بسم الله الرحمن الرحيم اليوم ان شاء الله هنبدأ
chapter خمسة و هذا اخر chapter هناخده في ال course
فانواع ال chapter هذا continuous
functions الدوالة المتصلة و
أول section برضه section خمسة واحد في هذا ال
chapter برضه عنوانه continuous functions
الدولة المتصلة فنعرف شو معنى الدولة تكون متصلة عن
نقطة definition let
f be function from a to r and c be element of a we
sayإنه ال function if is continuous if
is continuous at
x بساوي c if إذا تحقق الشرط التالي for
every
إبسلون أكبر من السفر نقدر نرد عليها delta تعتمد
على إبسلون positive number بحيث أنه لكل X لكل
X في Aو ال absolute value ل x minus c أصغر من
delta فهذا بتضمن ان absolute f of x minus f of c
أصغر من ال epsilon فهذا
بنسميه this is calledthis is called epsilon delta
definition of
continuity لأن
هذا تعريف epsilon delta للاتصال لحظو هذا التعريف
تقريبا هوهو تعريف انه limit ال function f of x لما
x تقوله c بساوي f of c هدد
كانت c is a cluster point طب
لحظة انتوالما عرفنا احنا ما معناه انه ال limit ل
function and x بيساوي C و C cluster point للمجموع
A بيساوي عدد L بدلنا L هنا ب F و C صح؟ معناه كان
لكل إبسلون فيه Delta بحيث لكل X في A و ال X هذه
كانت مختلفة لا تساوي C فكنا نحط هنا أكبر من 0فإذا
كانت المسافة هذه أصغر من دلتا تطلع المسافة من f of
x وال L اللي هي ال limit هنا طبعا احنا بدلنا ال L
ب F of C فبين هذا يطلع أصغر من X هنا تقريبا نفس
التعريف if
if
is not continuousلو كانت ال F ليست متصلة عند
النقطة C فبنقول if
F fails to be continuous at C we say ان F is
discontinuous
discontinuous at c إذا لو كانت الدالة مش متصلة عن
c يعني شرط الاتصال هذا مش متحقق فبنقول أن الدالة
discontinuous منفصلة عند النقطة c okay تمام
بنلاحظ انه ال .. زي ما شوفنا في section 4-1 تعريف
epsilon delta لل limits of functions في بكافة
neighborhood definition وهنا برضه تعريف ال epsilon
delta definition للاتصال عن النقطة في بكافة
neighborhood definition فنكتب ال neighborhood
definition هذا
لت if دي function from a to r و c belong to a then
the following statements are equivalent واحد
ال function if is continuous is continuous at x
بساوي z
إتنين هذا طبعا إتنين نسميه in labor hood
definition of continuity
الـ neighborhood definition للـ continuity ايش
بيقول لكل for every epsilon neighborhood v epsilon
لنقطة f of c there
exist delta neighborhood v deltaof C لنقطة C طبعا
هذا epsilon neighborhood ل F of C يوجد delta
neighborhood V Delta of C بحيث انه لكل X تنتمي إلى
A تقاطع الـ Deltaneighborhood ل C لازم هذا يضمن ان
صورة ال X تنتمي
الى D epsilon ل F of C that
is that
is هذا يعني ان ال
الـ image للست A تقاطع V Delta of C is contained
in الـ Epsilon neighbourhood لـ F of C
هاي
كان في عنديزي هيك مثلا يكون في اندي فانكشن زي هذه
y بساوي f of x وقلنا
انه لو كانت x او c c
نقطة ال dial عندها متصلة هي f of c
ما معناه ان الدالة متصلة عند X بساوي C معناه لو
أخدت لأي
إبسلون أكبر من سفر فيه Delta أو لو أخدت أي إبسلون
neighborhood
يعني النقطة هذه F of C زاد Epsilon النقطة هذه
المسافة هذه Epsilon فهذه F of C سالب Epsilon فهذه
الفترة المفتوحة عبارة عن Epsilon neighborhood ل F
