المرة الماضية أخذنا نظرية على الـ subgroups
ومختصرها إن الـ H لو كانت non-empty هال condition
الأول و الـ condition الثاني لو أخدت two elements في
الـ group أو في الـ subgroup و أثبت إنه حصل ضرب
الأول في معكوس الثاني موجود في هذه الـ subset اللي
هي الـ H يبقى الـ H بتكون is a subgroup و أخذنا على
ذلك أربعة أمثلة وهذا هو المثال رقم خمسة المثال رقم
خمسة جيء به في إحدى الامتحانات في إحدى السنوات
السابقة اللي هو في الجامعة الإسلامية عندنا هنا
ولذلك أحببت أن أحل هذا السؤال كمثال على موضوع هذه
النظرية السؤال بيقول little h بيبقى subset of a
group g بيبقى احنا أخذنا h subset من الـ group g
أخذنا الـ element أو الـ set a هي كل العناصر a اللي
موجودة في g بحيث أن الـ a h تساوي h a يعني كل
العناصر اللي بتبقى commutative مع عناصر h فقط
الخطوة الأولى بدي أثبت أن الـ H is non-empty بعدين
بأخذ أشياء موجودة في a و أثبت أن الأول في معكوس
الثاني موجود في a يفجر بعدين بقول له solution
الخطوة الأولى أن الـ a is non empty السبب because
طبعًا الـ identity elements مع ناسر g كلها وبالتالي
مع ناسر h because الـ E موجود في الـ A since السبب
في ذلك أن الـ E في الـ H هو الـ H في الـ E طب الـ H في
E ايش بيعطينا
هذه النقطة الأولى هي a non empty النقطة الثانية
بدي آخذ عنصرين موجودين في الـ set a يبقى بداجي أقول
افترض أن الـ a و الـ b موجودات في الـ a طيب هذا معناه
then الـ a h بده يساوي الـ h a and الـ b h بده يساوي
الـ h b هذا معناه بدالي امسك هذا الـ element اللي
عندنا هذالو ذهبت و ضربت من جهة الشمال في الـ B
inverse و ضربت من جهة اليمين في الـ B inverse بدي
أشوف الدوصل ليه طب أنت بكتره في الـ B inverse ليش؟
بقوله اه أنا فرضت أن A و B موجودة في A إذا هي
موجودة وين؟ فتش موجودة في a يعني موجودة في g
الأصلية لأن كل عناصر a موجودة في g إذا هذه موجودة
في g يبقى الـ b inverse موجود في g لكن أنا بدي أثبت
أن الـ a b inverse موجود في a بمعنى آخر أن الـ a b
inverse في الـ set a بدي أساوي الـ a في الـ a b
inverse إن أثبت هذا الكلام بيتم المطلوب يبقى بده
أجعل هذه و أضرب من جهة اليمين في الـ B inverse و من
جهة الشمال كمان وين في الـ B inverse يبقى هذا معناه
أن B inverse في BH بده يساوي هاي ضربنا من جهة
الشمال يبقى بنتجينا B inverse H BH يبقى ضربنا خليا
من جهة الشمالمرة جيب نضرب من جهة اليمين ولا يمك
ولا نضربهم مرة واحدة رياحة أنها اضرب من جهة الشمال
ومن جهة اليمين في الـ B inverse يبقى بدي جينا كمان
هنا B inverse بدي أساوي الـ B inverse في الـ BH بدي
أساوي الـ B inverse H في الـ BB inverse بالشكل اللي
عندنا بالدرجة هذا الـ element فيه معكوس ويش بيعطينا
الـ identity يبقى هذا بدري يعطينا أن الـ E H B
inverse بدري يساوي
بإنفرس هذي مباشرة هذه ضربت من جهة الشمال و من جهة
اليمين هنا ضربت من جهة الشمال و من جهة اليمين طيب
هذه الآن الـ بي بي انفرس بتعطينا الـ identity يبقى
هدف السوى بي انفرس he بناءً عليه الـ identity في أي
element والله في أي set بيعطينا نفس الـ element أو
نفس الـ set يبقى هذا معناه أن الـ H P inverse بده
يساوي P inverse H
أنا بدي أثبت أن الـ A B inverse موجود في الـ A
بمعنى أن الـ A B inverse مضروب في الـ H بيساوي الـ
