بسم الله الرحمن الرحيم عزيزي الله والسلام عليكم
ورحمة الله وبركاته في هذا الفيديو إن شاء الله
سنشرح الـ section المهم، section 4 أربعة سندرس فيه
موضوعين: التقعر concavity ونقاط الانعطاف أو الانقلاب
كذلك سندرس كيف نرسم دالة، الخطوات لرسم دالة طبعًا
هذا يكون الـ section المهم، أول حاجة هنبدأ بالـ Concavity
التقعر Uncurved Sketching ورسم المنحنيات، لو أخذنا
رسمة الـ function ده اللي هو Y تساوي X تكعيب، نلاحظ في الفترة
من سالب الـ infinity إلى zero التقعر فيها يكون لأسفل
الـ concave ده في الجزء من صفر لما للـ infinity يكون لأعلى
نسميه concave up
يكون الدالة عندها concave down و concave up في أي
فترات إلى نقطة صفر، هذه تفصل بين منطقتين قبل
concave down وقبل concave up، وهذا نسميها نقاط
الانعطاف أو الانقلاب، نسميها inflection points
concavity تقعر definition، هنأخذ هذا التعريف، بيكون
لأسفل أو لأعلى، The graph of a differentiable
function Y equal F of X is concave up يعني من حين
إلى دالة Y تساوي F of X بيكون في أن تقع فيه لأعلى، On
an open interval I if F' is increasing on I يعني
لو كانت المشتقة تزايدية على فترة I بيكون في
التقعر لأعلى، والمقابل لو كانت المشتقة decreasing
تناقصية على الفترة I بيكون في، نديكم concave down لأن
احنا عشان نعرف الفترة اللي بتكون فيها إداة لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
ل
The second derivative test for concavity اختبار
المشتقة الثانية للتقاعر، Let y equal f of x be twice
differentiable on an interval I يعني لو كانت
الدالة f of x قابلة للاشتقاق مرتين على فترة I if f
double prime أكبر من 0
الـ graph of F over I is concave up إذا أنا بقدر
أعرف إنه فترة بتكون فتقع لأعلى أو لأسفل على طريق
المشتقة الثانية، إذا كانت المشتقة الثانية أكبر من صفر بيكون
فيه concave up، إذا كانت المشتقة الثانية أقل من صفر
بيكون عندنا concave down، دعونا نشوف عن طريق أمثلة
لو أخذنا Y تساوي X تكعيب، لابد أن فيه وات و سوء XDK فإحنا عارفين
من قبل في الرسم السابق إنه في فترة من سالب ما لا نهاية لما لـ Zero
إلى Zero فيه concave down، فترة من صفر لما لما لا نهاية إنه
concave up، بدون ما نشوف الرسم عن طريق المشتقة
الثانية، المشتقة الثانية لـ Y تساوي X تكعيب هي عبارة
عن ستة X، هي ستة X، فلاحظوا أن المشتقة الثانية لـ Y
برامي بساوية ستة X، هي أقل من صفر إذا كانت X أقل من
صفر وبتكون أكبر من صفر إذا كانت X أكبر من صفر
فبالتالي المشتقة الثانية هتكون أقل من صفر في فترة
من سالب الما لا نهاية لـ Zero، وأكبر من صفر في فترة من صفر
لما لا نهاية، هتكون في الفترة هذه من سالب Infinity إلى
Zero تقع لأسفل، وفي الفترة من صفر لما لا نهاية تقع
لأعلى، لو أخذنا Y تساوي X تربيع، المشتقة الثانية دائمًا
تقعر لأعلى، 2، لو أخذنا Y تساوي ثلاثة زي الـSin X
على فترة من 0 إلى 2π، المشتقة الثانية اللي هي تطلع
معناها Y تساوي سالب Sin X، هاي المشتقة الأولى زي الـ X