of C
فلأي إبسلون أكبر من السفر ممكن أكوّن إبسلون
neighborhood ل F of C وبالتالي بقدر أرد على الـ
Epsilon neighborhood هذا بـ Delta يعني
أكوّن Delta neighborhood هنا C minus Delta C موجة
بDelta
إذاً هذا عبارة عن V Delta V Delta ل C إذاً
لأي إبسلون لأي إبسلون neighborhood ل F of C بقدر
ألاقي Delta neighborhood للمقطة C بحيث أنه لكل Xلو
أخدت x نقطة في الـ delta neighborhood فصورتها f of
x هتطلع تنتمي لل epsilon neighborhood لل F of C
okay تمام فهذا هو نفسه هذا بكافي التعريف هذا بكافي
التعريف ال epsilon delta definition لل continuity
هي لكل إبسلون لكل إبسلون أكبر من الصفر يعني كأني
بقول لكل إبسلون نبرهود ل F و C يوجد Delta عدد موجب
فهذا معناه يوجد Delta نبرهود لل C بحيث أنه لكل X
المسافر لكل X تنتمي لكل X في Aو X بالتحقق
المتباينة دي معناته X سنتمي المسافة بين X و C أصغر
من Delta
فهذا بيقدي ان المسافة بين F of X و F of C هي F of
X و F of C أصغر من Epsilon يعني ال F of X هذه
تنتمي لل Epsilon برهود ل F of C إذن التعريفين هذول
متكافئين وهذا واضح من الرسم وبالتالي البرهان جاهز
من .. بس ترجمتهالحاجات هذه الى لغة ال neighborhood
اذا في لان تعريفين للاتصال على النقطة واحد epsilon
delta definition والتاني اللي بكافه neighborhood
definition طيب
ناخد بعض الملاحظات على تعريف الاتصال
إذا C هو مقاومة مقاومة
A ثم
F مستمر في X بساوي
لو كانت الـ C هذه cluster point فالاتصال ان C
بكافئ بكافئ ان ال limit ل F of X من تعريف ال
limits ان C بساوي F of C وهذا
طبعاً
this condition
is three in
one ال
definition هذا بكافئ تلت او الشرط هذا بكافئ تلت
شروط او هو تلت شروط في واحد اول شرط ان ال function
f and c is defined
يعني هذا عبارة عن عدد حقيقي name ال limit ل f of x
لما x تقول إلى c exist يعني عدد حقيقي والشرط
التالت أنه لازم ال limit لل function f and c بساوة
قيمة الدالة and c يعني عشان الدالة تكون متصلة عند
النقطة c في مجالهاو لو كانت الـ C هي cluster point
طبعاأو حتى لو ماكنتش cluster point فلازم التلاتة
صوروطها تتحقق الدالة معرفة عن C طبعا هذا لأن C
نقطة في مجال الدالة فلازم تكون معرفة عن ده لازم ال
limit ل F عن C تكون موجودة وقيمة ال limit بساوي
قيمة الدالة عند النقطة C لو أي واحد ماليش صوروط
التلاتة هدول اختل فبنقول ان ال function مش متصلة
عند النقطة COkay تمام واضح اذا لو كانت ال C هي دي
cluster point فتعريف الاتصال النقطة هو بالظبط
تعريف ان limited دالة ان C تكون موجودة و بتساوي
قيمتها ان C وهذا الشرط هو تلات شروط و ال C في ال A
نعم ال C تنتمي ل A اه طبعا ال C تنتمي ل A ال C
دائما تنتمي ل A
طب لو ماكناش ال c cluster point الملاحظة التانية
if c is not يعني لو كان ال c تنتمي طبعا دايما ال c
تنتمي ل a is not a cluster point is
not cluster point of a
then من تعريف ال cluster point لازم نلاقي delta
أكبر من السفر such that a تقاطع v delta of c بساوي
singleton c
ما معناه ان النقطة C الموجودة في A مايعنياش
cluster point او ما معناه ان C تنتمي ل A cluster
point معناها ان كل delta neighborhood لل C بيتقاطع
مع A في نقطة مختلفة عن ال C على الأقلمعناه ان الـ
C ما تكونش cluster point معناه ان يوجد delta
neighborhood واحد يعني يوجد delta عدد موجب
وبالتالي يوجد على الأقل delta neighborhood للـ C