H في الـ A B inverse المعادلة هذه مافيش فيها A لكن
لو ضربت الطرفين في A بوصل لمن؟ للمطلوب إذا حاجة
لهذه و أروح أضرب الطرفين من جهة الشمال في من؟ في
الـ A يبقى هذا بدي أعطيك إنه A H B inverse بدي أساوي
A B inverse H بالشكل اللي عندنا طب احنا فيها معلومة
حتى الآن لم نستخدمها ليمين الـ a h بده يساوي h a إذا
بقدر أشيل هذه الـ a h و أكتب بدالها الـ h a يبقى هذا
معناه أن الـ a h بده أكتبها h a في الـ b inverse بده
يساوي من خاصية الـ associativity بقدر أقول هذه a b
inverse مضروب في الـ h يبقى هذه بده يساوي a b
inverse مضروبة في مين في الـ h يبقى بناء عليه كمان
مرة من خاصية الـ associativity بصير عندنا الـ H في
الـ A B inverse بده يساوي الـ A B inverse في الـ H
ايش تفسير كل ذلك؟ معناه أن الـ A B inverse موجود
وين؟ في a يبقى سا الـ a بي انفرس موجود في الـ a هذا
بدي يعطينا أن الـ a is a sub group من g أثبتنا في
الأول أن الـ a is non empty وجدنا فيها الـ identity
element أخذنا two elements موجودة في a أثبتنا أن
الأول في معكوس الثاني موجود في اللي هو الـ a
وبالتالي الـ a is a subgroup من مين؟ من G و مرة ثانية
بقول هذا السؤال جيء به في إحدى الامتحانات السابقة
على أي حال احنا حتى الآن أثبتنا نظرية واحدة بواسطة
تحليل بدل المثال خمسة على إثبات إن الـ subset
اللي بأخذها كيف هي الـ subgroup من الـ group
الأساسية عن طريق إثبات نقطتين النقطة الأولى إن الـ
subset اللي بأخذها non empty والنقطة الثانية لو
أخذت elements في هذه الـ set بدي أثبت إن الأول في
معكوس الثاني موجود في هذه الـ set طيب نجي الآن
لنظرية ثانية يبقى الـ theorem النظرية
الثانية بتقول let الـ H be a non empty subset
of
a group G
الـ H is a subgroup من G if and only if الـ A و الـ
B موجودة في H whenever عندما
الـ A و الـ B موجود في H and الـ A inverse belongs to
H whenever
الـ A موجودة
في H
النظرية الثانية اللي عندنا بالنسبة للـ subgroups
بتقول ما يأتي H non-empty subset of A group G يبقى
نفس الـ condition الأول تبع من؟ تبع النظرية السابقة
الآن كان عندي condition واحد في النظرية السابقة
حاصل ضرب الأول في معكوس الثاني موجود في H إذا two
elements موجودات في H هنا هذا الـ condition فصل على
شكل two conditions H Subgroup من G if and only if
حاصل ضرب A في B في H لأي عنصرين A وB موجودة في H
والمعكوس لأي element موجود في H إذا كان هذا الـ
element موجود في H بتطلع للنظرية بتقول if and only
if يبقى البرهان بيصير في اتجاهين يبقى بدي آخذ
الاتجاه الأول بدي أقول له assume افترض أن الـ H is
a subgroup من G مدام subgroup من G لو أخدت أي two
elements موجودة في H حصل ضربه في H ولا لا لأن
عليها binary operation بدي يطلع في H يبقى then الـ
A B موجود في H الـ for all A و B اللي موجودة في H
and الـ B inverse موجود في H لكل الـ B اللي موجودة
في H يبقى الاتجاه الأول مافيش فيه مشكلة إذا هذه الـ
subgroup يبقى لو أخدت any two elements موجودات في
H بدي يكون A star B موجود في H والأمر الثاني مدام
subgroup يعني هي group تحت نفس الـ operation يبقى
أي عنصر فيها له معكوس إذا الـ B inverse موجود فيه
لان بدنا نمشي لعملية العكسية يبقى conversely