المشتقة الثانية سالب Sin X، واحنا عارفين أن هذا في
الفترة من 0 إلى 2π يعني بتدينا أربع الربع من 0لـ
π الربع الأول والثاني بيكون في الـ sine موجب
فالـ sine موجب بيكون في الربع الأول والثاني
نضربه في سالب بيصير سالب، إذا هذه المستقبل هتكون
أقل من صفر في الربعين في الأول والثاني يعني في
الفترة من صفر لـ π، فهتكون أقل من صفر، وفي التالي
هتكون عندكم curve down في الفترة من الـ π لإثنين
باي اللي هو الربع الثالث والرابع، الـ sine عندنا سالب
فنضربه في سالب بيصير المشتقة الثانية أكبر بالنسبة لك
ويكون عندكم curve up، Y بالفعل احنا لو شوفنا الرسمة
بتاعة الدالة هي Y تساوي ثلاثة زي الـSin X ومن صفر
لـ π تقع لأسفل، ومن π لإثنين π تقع لأعلى
بيجي لو التعريف مهم جدًا هو points of inflection
points of inflection نقطة اللي هو الانعطاف أو
الانقلاب، التعريف: a point where the graph of a
function has a tangent line هي نقطة المماس بيكون
له tangent line and where the concavity change و
التقعر بيغير، يعني يكون جابلها وبعدها بتغير من
الأعلى لأسفل أو من أسفل لأعلى بيسميها is a point
of inflection كهذا في المثال السابق تلاحظوا عند
النقطة صفر، التقعر بيغير من لأسفل أو بعد
لأعلى، وتلاحظوا أنه فيه tangent line قائم ومماس
بالرسم بالخط الأحمر، نسميها point of inflection at
a point of inflection C وF of C يعني لو كانت
النقطة C هي point of inflection المشتقة الثانية حجم
الـ مشتقة الثانية إما صفر أو غير معرفة عند أي نقطة انعطاف
المشتقة الثانية إما تكون صفر أو غير معرفة، غير موجودة
بناخد مثال Y تساوي X أس 5 على 3، هذا لو أخذنا مشتقة
الأولى، تقريباً المشتقة الأولى عند الصفر تساوي صفر
فبالتالي ميل المماس عند الصفر بيساوي صفر، فالمماس
هيكون ميله صفر هو horizontal tangent
المشتقة الثانية لو حسبناها، مرة المشتقة الأولى هذه
بطلعناها 10 على 9 في X أس سالب 1/3، لنشوف الأنواع
التقعر، تلاحظوا X أس سالب 1/3 يعني واحد على X أس
1/3، هذا بتكون موجب إذا كان X أكبر من صفر، وهذا موجب
إذا كان X أكبر من صفر، ستكون أقل من صفر إذا كان X
أقل من صفر، فبالتالي المشتقة الثانية هتكون أقل من
صفر لما يكون X أقل من صفر، وهيكون تقعر في الفترة
من سالب infinity إلى Zero، تكون المشتقة الثانية أكبر من
صفر لما تكون X أكبر من صفر، فتكون عندنا في الفترة
من صفر لما لما لا نهاية التقعر لأعلى، فبالتالي النقطة صفر
هتفصل بين المنطقتين التقعر لأسفل التقعر لأعلى فهي
inflection point، وهذه دراسة توضيحية، ده Y تساوي X من
خمسة على 3، دلوقتي اللحظة هي الصفر في جبل التقعر لأسفل
في بعض التقعر لأعلى، والمماس عندنا لو وصلناه
horizontal لأنه المشتقة الأولى صفر، فبالتالي هتكون
نقطة الانعطاف، The
curve Y تساوي X أربعة has no inflection point يعني
أنا أخذت Y تساوي X أربعة مافيش inflection point لأن
المشتقة الثانية زي ما تشتريه 12 X تربيع، هذا دائمًا
موجبة، إذا دائمًا تقعر لأعلى، إذا مافيش تغيير في