وهذا ال delta neighborhoodمابتقاطعش مع a في أي
نقطة مختلفة عن ال c يعني التقاطع هذا بس في نقطة
واحدة c لأن ال c هي مركز ال neighborhood و c تنتمي
ل a فالتقاطع هذا مافيش فيه أي x مختلفة عن ال c في
الحالة هذه in this case in
this case
if is automatically continuous
at cالدولة في الحالة هذه بتكون متصلة تلقائيًا عند
النقطة C أو التعريف متحقق تلقائيًا ليه؟ لأنه
تعالوا نرجع للتعريف ما معناه أن F تكون متصلة عند
النقطة C معناه لأي epsilon neighborhood ل F و C
نقدر
نلاقي يوجد delta neighborhood ل C فخد ال delta
neighborhoodفي التعريف هذا خد الـ delta
neighborhood هو هذا ففي الحالة هذه لكل x تنتمي إلى
a تقاطع v delta و c ما التقاطع هذا مافيش فيه إلا
نقطة واحدة اللي هي c صح فلكل x موجود في التقاطع
هذا مافيش إلا x بالساوية cفصورة ال X هذه هي صورة
ال C وبالتالي صورة ال X هذه هي صورة ال C فهذه أكيد
تنتمي لإمسلون برهود ل F of C لأن ال F of C هي
المركز تبع الفترة هذه صح فهذا شرط متحقق trivially
تلقايا وبالتالي إذا السواء
سواء الـ C هنا كانت cluster point أو ماكنتش
cluster point فممكن نعتبر أن التعريف لاتصال النقطة
هو التعريف هذا لأن لو كانت ال C cluster point
فتعريف لاتصال النقطة هو هذا التعريف لو كانت ال C
ماهياش cluster point فهذا التعريف متحقق ال trivia
اللي بدهيوبالتالي مافيش داعي ان احنا نقول .. لما
نيجي نفحص الاتصال على النقطة C نقول هل ال C
cluster point او مش cluster point سواء كانت
cluster point او ماكانتش cluster point فالاتصال
and ال C بيصير هو .. يعني هل هذا شرط بتحقق او لا
طبعا زي ما اخدنا احنا ايام ما خدنا دراسنا ال
limits لل functions فكان
في عندي sequential criterion for limits
بنفس الطريقة في هنا sequential criterion for
continuity للاتصال إذا في عندي هنا sequential
criterion
for
continuity
let f be function from a to r و c نقطة في a then
the following statements are equivalent واحد
if is continuousif is continuous at c for
every for
every sequence x in contained in a with
limit
x in بساوي cنحن لدينا ان ال limit ل f of x n as n
tensor infinity بسوي f of c
الان الـ sequential criterion for continuity بتقول
عشان اثبت ان الدالة F continuous عند نقطة يكفي ان
انا اثبت ان لو اخدت اي sequence نهايتها اي
sequence في مجال الدالة طبعا كنا في ال limits
نشترط ان X in كل انصر في ال sequence مختلف عن ال C
هنا لأ ممكن يساوي ال C مش مشكلة هاي الاختلاف بس
بين ال sequential criterion for limitsو Sequential
criterion for continuity إنه لكل sequence x in في
مجال الدالة و نهايتها بتساوي c لازم اطلع عندي
نهاية ال image تبعت ال sequence x in بتساوي العدد
f و cوبرهان النظرية هذه زي برهان sequential
criterion for limits مع تعديلات طفيفة مع التعديلات
الطفيفة في التعريفين او في التعريف تبع الاتصال اذا
ال proof similar to proof ofsequential criterion
for limits for limits sequential criterion for
limits of functions in section أربعة واحد with
slight modification
مع تعديل بسيط مع تعديل بسيط التعديل هنا انه ال هنا
كنا نطلب ال X لا تساوي C وكمان كنا هناك نطلب انه C
تكون cluster point لكن شوفنا حتى لو C ماكنتش
cluster point فهذا برضه متحقق تلقائيا برضه
أخدنا
بعد ما أخدنا الـ sequential criterion for limits