assume
افترض إن الـ A B موجود في H لكل الـ A و الـ B اللي
belong to H and الـ B inverse موجود في H لكل الـ B
اللي موجودة في H
ماذا بدنا نثبت؟ الـ H Subgroup ممتاز جدا طيب بداجي
أقوله الأولاني بدي أحاول أستفيد من كل معطى معطى
عندنا هنا أنا عندي أخدت elements ضربتهم وجدتهم في
H أخدت element في الـ H وجدته بعكوس في H بقولي تحت
ال two conditions الاتنين هذول بدي أثبت أن الـ H
is a subgroup من من جي الأصلية بقوله كويس الآن
since ال B موجود في H بما أن B موجود في H we have
ال B انفرس موجود في H طب من وين جبت الكلام هذا من
ال second condition من ال condition الثاني يبقى
هذا from the second condition
طيب احنا ماخدين هنا ال a و ال b موجودة في h الآن
ال a موجودة في h كويس؟ and ال a في b belongs to h
لكل اللي هو ال a و ال b اللي موجودة في h implies
هذا الآن موجود في h صح؟ و هذا موجود في H و ال
condition هذا حاصل ضرب أي عنصر من H موجود في H إذا
بدي أضرب الاتنين هدول في بعض ي بجا بدي أصير A B
inverse موجود في H الآن الـ H non-empty مُعطى أخدت
الـ two elements موجودات في H وجدت حصل ضرب الأول
في التاني موجودة في H يبقى الـ H is a subgroup
بالنظرية السابقة يبقى هذا بدّي يعطينا أن الـ H is
a subgroup من G from the previous
الثيوريم يبقى بالنظرية السابقة هذه سارة subgroup
وهو المطلوب نعطي مثال توضيحي example let
ال g بدها تساوي r star اللي بدها تساوي ال r ناقص
ال zero under
multiplication تحت عملية الضرب little h بدها تساوي
كل العناصر x اللي موجودة في g بحيث أن ال x بدها
تساوي واحد or ال x is irrational
عدد غير نسبي and ال k بدها تساوي كل ال x اللي
موجودة فيه بحيث أن ال x greater than or equal to
one السؤال هل هدول subgroups أم لا R
H N K subgroups of
G هل هدول subgroups من G ولا لأ solution
خلّيني أقول لكم هنا الست اللي أنا للا أسطار اللي
مجموعة الأعداد الحقيقية بدي أشيل منها من ال zero و
ال binary operation اللي هي عملية الضرب العادية
بدي أعملية الضرب على مجموعة الأعداد الحقيقية بعد
ما أشيل منها ال zero أخدت منها subset مجموعة جزئية
submitted مين هي هذه؟ هي كل العناصر اللي موجودة في
هذه ال element يوعبه إيه؟ ال X بده يساوي واحد اللي
هو ال identity element تبع عملية الضرب أو ال X
يكون irrational طيب التانية ال K كل ال X اللي
موجودة في G بحيث ال X greater than or equal to 1
بيسأل هل هدول subgroups أم لا؟ بنقوله كويس المثال
هذا جاي بعد مين؟ بعد النظرية إذا أنا بدي احاول اطبق
النظرية هذه واشوف شو اللي بيصير إذا تطبقت النظرية
بيبقى هم ال seven groups اختل أي شرط من الشروط
اللي موجودة فيها يبقى ماهياش seven groups طيب لأ
لو جيت هنا على ال H بيقول لي أما ال X بدي أسميه
واحد وهو ال identity element هذا هو وضع الطبيعي or
الـ x يجب أن يكون irrational يعني هذا عندما نحب
الـ or تعني ال union يبقى العناصر هم الواحد الصحيح
و ال irrational number تمام؟ أريد أن أشوف هل هذه
closed under multiplication بمعنى أنه لو أخذت two
elements موجودات في ال group هل حاصل ضربه ما يكون
في ال group ولا لأ؟ السؤال هو، ضروري الـ two
elements اللي أخدهم يكونوا مختلفات عن بعض؟ ليس
بالضرورة، ممكن ال element و نفسه، تمام؟ ممكن مشان