التقعر، فرغم أنه عند النقطة صفر المشتقة الأولى
صفر، لكن لاحظوا أن هنا عند التقعر بتغيره عند نقطة
الانعطاف، إذا كانت المشتقة موجودة لازم تساوي صفر وأنا
كان عند نقطة الانعطاف المشتقة الثانية عندها لما
نحسبها تطلع غير معرفة، فالمشتقة الثانية عند الصفر
غير معرفة، رغم ذلك أن الصفر كانت نقطة انعطاف في
المثال هذا، عند الصفر مافيش نقطة انعطاف لكن لو
حسبنا المشتقة الثانية عند الصفر بطلع يساوي صفر زي
ما قلنا نقطة الانعطاف إذا كانت المشتقة الثانية
عندها بيقول إما صفر أو غير معرفة، هذه ليست نقطة
الانعطاف، فالمشتقة الثانية عندها صفر لكن في المثال
السابق نقطة الانعطاف والمشتقة الثانية عندها غير
معرفة، في مثال Y تساوي X ثالث Has a point of
inflection at the origin because the second
derivative is positive for x less than zero and
negative for x greater than zero
فبالتالي المشتقة الثانية عندنا بتتغير إشارتها قبل
السفر وبعد السفر قبل السفر تكون أكبر من السفر و
بعد السفر أكبر من السفر تقع على الأعلى وبعد السفر
تقع على الأسفل ولاحظوا أن المشتقة الثانية عند
السفر هي المعرفة رغم ذلك عند السفر في نقطة أنها
طائفة
بناخد اختبار مهم الـ second derivative test for
local extreme احنا أخذنا قبل ذلك في الـ section
السابق أنه كيف نجيب الـ local maximum أو minimum عن
طريق المشتقة الأولى فهنا في اختبار في حالة المشتقة
الثانية لو افترضنا أن ده لقبل اشتقاق مرتين وكل
المشتقات الثانية متصلة عند نقطة C هو قال فيه عند
نقطة C وهذه كانت نقطة C نقطة حرجة critical point
بحيث أن المشتقة الأولى عندها تساوي Zero المشتقة
الأولى تساوي Zero فإذا كانت المشتقة الأولى تساوي
Zero حسب المشتقة الثانية وإذا كانت المشتقة
الثانية عندها أقل من Zero فبالتالي سيكون عندنا
نقطة C Local Maximum إذا ننتبه المشتقة الأولى
تساوي Zero والمشتقة الثانية أقل من Zero فسيكون
لدينا Local Maximum إذا كانت المشتقة الأولى تساوي
Zero لكن إذا كانت المشتقة الثانية أكبر من Zero
فبده يكون Local Minimum إذا كانت المشتقة الأولى
تساوي Zero والمشتقة الثانية تساوي Zero فالاختبار هذا
يفشل فهذا الاختبار يفشل فإحنا إذا كنا عن طريق
المشتقة الثانية نحسب إذا كانت المشتقة الثانية أقل
من Zero بنده يكون Local Maximum وإذا كانت المشتقة
الأكبر من Zero بنده يكون Local Minimum طبعا بفرض أن
المشتقة الأولى تساوي Zero هذه التوضيح هذه الرسم
الثاني أنا عندي F prime تساوي Zero المشتقة الأولى
تساوي Zero لكن المشتقة الثانية كانت المشتقة تقع على
الأعلى فهذا يصبح لديه Local Minimum نبدأ
في أربع أمثلة للرسم مهمة كيف نرسم الخطوات كاملة
للرسم أو أي حاجة بدي في رسمة بسيطة بلونوميال اف اكس
لدي اكس أربعة نقص أربعة اكس تكعيب زائد عشرة نرسمها
طالب أن نحدد احنا أول شيء عندنا الـ extreme الـ
values اللي هو الـ maximum والـ minimum نوجد فترة
الزيادة والنقصان نوجد اللي هو انتقال الأعلى وال
الأسفل والنقاط المهمة زي الـ inflection point