of functions في section 4-1 أخدنا بعدها على طول
مباشرة divergence criterion for limits فهنا بقابل
ال divergence criterion اللي هو
discontinuity criterion
لت if بي function from a to r و c نقطة في a و d
then the
following statements are equivalent واحد if is
discontinuous
إذا كان الـ discontinuous at x بساوي c ثم يوجد
سيكوينس x in contained in a with limit x in بساوي
c
but limit الـ image للـ sequence x in لا يساوي f
of z وبرهان
النظرية هذه بيجي من النظرية الـ sequential
criterion أنا
عندي واحد one بكافي اتنين one if and only if two
وبالتالي not one نفي one بكافئ نفي two طيب تعالى
نشوف نفي one if is discontinuous at c نفي two for
every sequence بتحقق الشرط هذا نهايت صورتها بساوي
f of c ان في الشرط العبارة هذه فبصير there exist a
sequence x in contained in a ونهايتها c لكن نهايت
صورتها لا تساوي f of cOkay تمام إذا البرهان نظرية
هذه جاي من نفي أو ينتج من النظرية السابقة طب
نرجع ناخد قبل ما ناخد أمثلة بدنا ناخد بس تعريف
الاتصال على مجموعة definition
استخدم الفرصة let f be a function from a to r and
let
b be a subset of a نقول
ان الفرصة is continuous
if is continuous on الـ set B on the
set B if is continuous on the set B if if is
continuous at every at everyما ينتمي إلى دي إذا
الإتصال على مجموعة معناه إن الدالة تكون متصلة عند
كل نقطة في المجموعة، عند كل نقطة في المجموعة طيب
ناخد بعض الأمثلة
الـ function f of x بتساوي k و
x belong to R is continuous on R الدالة
ثابت k continuous على كل الـ Rاحنا شفنا proof fix
c أنتمي الار
Since limit ل F of X as X Sin C بساوي K احنا
اثمتنا قبلين ان limit اي ده لثابته بساوي ثابت K
وهذا بساوي F and C فال
F is continuousat every c ينتمي إلى r فاكرين
احنا هدف بقناه باستخدام تعريف epsilon delta قولنا
لأي epsilon أكبر من السفر choose أي delta أكبر من
السفر فتعريف
ال limit بتحقق
وهنا نفس الحاجة
طيب المثال تاني لو أخدت f of x بساوي x لكل x ينتمي
إلى R ال identity function فبرضه
أثبتنا احنا ان ال function هذه is continuous if is
continuousعلى مجموعة الأعداد الحقيقية
فممكن أن نثبت C ينتمي إلى R و أثبتنا احنا في
section أربعة واحد ان limit F of X لما X تقول C
طلعت بساوي C صح؟ وهذا عبارة عن F of C فالـ F is
continuous at C
و بما انه c arbitrary element اذا
ال F يكون continuous at every c ينتمي ال R
وبالتالي continuous على كل ال R ممكن
برضهنستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة بلاش نقول ان
احنا اثبتنا ان ال limit ل ال function f and c
بالساوية c في section اربعة واحدة انا ممكن اثبت
يعني استخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة و اقول let
if fix اول حاجة fix c تنتمي ل R to showif is
continuous at c let epsilon أكبر من السفر be given
it
shows .. زي ما عملنا في ال limits it shows delta
بساوي epsilon لذن
هي يوجد delta تعتمد على epsilonThen لهذه الـ Delta
لو كان X ينتمي إلى A A هنا اللي هي R و Absolute X
minus C أصغر من Delta فهذا بتضمن أنه Absolute F of
X Absolute F of X minus F of C هذا بيطلع بساوي
Absolute X minus F of X بساويX و F of C بساوي C
وهذا أصغر من Delta ماخدين المسافة هذه أصغر من