تبقى close، سواء ضربته في نفسه إن شاء الله تضربه
في نفسه عشرين مرة ولا تضربه في أي element آخر، بدي
يكون موجود في H إن كانت subgroup طيب، الآن أنا
أدعي أن الـH هذه is not a subgroup من هنا أنا أدعي
طيب شو السبب because جذر
ثلاثة موجود في itch ولا لا يا شباب مش جذر ثلاثة
irrational number and جذر ثلاثة مضروب في جذر ثلاثة
بده يساوي ثلاثة هل التلاتة irrational number لأ مش
موجود في itch يبقى أنا أخدت عنصرين من H وجدت حاصل
ضربهما مش موجود في H معناته الـ H هذه ما هياش
subgroup يختل ال condition الأول في النظرية اللي
ذكرناها قبل قليل الآن أنا ده أدعي كذلك أن الـ H is
not a subgroup من G
السؤال لماذا؟ لأن أي
element يأتي في بالي موجود في كيه لأن الست هذه
موجودة في كيه لأن عناصر كيه من واحد وطلع
أنا روحت أخدت الستة موجودة هادئة في كتر شو معكوس
الستة؟ سُدسها ضرب عملية الضرب العادية يبقى هذا
بده يعطينا أن معكوس الستة ليه ستة inverse يساوي
واحد على ستة لإنه ستة في سُدس هو اللي بالساوية
واحدة صحيح السؤال هو هل السُدس هذا موجود في ك؟ لأ
لأنه واحد وطلع هذا أقل من الواحد يبقى هذا does not
belong to K معناته اختلت الشرط الثاني إذا أخدت
element ال H لقيته معكوسه ما هوش في H إذا لا يمكن
لهذه الست أو هذه أن تكون subgroup ملي جروب اللي
موجودة نيجي ناخد النظرية رقم ثلاثة على ال
subgroups بيقول ال H با non-empty نفس ال condition
هو هو في النظريات الثلاث non-empty بس أضافنا عليها
finite subset
of
a group G
ثم الـ H هو مجلد من G إذا كان الـ H مقفل
تحت عمل
G
مرة ثانية بقول جالي H non-empty زاد على نظريتين
الجالي finite subset يبقى عدد المحدود في هذه الست
عدد ال subset اللي أخدته محدود تمام بيقول لذن ال H
is a subgroup إذا كانت ال H closed under the
operation شو يعني closed under the operation يعني
ال condition هذاهذا يعني أن الـ H مقفل تحت الـ
operation يعني A*)B يكون موجود في H لكل الـ A و الـ
B الموجودة في H يبقى في المقابل شال ال condition
التاني هذا واستعاد عنه بمين بأن الـ H is finite
إذن لو كانت ال group finite يا شباب و ال subsidy
اللي أخدته من ال group كان إجباري هيصير finite
مظبوط يبقى كان ال subgroup non-empty وفي نفس الوقت
هيكون finite يعني عدد العناصر فيه عددا محدودا بدي
أثبت أن هذا ال subgroup يكفي أنه تاخد two elements
موجودات في H و تثبت أن حاصل ضربهما موجود في H طبقا
لهذه النظرية إن تم ذلك يبقى ال H is a subgroup يبقى
الآن احنا بداية أقوله افترض أن ال a و ال b موجود
في h and ال a و ال b موجود في h تمام يبقى أنا أخد
أي عنصرين في جي و أفرض أنه حاصل ضاربهم يعني هذا
اللي معناه أن ال H is closed under the operation
تمام؟ يبقى هي المعنى تبعها طيب بيقول لي أثبت أن هذه
عبارة عن إيه؟ عن ال subgroup بقوله كويس يبقى الآن
أنا بدي أحاول أطبق النظرية الأولى مثلا كيف النظرية
الأولى؟
أو حاصل ضرب الأول في الثاني موجود في H أو حاصل
الضرب موجود في H يكفيني أن أثبت أن معكوس أي عنصر
موجود في H إذا طبقًا لهذه النظرية تصبح هذه
subgroup موجودة
يبقى الـ condition الأول متحقق ضايل عليه أثبت مين
ال condition التاني بنكون خلصه يعني لو أخد أي عنصر
موجود في itch أثبت أنه معكوس موجود في itch بقدر