النقاط الهامة طبعا مطلوب مننا بعدين بنعمل تخطيط
عام للرسمة وفيه نقاط مهمة زي تقاطعها مع المحاور
إذا فيه نوع من أنواع الـ Symmetry حوالين محور
الصادات أو حوالين نقطة الأصل وكل هذا بنلخصها في
جدول أو بنرسم اللي هو الدالة هذه خطوات اللي
هندرسها نبدأ بالمثال اللي هو الـ polynomial عند
أول حاجة لازم نحدد الـ domain هذا الـ domain المعروف في
هذا الكل R عند الفترة نسأل بالـ 2020 عشان نعرف
النقاط اللي بناخدها إذا كانت تقع في الـ domain أو
لا إذا كانت النقاط اللي بنحسبها عندها مستقل أو
مستقل أو معرفة خارج الـ domain ما بناخدها بناخد
فقط اللي تقع في الـ domain هنا عند Domain الكل R
نحسب المشتقة الأولى هذه المشتقة الأولى أربعة X كيب
ناقص اثنا عشر X تربيع طبعا المشتقة الأولى عندها واضح
أنها Polynomial فهي برضه على كل مقابل الشخصية على
كل الفترة المشتقة الأولى عشان نجيب الـ Critical
Points بالأول نقاط الحرجة ممكن يكون عندها Local
Maximum أو Minimum عشان نجيبها لازم نسويها بالصفر
في الأول عشان نسويها بالصفر ناخد أربعة X تربيع في
X نقص ثلاثة واضح أنها بيساوي الصفر عند الـ X بيساوي
صفر و X بيساوي ثلاثة ثم X بيساوي صفر و X بيساوي
ثلاثة نقاط حرجة طبعا كل المشتقة الأولى موجودة ده
مافيش نقاط بيكونوا عندها غير معرفة فالنقاط الحرجة
فقط عند الصفر والثلاثة الصفر والثلاثة هيقسموا الـ
domain اللي هو الفترة من سالب إنفينتي لإنفينتي لثلاث
أجزاء من سالب إنفينتي لزيرو ومن زيرو لثلاثة ومن
ثلاثة لما لا نهاية نبحث إشارة الـ F prime في الفترة
من الصفر اللي من إنفينتي لزيرو يعني أقل من صفر بتكون
سلبية
يعني عندها يكون أقل من صفر المشتقة الأولى لأنه لو
أخذنا في الفترة الأقل من 0 حدين أنا سالب واحدة دي
موجبة في سالب بديني سالب فبتكون decreasing
الفترة من 0 لثلاثة برضه decreasing يعني لو أخذنا
مثلا عوضنا بالواحد أنا بديني سالب في موجبة بديني سالب
بعد الثلاثة بيكون موجبة في موجبة بديني موجبة إذا ده
اللي هتكون تناقصية في الفترة من سالب من إنفينتي
لصفر في الفترة من صفر لثلاثة برضه تناقصية في
الفترة من ثلاثة لما لا نهاية تزايدية تلاقي عند الصفر
التناقصي وبعدين تزايد فالصفر ليس عندها local
extreme لا صغرى ولا كبرى لكن عند الثلاثة تناقصي وبعدين
تزايد فهيكون عندها بشكل هادر يعني فيه local
minimum ممكن عن طريق المشتقات الثانية إذا ممكن تأكد
إذا أنا عند هنا تلاقي أنه ليس هناك extreme عند
الصفر لأن عند الثلاثة فيه local minimum باستخدام
نتيجة في الجدول السابق أن ده اللي عنده تناقصية في
الفترة من سالب منها إلى Zero في الفترة من صفر
لثلاثة وبتكون تزايدية في الفترة من ثلاثة لما
للا نهاية نجيب المشتقة الثانية هي 12x-4x-12x على
المشترك وبوضح أنها بتساوي صفر عند صفر وعند
اثنين فهنكسر لثلاث فترات من سالب إنفينتي لزيرو ومن
زيرو للاثنين ومن اثنين لما للنهاية بفحص الإشارة في
الفترة الأولى موجب فتقاعر الأعلى فتقاعر الأسفل
فتقاعر الأسفل فتقاعر الأعلى فتقاعر الأسفل فتقاعر