Delta وأنا اختارت Delta بساوي Epsilon إذن هذه
أثبتت لكل Epsilon يوجد Delta تعتمد على Epsilon
بحيث لكل X في مجال الدالة المسافة بينها و بين C
أصغر من Delta طلع المسافة بين F of X و F of C أصغر
من Epsilon إذن هذا معناه أن F is continuousat C
since C تنتمي ل R was arbitrary اذا F is
continuous على كل الأعداد الحقيقية تمام؟ اذا هذا
ممكن استخدم تعريف Epsilon Delta مباشرة
دون الاعتماد على النتائج اللي عملناها تابعة
النهاية في section أربعة واحد بالمثل ممكن مثال زي
هذا برضه ال function f
of x بساوي x سربية is continuous على كل الأعداد
الحقيقية
الدالة متصلة عند النقطة C
نفس تعريف epsilon دلتا زي ما عملنا في اثبات ان ال
limit لل function f of x and x بساوي c بساوي c
تربيه اللي هو f of c وذلك
بياخد اي epsilon اكبر من صفر و بنجيب دلتا زي ما
عملنا في section اربعة واحد دلتا بساوي ال minimum
لقمتينو نثبت أنه لكل x المسافة بينها و بين الـC
أصغر من الـDelta بيطلع المسافة هذه أصغر من الـC
نعيد يعني إيش نفس البرمجة، إذن هذا لو طلب منكم
استخدام تعريف epsilon delta لإثبات أن الدالة هذه
مقتصرة على R فبتقول لأي epsilon أكبر من السفر
choose delta زي ما عملنا في section 4-1 في إثبات
أن limit للدالة هذه عن C بساوي C تربية
أو ممكن تقولي we should اذا ما طلبش منك استخدم
التعريف epsilon دلتا فبتقولي we should أثبتنا in
section أربع واحد that limit ل F of X لما X تقول
إلى C بساوي C تربية اللي هي F of Cحسب تعريف
الاتصال على النقطة بيطلع أي شرط تلاتة في واحد
متحقق وبالتاني if is continuous at c okay تمام
وطبعاً بما أن الـ C تنتمي الـ R was arbitrary إذن
الدالة F continuous على كل الـ R okay إذا دامت
ياندي إما نستخدم نتائج section 4-1 أو نعيد البرهان
باستخدام تعريف epsilon Delta زي ما عملنا في المثال
الأخير أو زي ما عملنا في section 4-1 الدالة كمان
عندي الدالة
لو أخدت five X بيساوي واحد على X فهذه الدالة is
continuous on ال set A
اللي هي كل ال X ينتمي إلى R حقيته X أكبر من السفر
فاحنا
أثبتنا في X C تنتمي إلى A هذا بقدر انه C أكبر من
سفر و أثبتنا
In section أربع
واحد ذات limit لـ function phi of x لما x تقول إلى
c بسوى واحد على c بسوى phi of c باستخدام تعريف
epsilon دلتا اما نعيدالبرهان هداك لأي epsilon في
ديلتا بساوي minimum لقمتين او نقول انه احنا اثبتنا
ان limit الدالة هدا عند اي عدد c موجد بساوي واحد
على c اللي هو قيمة الدالة عن c وبالتالي اذا الدالة
في is continuous at c بما ان ال c تنتمي ل a was
arbitrary اذا ال في continuousعلى المجموعة A
بالمثل
ممكن نثبت ان الدالة دي continuous كمان على
المجموعة B اللي هي كل ال X ينتمي ل R حيث X أصغر من
0 الدالة
دي متصلة عند كل الأعداد الحقيقية مع عدد 0فهي متصلة
عند الأعداد الحقيقية الموجبة وعند الأعداد الحقيقية
السالبة طيب
الدالة five
x نفسها برضه بساوي واحد على x is not is
discontinuousis discontinuous at c بساوي سفر proof
one الدالة
هذه ليست متصلة عند السفر فالبرهان ذلك ممكن نقول
أنه في في
is undefined is undefined is undefined is
undefined is undefined is undefined is undefined
is undefined is undefined is undefined is
undefined is undefined is undefined is undefined
is undefined is undefined is undefined is
undefined is undefined is undefined is undefined
