموعية لكن
العكس مش صحيح إذا العكس المواحدة التانية العكس مش
صحيح but not conversely
العكس مش صحيح، يعني ال continuity لا تؤدي إلى ال
uniform continuity و على سبيل المثال for
example على سبيل المثال
أحنا شوفنا قبل شوية في بداية المحاضرة الـ function
f of x بساوي واحد على x و x ينتمي إلى a اللي هي
الفترة مفتوحة من سفر لماء لنهاية is continuous on
a أثبتت أنها continuous على المجموعة a but
but if is not uniformly continuous on a as we
shall see in
a few minutes
كما سنرى بعد لحظات الدالة هذه ليست متصلةإتصالا
منتظم هنأخر المرحلة ده شوية و هنبرهنه فلكن في
الأول خلينا من التعريف تبع ال uniform continuity
نستنتج non uniform continuity criterion من
هنا non uniform
non uniform continuity criteria
let
f from a to r be a function then
the following statements are equivalent واحد if is
not uniformly
continuous على المجال تبعها نين there exists
epsilon zero أكبر من السفرsuch that for every
delta أكبر من السفر يوجد x delta و u delta أناصر
في a such that absolute x delta minus u delta أصغر
من delta and absolute f of x delta-f of u دلتا
أكبر من أو يساوي epsilon zero الأبارع
التالتة there exist epsilon zero أكبر من الصفر and
two sequences متتاليتين xn
و un موجودين في مجال الدالة a such that بحيث ان
limit xn minus un بساوي سفر as n tends to infinity
and
absolute f of xn minus f of un أكبر من أو ساوي
epsilon zero هذا صحيح لكل n ينتبه للأعداد الطبيعية
okay تمام طيب نشوف البرهان تبع النظرية هذه البرهان
تبع النظرية هذه ينتج مباشرة منتعريف ال uniform
continuity تعالى نشوف واحد بكافئ اتنين طيب ما
معناه if uniform continuous على المجموعة ايه؟
معناه الشرط هذا بتحقق طيب ما معناه ان if not
uniform continuous على ايه؟ معناه ال negation تبع
العبارة دي بتحقق تعالى ننفذ العبارة انفذ العبارة
بدل لكل epsilon يوجد epsilon zero بدل يوجد delta
لكل delta موجبة بدل لكل x و u يوجد x و u يعتمد كل
واحد منهم يعتمد على ال delta بحيث لو كان هذا أصغر
من delta فلازم هذا يقدر انه الأصغر هذا أكبر من أو
ساوى ال epsilon zeroلأن واضح أن العبارة الأولى
بتكافئ التانية لأنه نفي التعريف بكافئ العبارة
التانية طيب التانية بتكافئ التالتة وهذا برضه صح
افرض أن التانية صحيحة تعني نثبت أن التالتة صحيحة
طيب هي التانية يوجد epsilon zero يوجد و هكذا
بحيث لكل delta خدي delta بالساوية واحد على n يعني
معنى أخر لكل n يوجد delta بالساوية واحد على n عدد
موجةوبالتالي يوجد X يعتمد على الـ Delta اللي هي
واحد على N اللي بتعتمد على N إذا لكل N لكل N يوجد
XN و UN صح؟ وبالتالي يوجد two sequences و ال two
sequences هدول بيحققوا أن absolute X واحدة XN
minus UN أصغر من واحد على N اللي هي ال Delta و هذا
صحيح لكل N إذا ال limitإذا كان هذا أصغر من واحد
على xn minus un على absolute أصغر من واحد على n
حصّم نظرية اتنين أربعة هذا معناه limit xn minus un
بساوة سفر وهذا هي absolute f of xn minus f of un
أكبر من أوسع okay فهو واضح وطبعا العكس نفس الحاجة
إذن البرهانة النظرية هذه ينتج مباشرة من ال
definition تبع ال uniform continuity
الان دعونا نرجع للمثال
هذا اذا هنا example to
show ان ال functionf of x بالساوي واحد على x is
not uniformly
continuous على المجموعة a اللي هي الفافرة مفتوحة
من صفر لما لا نهاية we use non
uniform
Non-uniform continuity
criteria
يوجد أبسلون زيرو يوجد
عدد أبسلون زيرو موجد
تختار خيار Xm بساوي واحد على ان اكيد هذه ال
sequence contain في الفترة المفتوحة من سفر للملا
نهاية صح؟ and كمان تختار خيار ثاني UN بساوي واحد
على ان زايد واحدبرضه هذه ال sequence حدودها كلها
موزبة وبالتالي مجموعة جزئية من الفترة المفتوحة من
سفر لملنغا Clearly
واضح
ان ال limit ل xn minus un as n times infinity
بساوي limit1 على n minus 1 على n زاد 1 as n equals
infinity ف limit الأولى ساوي سفر limit ال sequence
التانية سفر وبالتالي بيطلع سفر لأن هنا حققت كل
شروط ضايل بس المتبينة هادية also
أنا عندي absolute f of x in minus f of u in هذا
المفروض بيطلع بيساوي absolute in minus in زد واحد،