الأسفل فتقاعر الأعلى فتقاعر
الأسفل فتقاعر الأسفل فتقاعر الأسفل فتقاعر الأسفل
فتقاعر الأسفل فتقاعر الأسفل فتقاعر الأسفل فتقاعر
الأسفل فتقاعر الأسفل فتقاعر الأسفل فتقاعر الأسفل
الأسفل فتقاعر الأسفل فتفالتقارب لاحظوا أنه أنا
عندي نقطة صفر التقارب بيختلف قبل أو بعدها إذا أنا
عندي صفر فيه inflection point وأنا عندي اثنين فيه
inflection point إذا أنا فيه عندي نقطتين inflection
point لا تنسوا أن الصفر والاثنين يقع في الـ domain
فبالتالي هما يكونوا inflection points فهي النتائج
اللي أخذناها أنه في عندي concave up في الفترة من سالب
الـ penalty إلى zero واثنين لما لا نهاية يعني فإنا
positive positive فالفترة من صفر للاثنين كله هو
concave down
لأخص الجدولين لدي ثلاث نقاط مهمة صارت الصفر
والاثنين والثلاثة بعد ذلك يقسمون الـ domain لأربع
فترات الأقل من الصفر من صفر للاثنين ومن اثنين
إلى ثلاثة ومن ثلاثة إلى ما لا نهاية ناخد الملخص في
الأولى لدي decreasing وتقعر الأعلى في الفترة
الثانية decreasing تقعر الأسفل في الثالثة
decreasing تقعر الأعلى الفترة الأخيرة هتكون ده
التزايدية وكما كاف ده وطبعا هذا الجدول ملخص للجدول
اللي أخذناه من المشتقة الثانية وجدول هذا
اللي أخذناه من المشتقة الأولى فنحطهم مع بعض
ونحطهم النقاط المهمة ناخذ كـ sketch في الأقل من صفر
ها يوم اللي يرسم الحانة بيكون تناقصي والأعلى التقعر
هيبقى شكله تناقصي في تقعر الأعلى فالتالي تناقصي
وتقعر الأسفل
تناقص تقعر لأعلى وتناقص تقعر لأعلى وتزايدية
تناقص تقعر لأعلى وتزايدية بدا علينا أن نعمل آخر
خطوة واضح أن السؤال عندنا لأنهم قالوا لهم مافي أي
أنواع أسيمتوت لا فيه Oblique ولا فيه Horizontal
ولا فيه Vertical لأننا لم نبحث عن أسيمتوت
نأخذ النقاط المهمة اللي طلعناها زي الـ 0 و 2 و 3
أو نقوم بمقارنتها من محور الصادات أو نقوم بمقارنتها من
محور الـ X بـ 0 أو من محور الـ Y بـ 0 ونقوم
بمقارنتها من محور الـ Y بـ 0 ونقوم بمقارنتها من محور
الـ Y بـ 0 ونقوم بمقارنتها من محور الـ Y بـ 0 و
نقوم بمقارنتها من محور الـ Y بـ 0 ونقوم بمقارنتها من
محور الـ Y بـ 0 ونقوم بمقارنتها من محور الـ Y بـ 0
ونقوم بمقارنتها من محور الـ Y بـ 0 ونقوم بمقارنتها
من محور الـ Y بـ 0والأساسية في رسم أي منحنى دي
اللي لأ هناخد أمثلة تانية هذا اللي هو الـ procedure
طريقة العمل أول حاجة لازم نجيب الـ domain وأي
أنواع من الـ symmetry إذا كان عندك محورة محورة
سينات أو صدار نجيب المشتقة الأولى والثانية عشان
المشتقة الأولى بنطلع الـ critical points والمشتقة
الثانية بنطلع اللي هو الـ reflection points إذا كانت
موجودة تتقع الأعلى والأسفل وطبعا بنطلع منهم
التنتيل مع بعضاللي هو الـ Local Extremum أو الـ
Maximum أو الـ Minimum إذا هو احنا نجيب الـ
Critical Points وإن كنت زايد وإن كنت نعقص المنحنى
نجد الـ Point of Reflection عن طريق المشتقة
الثانيةوبعدين نجيب الـ asymptotes وآخر حاجة بنرسم
بناخد النقاط المهمة طلعناها فبعدين نتأكد أنها تقع