can't be continuous at x بساوي سفر لأن عشان هي
تكون متصلة عند سفر لازم تلات شروط يتحققوا أنها
تكون أول chart معرفة عند السفر فده هي مش معرفة عند
السفر فكيف تلات شروط هيتحققوا هذا برهان تاني برهان
آخر ان ما احنا شوفنا we should
in section أربع
واحد أو أربع اتنين that
limit لفاي of x as x tends to zero does not exist
أثبتنا إن الـ function هذه ما لهاش limit عند السفر
فا استخدمنا ال divergence criterion ا شفنا ان هناك
sequence اللى هى واحد عال ان converge للسفر but
limit ال image لل sequence واحد على ان as n tends
to infinity بساوي limit in بساوي infinity does not
exist in Rوبالتالي by divergence criterion ال
function هذه مالهاش limit وبالتالي مش ممكن تكون
continuous so if I can't be continuous at x بساوي
سفر تمام؟ لأن واحد من الشروط التلاتة تبعت الاتصال
عن نقطة غير متحققة تمام؟
في كمان مثال أخدناه في section
4-1 الـ
signum function اللي
كان تعريفهابتساوي سفر if x بساوي سفر و x على
absolute x إذا كان x لا يساوي سفر is discontinuous
is discontinuous at x بساوي سفر why
لأنه اثبتنا احنا في section أربعة واحد انه limit ل
signum x لما x تقول إلى سفر does not exist
اللي هي ان ال limit لل signal function عند السفر
does not exist شوفنا ان ال limit من اليمين واحد
عند السفر و ال limit و ال limit عند السفر مليار
ساعة سالف واحد وبالتالي مش متساوي اتين اذا ال
limit عند السفر does not exist okay تمام اذا ال ال
function هذه ماهياش متصلة عند السفر لعدم نظرا لعدم
وجود ال limit عند السفررغم أن الدالة هذه معرفة عند
السفر، الـSignum للسفر هي معرفة عند السفر بساوي
سفر تمام؟
طيب، لكن ممكن اثبات أن الـSignum function متصلة
عند كل X لا يساوي سفر
However، الـ signum الـ signum function is
continuous at
every x لا يساوي سفر لأنه
proof fix c لا تنتمي لار وc لا يساوي ستة تمام then
absolute signum x minus signumالـ C بساوي absolute
X
على absolute X أو
بلاش
then ال limit ل sigma x
لما x تقول إلى c بساوي
لما
x تقول إلى c فهذا عبارة عن limit x على absolute x
لما x تقول إلى c
فده كانت ال X لا تساوي سفر فاما ال X موجة بقى أو
سالي بقى
then C أكبر من السفر or C أصغر من سفر
الـ C هتكون أكبر من السفر الـ C هنا لأ تساوي سفر
إذا أما C أكبر من السفر أو أصغر من السفر case one
لو كانت C أكبر من سفر فهذا بقد أنه limit signum X
as X tends to C بساوي limit X على absolute X
و طبعا ال X أكبر من ال
C أكبر من السفر ف absolute .. فهذا بيساوي واحد
بيساوي limit واحد as X tends to C بيساوي واحد
بيساوي F and Cأو signum C لأن
ال C موجبة فلما ال C تكون موجبة ف absolute ال C
بساوي ال C بطلع المخضر هذا بطلع واحدو بالتالي إذا
ال signal x is continuous at c case 2 إذا كانت ال
c أصغر من سفر ف similar to case 1 في
الحالة هذهقيمة ال function هتطلع سالب واحد عند c و
limit عند c هتطلع سالب واحد وبالتالي في اتصال عند
ال c إذا ال sign and function مش متصلة عند الصفر
لكنها متصلة عن كل الأعداد الحقيقية المختلفة عن
الصفرOkay بنكتفي بهذا القدر و بنكمل طبعا إن شاء
الله في المحاضرة القادمة هنعطيكم إن شاء الله break
خمس دقائق و بعدين نواصل المحاضرة التانية اللي
هناخد فيها discussion أو مناقشة لل chapter أربعة
section أربعة واحد و أربعة اتنين