أزبوتك؟ وهذا بيساوي واحد، واحد أصغر من أوي، بيساوي
واحد اللي هو epsilon zeroو هذا صحيح لكل n في n
أصبوت هنا هاني انا ايش عملت ال criterion رقم تلاتة
اتحققتها اتحققت انها متحققة ها يوجد epsilon zero
واحد لاحظوا الواحد علشان انا اختارت واحد ممكن اخد
برضه epsilon zero بساوة اتنين لان الواحد اصغر من
الاتنينمافي مشكلة بس مش أقل من واحد يعني نص من
فعشان لأن هي أثبتت يوجد epsilon zero عدد موجب
ويوجد two sequences انا اختارتهم انا اوجدتهم بنفسي
واحد على n واحد على n زيادة واحد كلهم موجودين في
مجال الدالة ايه و limit الفرق بينهم سفر لكن
absolute الفرق بين صورهممش أقوى هذا هيكون بساوي
واحد أكبر من أو ساوي .. مش أصغر من أو ساوي بدي
أكبر من أو ساوي واحد اللي هو epsilon خليني
أنا أسحب الكلام اللي حكيته سابقا و أقول هنا ممكن
أخد ال epsilon zero بساوي واحد أو أي حاجة أصغر
يعني نص بنفعيعني أبسلون زيرو بساوي نص منفع لكن أي
شيء أكبر من واحد منفعش لأن أنا بدي واحد يكون أكبر
من أو ساوي أبسلون زيرو تمام؟ إذا هذه أثبتنا
وبالتالي حسب ال non-uniform continuity criterion
ال .. ال function هذه is not uniform ل continuous
تمام؟ لكن أثبتنا سابق جابليك أنها is continuous
على المجال تبعهاإذا لو قلنا لكم prove or disprove
continuity
implies continuity .. ال uniform .. continuity
implies uniform continuity هتقولي هذا ال statement
false و ال counter example هو هذا هذا مثال على
function continuous لكن ليست uniformly continuous
تمام؟ طيب، كويسخلّينا الآن نثبت بعض النظريات
المهمة اللي بتخص uniform continuity ومن أهم
النظريات التي هي النظرية التالية theorem اسمها
uniform continuity
continuity theorem
let I بساوي be
a closed and bounded interval
اذا
I عبارة عن closed and bounded interval لو كانلو
كانت الـ function f continuous، if f from I to R
is continuous on I، then f is uniformly ..
uniformly continuous on
I
والبرهان السهل prove by contradiction اذا ان بكل
بساطة نظرية هذه رغم بساطة بساطة ال statement تبعها
اللي انا من اهم النظريات بكل بساطة النظرية اللي
بيقول لو كان في عندك function متصل على المجال
تبعها والمجال تبعها closed bounded interval اذا
الاتصال العادي يصبح اتصال منتظمإن ان هذه الحالة
الوحيدة اللي او يعني احد الحالات اللي فيها بيكون
الاتصال العادى بقدر الاتصال المنظم ان احنا اضافنا
شرط ان مجال تبع الدالة مايكونش اي set لازم يكون
closed bounded interval لبرهان ذلك بال
contradiction assume on contrary that
if is not uniformly continuous on I then by non
uniform continuity criteria النظرية
اللي فوقيوجد إبسلون زيرو أكبر من السفر و two
sequences and
two sequences واحدة نسميها x in والتانية un
contained in I بحيث أنهabsolute xn minus un أصغر
من واحد على n لكل n and absolute f of xn minus f
of unأكبر من أو ساوي epsilon zero لكل n في n كل
هذا ناخده من ال non uniform continuity criterion
الآن بدنا نصل لتناقض طيب
عشان نصل لتناقض since
I is bounded الفترة دي احنا فرضين انها bounded و
ال sequence x in contained in I then ال sequence x
in is bounded
هنا باستخدام حسب bolzano
weierstrass
firm
السيكوينس هناك سبسيكوينس سميها xnk of xn such that
السيكوينس had a convergence limit xnk as k tends
to infinity as
k tends to infinity بساوي z ينتمي إلى rبالنسبة لـ
some z and some r بلزانو فيروس عسكرية كل sequence
لها convergence subsequence سم السبسيكوينس هكذا
وسم ال limit تبعتها هكذا
الـ sub-sequence X in K contained in I التي هي
الفترة المغلقة من A إلى B فأحنا أخدنا نظرية تقول
أن لو كان هناك sequence حدودها محصورة بين A وB
ومتقاربة فنهايتها أيضًا محصورة بين A وB فهذا سيؤدي
إلى أن Z تنتمي إلى الفترة المغلقة من A إلى B التي
هي I
الذي يدفع الاتصال
الاتصال
الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال
الاتصال الاتصال
موجودين في I موجودين في I موجودين
في I موجودين في Iالـ subsequence UN برضه لها
subsequence مشابهة وconvergent لنفس الـ Z هذا مش
واضح لثبته لثباته to see this to see this note