في الـ domain وبناخد بعض النقاط المهمة تقارن محاور
وغيره وكلها بنحطها في جدول أو بنحطها على المحاور
ونوصل بيها بين هذه النقاط هناخد أمثلة تلاتة sketch
the graph of f of x زي 1 لكل تربيع على a 1 زي x
تربيعواضح أنه هددهم أنها كل R مثلًا بـ Infinity
إلى Infinity نجلب المشتقة الأولى والثانية المشتقة
الأولى هي بيجيبها عرفية القوانين وطبعًا المقام
ومقام مشتقة الـ bus ناقص الـ bus في مشتقة المقام
وبعدها تبسيط هيك بالصير لازم نبسطها والمشتقة
الثانية بنفس الأسلوب وبسطناها طبعًا أنت مطلوب منكم
تحاول تحسبها لحالك وتبسطها بالصورة هذه فلنبدأ
بالنسبة للمشتقة الأولى هيهو واضح أنه دائما معرفة
للمقام اللي بيساوي صفر لكن بتساوي صفر عند أسفل الـ
bus والـ bus بيساوي صفر عند الـ 1 والسالب 1 و
احنا الـ domain اللي فضل ده لكل R إذا الـ 1
والسالب 1 اللي هو النقاط خارجة وهي قسموله اللي
هو المجال لثلاث فترات من سالب 1 لسالب 1 أو من
سالب 1 لـ 1 من 1 لما نهارها المشتقة الثانية
ممكن نعود في النقاط الخارجة لكي تشوف لأن المشتقة
الأولى عند الـ 1 سالب 1 صفر فباستخدام اللي هو
اختبار مشتقة ثانية المشتقة الثانية عند سالب 1
1 أقل من صفر فهيكون عندها في local minimum وعند
الـ 1 المشتقة الثانية أقل من صفر فبكون فيه عند
الـ 1 local maximum زي اختبار مثلًا derivative
testفترة التزايد والتناقص لو فحصنا الإشارات
للمشتقة هذه المشتقة الأولى تلاحظوا المشتقة الأولى
دائمًا موجبة المقام تبعها هذا حسب الـ bus الـ bus هذا
بيساوي صفر عند الـ 1 وسالب 1 لأن كان x تربيع
أكبر من 1 سيديني بالسالب والـ x تربيع أكبر من
1 إذا كنت خارج الفترة من سالب 1 لـ 1 وفي
الفترة من سالب 1 لـ 1 بيكون موجب إذن هذا سيكون
بس فقط موجب لما يكون x في الفترة من سالب 1 لـ 1
ستكون تزايد أي 1 اللي سنشوفهاهتكون اللي هو في
فترة من سالب 1 لـ 1 الـ F prime X أكبر من صفر
فهتكون الدالة تزايدية لكن لو كانت أقل من سالب 1
فهتكون المشتقة الأولى أقل من صفر فهتكون تناقصية
الدالة ولو كانت اللي هو عند الـ X في فترة من 1
لما هي النهاية هتكون المشتقة الأولى أقل من صفر
فهتكون الدالة تناقصية فتلاحظوا أن عند من هنا الـ F
of X هتكون في local minimum عند السالب 1 قيمتها
تساوي بصورة سالب 1 لها local maximum عند
الـ 1 وlimited sort الـ 1 أفر الـ 1 بتساوي 2
طبعا بيجيبوا هذا بالتعويض في الدالة الأصلية يعني
المعارض اللي هو على الـ X بـ 1 وبسالب 1 الـ
inflection points احنا عن طريق المشتقة الثانية نرجع
لمشتقة ثانية المشتقة الثانيةواضح أنها مُعرّفة لأن
المقام بيساوي السفر عنده بمعرّفها لكن تساوي السفر
عند ثلاث نقاط عند السفر لما الـ X تساوي سفر ولما الـ
X تربيع تساوي 3 يعني لما الـ X تساوي جذر 3 أو
سالب جذر 3 إذا أنا عندي ثلاث نقاط المشتقة
الثانية عندها تساوي السفر اللي هي السفر وسالب جذر
3 وجذر 3 هدولة بيسموها دمية التلاتةأربع
فترات من سالب الـfinity لسالب جذر 3 ولو فحصنا
إشارة المستقبل الثاني عن نجيها negative يعني أقل