أطبق النظرية هذه مباشرة لذلك هروحض أي عنصر موجود
وين في itch وشوف وين بتوجه الدنيا يبقى باجي بقوله
little a موجود في itch من ال a أنا مش عارف يبقى
باجي بقوله if the a بدرساه the identity لو طلع
لأخدته عشوائيا هذا هو the identity then أخدته
في itch طلع من the identity يبقى then the A Inverse
موجود
في H يعني أنه اتطبق من the condition التاني
وبالتالي صارت the H is A يبقى هذا بده يعطينا أن the
h sub group من G هذا لو طلع the element اللي هو
the identity طيب لو ما طلعش يبقى the a لا تساوي the
a بمعنى آخر لا يمكن يكون the order لل a واحد صحيح
لأن لو كان واحد صحيح بيطلع فعلا طيب احنا في عندنا
معلومة حتى الآن لم نستخدمها اللي هو مين؟ finite
يعني عدد العناصر في H محدود طب استنى شوية ايش
بيقول هنا أنه حاصل ضرب أي عددين من H موجود في H
السؤال هو هل A تربيع موجود في H؟ لأنه ايه فيه؟ طب
هل A تكييب موجود في H؟ لأن a تربية في h و a في h
يبقى a تربية هل a أس أربعة موجود في a كل a أربعة
أو أي أس يطلع موجود في h يبقى the a لا تساوي the a
then according طبقا to the condition
طبقا للشرط أن the a بي موجود في h لكل the a و the b
اللي موجودة في h بقول we have أن the a و the a تربيع
و the a تكعيب ومشي لجد ما بدك are all in h كلهم هذول
موجودات في ايه؟ موجودات في h ممتاز جداطيب الآن the
H finite افترض فيها خمسين عنصر وأنا حاطط a
والسبعين بدي يكون موجود فيها ولا لا؟ ليش؟ مش the H
عدد العناصر خمسين يبقى عنصر حاطط فلوس عشرة والله
عشرين والله خمسمية بدي يكون فيها مظبوط ولا لأ بس
ماهي اللي بدي يحصل أن the a سبعين هذه متساوي عشرين
مظبوط ولا لأ زي ايه زي عملية the مقياس a modulo n
بعد ما زيت the n كله برجع بيصير فيها مظبوط ولا لأ
طيب ايه اللي حكمنا يا عزيزي لأن هذه finite فاينيت
يبقى a مرفوعة لأي أس عندك بدي يكون من ضمن هدول بدي
يكون موجود وين؟ موجود في إتش شئنا أم أبينا تمام
يبقى هنا هذا معناه these elements
are
not all disjoint
مش كل هدول بدهم يكونوا كل واحد مختلف عن الثاني
لازم ألاجي بعضهم الأس تبعه مختلف عن الثاني لكن
موجود في H مش
كلهم يبقى let the A I بده يساوي A J مثلا افترض أن
the I بيساوي the J و the I هذي أكبر من J هي الكبيرة
فيهم طيب هذا يعني لو ضربت الطرفين من جهة اليمين في
معكوس هذه يبقاش بدرسي يعني AI AJ inverse بدرساوي
AJ AJ inverse
هذا معناه a i في a سالب j يساوي the element في
معكوسه كم يعطينا the identity يبقى هذا يعطينا a i
minus j يساوي the identity element طب السؤال هو لما
أقول i ناقص j معقول يكون الفرق بينهم واحد يا شباب
لو كان الفرق بينهم واحد لأصبح
A أس واحد يساوي the identity بيطلع من أن the A هو بال
E لكن أنا شرقإن the A لا يمكن أن يكون the E إذا لا
يمكن أن يكون الفرق فيما بينهما واحد صحيح يبقى
الفرق فيما بينهم ماله أكبر من واحد يبقى the I نقص
the J أكبر من واحد على الأقل بيكون اتنين تلاتة
أربعة الاخرين بما أن the I ناقص D أكبر من 1 يبقى
هذا بطل بيصير the identity بطل بلاش هذا معناه أن
the A I minus G يساوي the A في the A I minus G
minus the 1 خله A أس واحد في the A أس I ناقص D
ناقص واحد تمام؟ مظبوط هيك؟ طلعت منهم ايه فقط ولا
غير هذا الكلام كله بيساوي جداش the identity element،