that
بنقدر اخل الفرق بين
unk و z أصغر من أي epsilon فهذا
أصغر من أو ساوي unk minus xnk زاد absolute xnk
minus zهو في الأصل أن أنا المفروض أكتب انا اشعر
بالإضطراحة x in k و رجعتها و استخدمت ال triangle
inequality طيب هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n طيب أنا
عندي limit
x in minus u in بالساوية سفرلأن هذا صحيح لكل n ف
limit u in k minus x in k برضه بيساوي سفر فهذا
بيروح لسفر as k tends to infinity وعندي أنا برضه u
ال x in k جلنا تقول إلى z فبالتالي ال absolute
value هذه بتروح لسفر as k tends to infinityوهذا
أكبر من سفر، إذن by squeeze theorem ال sequence
هذه محصورة بين ال sequence هذه بالسفر ومجموعة two
sequences بيقولوا للسفرإذا من ال limit ل absolute
u in k minus z as k tends to infinity بساوي سفر و
منها بطلع ال limit u in k as k tends to infinity
بساوي z وبالتالي هذا بثبت ال claim تمام؟ إذا هنا
أثبتنا ال claim الآن بعد ما أثبتنا ال claim
طيب طيب now انا
اندي قولنا اثبتنا انه النقطة z تنتمي .. z تنتمي ل
I ال limit تبعت ال subsequence تنتمي ل I وال F
continuous
إن الهدف بقدم if is continuous لأن if continuous
على I وبالتالي continuous عند أي نقطة في ال I ولا
تكن ال Z hence
by
sequential criterion by sequential criterion for
continuous functionالـ function continuous عند
النقطة z وفي عندي sequence x in k converged ل z
اذا ال limit لصورة ال sequence او ال subsequence
لما كتره ل infinity بساوي f of z و كذلك ايضاAnd
برضه ال limit أنا عندي برضه ال sequence هذي
converge ل z فنهاية صورة ال subsequence u in k as
k tends to infinity برضه بيساوي f of z تمام
طيب
لكن
أنا عنديأنا عندي المتباينة الـ but أنا عندي
absolute f of x in
من الفرض هيها من الفرض ان ال function not
uniformly continuous انا عندي هذا اكبر من او يساوي
epsilon zero لكل n لكل حدود ال sequences
فهذا بيقدّي .. هذا بدوره بيقدّي انه epsilon zero
هي epsilon zero أصغر من أو ساوي absolute f of x in
k minus f of u in k تمام؟
هذا صحيح لـ sequence x in و لـ sequence u in إذا
صحيح للـ subsequence للـ subsequences إذا هذه جاية
من هنا طيب و by triangle inequality by triangle
inequality ممكن أخلي هذا أصغر لو ساوي f of x nk
minus f of z زاد absolute f of z-F of U in K انا
شو انا عاملة اتراحت من هنا F of Z و رجعتها اه و
استخدمت ال triangle equality فصار اندي اصلا مجموعة
two absolute values طيب
ما انا ممكن اخليأنا عندي limit ال sequence هذه
بساوي f of z فلأي given epsilon أكبر من الصفر ممكن
أخلي absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon على 2 ونفس
الحاجة أنا عندي ال sequence f of u and k converged
ل f of z إذا ممكن أخلي ال absolute value للفرخ هذه
أصغر من epsilon على 2وبالتالي بيطلع المجموعة
epsilon هذا صحيح لكل K أكبر من أو ساوي كابتل K أو
كابتل N واضح تمام؟ يعني لا أي epsilon أكبر من صفر
أو لا عفو ان ال epsilon نفس ال epsilon zero هذه ال
epsilon هي نفس ال epsilon zeroهي عندي الـ Epsilon
Zero given لما ان ال sequence هي ال converge إذا
يوجد capital N واحد يعتمد على Epsilon Zero بحيث أن
أبسلوت الفرق هذا أصغر من أو ساوي Epsilon على اتنين
لكل K أكبر من أو ساوي capital K واحد او capital N
واحد ونفس الحاجة لنفس ال Epsilon Zero يوجد N اتنين
بحيث انه بما انه هذه ال sequence converge اذا
الفرخة ده بقدر اخليه لكل n اكبر من او لكل k اكبر
من او ساوي n اتنين اصغر من يبسلون اتنين الان خدي n
بساوي ال maximum ل n واحد و n اتنين فبقدر
اخلي هذا اصغر من يبسلون زيرو لكل k اكبر من او ساوي
nففي النهاية بيطلع عندى epsilon zero أقل من
epsilon أصغر من epsilon zero هذا مديني
contradiction لأن هذا التناقض بيقول لي أن ال
assumption تبعنا أن ال function not uniformly
continuous كان assumption خطأ لأن الصح أن ال F
تكون uniformly continuous okay تمام واضح؟Okay إذا
بنوقف ان شاء الله هنا عند نهاية البرهان هذا و
بيكون هيك احنا يعني خلصنا جزء مش بسيط في section
خمسة أربعة و نكتفي بهذا القدر و يعطيكم ألف عافية و
شكرا لحصن أصغائكم