مظبوط؟ طيب لو روحت ضربت في the A inverse ضربت
المعادلة هذه في the A inverse من جهة الشمال يبقى
ايش بيصير عندنا A I ناقص D ناقص 1 يساوي the A
inverse السؤال هو هذا ههه هو عنصر من هذول ولا لا
هو واحد منهم صحيح ولا لأ؟ لأن the H finite يبقى هذا
the عنصر لازم يكون واحد من هذول هذا معناه أن the A I
minus D minus 1 belongs to H مدان belongs to H
يبقى the A inverse موجود في H يبقى تحقق the
condition الثاني ولا لأ؟ يبقى باجي بقوله by the
above theorem هذي صارت the sub group يبقى هنا باجي
بقوله by the above theorem the
H is a sub group من G
عشان اللي كان سارح ياخد باله كويس اللي فاتته حاجة
يفهمها خلي بالك كده أنا لم أجد non-empty مثل
النظريةتين اللي فاتوا زيادة على ذلك the subset اللي
أخدت عدد عناصرها finite عددا محدودا لو أخدت two
elements موجودة في اتش ولا جيت حاصل ضربهما موجودة
في اتش تحت هذا the condition أو تحت the condition
finite اللي اتش بتبقى the subgroup من G هذا اللي
عايزين نثبته يبقى أنا عندي معطيات اتنين H non-empty
زي اللي جاب الهدا لكن the non-empty هذا finite
وحاصل ضرب أي عنصر من H بلا G في H هذا the condition
الثاني تحت the two condition بثبت أن هذه the سابع
جروس قلت له ماشي افترض أن the A و the B موجودة في the
H و the A و the B موجودة في the H هذه هي المعطيات
خد element موجود في H
يبقى إذا كان بال identity يبقى the identity هو
معكوس لنفسه إذا the A inverse هو the A وبالتالي the A
inverse هي the A inverse موجودة في H يبقى طبق the
condition الثاني التابع لنظرية H الصحيحة هذا لو كان
بكل بساطة أن A تساوي طب لو كانت the A لا تساوي the
E، ايش بدك تعمل؟ بقول أه طبقا لمن the condition
لأنه حاصل ضرب لأي two elements في H هو موجود في H،
بدي أجي لل A وأضربه في نفسه يعني بدي أضربه في
نفسه، بيطلع A تربيع موجود في H أضربه كمان في A،
بيطلع A تكعيب موجود في H أضرب وأضرب وهكذا هذا
يعني أن the A و the A³ و the A³ كلهم هدول جد ما تحط
أسس لكن أنا مادام the H finite افترض فيها خمسين
عنصر مثل ما قلت لكن أنا بضلماجي خمسين وواحد و
خمسين وسبعين وثمانين إلى آخرين إذاً هيطلع كله
موجود في H وبالتالي بعض العناصر لازم تتساوى عنصر من
بعد الخمسين يساوي عنصر من قبل الخمسين
بيكونوا مش كلهم disjoint are not all of them مش
كلهم disjoint لذلك هيطلع عندي كتير فيهم اتنين بسوا
بعض اختي اتنين عشوائيا اختي the ai بده يساوي the aj
واختي the i اكبر من مين اكبر من جي اكبر واحد باتنين
وبتلات الله أعلم اللي هم انه اكبر منه دائما وابدا
الآن إذا جيت للمعادلة دربتها في معكوس the aj الاولى
صغير يبقى دربتها في معكوس the aj وهنا دربتها هذا
بيعطينا the identity element هذا بيعطينا اللي هو ai
في a ناقص g اللي هو ai ناقص g بده يساوي من the
identity element وال i ناقص g اكبر من الواحد اكبر
من الواحد ليش؟ لأنه لو طلع هذا بواحد معناته ايه؟
إذا واحد يساوي the identity يبقى ايه هو the
identity؟ لكن احنا شرطنا أنه ايه؟ مش ممكن، إذا هذا
الكلام دائما وابدا اكبر من واحد ممكن يكون اتنين
تلاتة اربعة الاخري ما علينا اكبر من الواحد إذا the
a ij طبعا هتقدر تقولي هذا اكبر من واحد مشان ماتوش
تقولي because السبب أن the a بسويش the a