من 0 فهيكون التقاع في الحالة هذه الأسفلالنقطة
الفترة التالية من سالب جذر 3 للسفر هتلاقي
positive إشارة هيكون التقاع الأعلى في الفترة من
السفر لـ 3 هيكون negative هيكون التقاع الأسفل في
الفترة من الجذر 3 لإنها هيكون positive هيكون
التقاع الأعلى لو احنا شوفنا هلفة بتالي هيكون عند
inflection points كل اللي نتلاحظ كل نقطة اللي هي
جذر 3 أو سالب جذر 3 أو سفر التقاع الرجب لو
بعضها باختلف وإن عرفنا الفترات ملخصة كلها هنا
وانتقاعه لأعلى وانتقاعه لأسفل بالنسبة لأسامتوس
اتلاحظوا ان أنا عندي دالة كسرية المقام ملاقوس هو
السفر فماعام أكبر
قوة لأن أنا أكبر قوة لأن أنا أكبر قوة لأن أنا أكبر
قوةيكون عندي بس الـ horizontal asymptotes ما عرفش oblique
لأن درجة الـ bus تساوي درجة المقام
النقاط المهمة هي 4 نقاط مهمة سالب جذر 3 والصفر
وجذر 3 والـ 1 والسالب 1 هذا خمس نقاط ناخد
قيمهم أي سالب جذر 3 صورته وسالب 1 نحسبها
صورته هي الصفر والـ 1 حسبنا اللي هو الـ 2 وجذر
3 وناخد نقاط بالزيادة ونرسم plus وهي في تقع
الأسفل من الأعلىبناخد لحظة عند inflection points
عند صفر جذر 3 وفي inflection point عند جذر
3 وعند الصفر تقول حسب معلومات السابقة هذه
أسئلة قوية المفروض نعملها خطوة خطوة كل واحد لحاله
على الورق عشان نتأكد من حساباته كم مرة مثال تالت
لو قفز في x تساوي x تربيع زي 4 على 2xبالنسبة
لها ده واحد domain هتعرف ان كل R ماعدى الصفر إذا
الصفر ليس في الـ domain طبعا هكتب لك إنه لو في
عندها odd function عوضنا بالـX بـ-X ودينا سالب f of X إذا الـOdd مدام الـOdd إذا هي متماسكة حول نقطة
الأصل بدنا نشوف الجيب المشتقة الأولى لتبسيط ممكن
نقسم الـ bus المقام الرزقانة بالشغل هذه للاشتراك
المشتقة الأولى هي تطلعx²-4 على 2x² واضح أنها
المعرفة عند الصفر لكن الصفر أقع في الدمية لكن هي
تساوي الصفر عند ما x² تساوي 4 يعني عند الـ 2 وسالب 2
إذا الـ 2 وسالب 2 هي نقاط حرجة مشتقة ثانية 4 على x²
إذا الـ 2 وسالب 2 هي نقاط حرجة المشتقة الثانية 4 على x²
فإذا الآن نقطتي الحرجين هو 2 وسالب 2 ناخد المشتقة
الثانية عند سالب 2 بدين أقل من 0 فبتكون عند السالب 2
في local maximum عند 2 المشتقة الثانية أكبر من 0
بيكون عند local minimumوهذه القيامة هنا الـ F سالب
2 بديني سالب 2 وF الـ 2 بديني سالب 2
طبعا الصفر خارج الحسابات لأنه خارج الـ domain في
الدقة الفاطرة من سالب infinity لسالب 2 بيكون
المشتقة الأولى موجبة يعني لو رجعنا المشتقة الأولى
هي المشتقة الأولى تلعب تزيد مقام دائمًا موجب فحسب
البسط البسط تلعب تزيد موجب إذا كان X تربيع أكبر من
4 يعني X تربيع أكبر من 2 أو أقل من سالب
بتكون X أقل من سالب اتنين موجب و X أكبر من
اتنين موجب زي المشتقة الأولى موجبة على الفترة من
سالب إنفينتي لسالب اتنين وعلى الفترة من اتنين لما
ننهيها فبالتالي هتكون تزايدة في الفترتين هذول زي
ما موضح معناه هان increasing على الفترة من سالب
إنفينتي لسالب اتنين هتكون أكبر من صفر المشتقة هتكون
تزايدية وكمان ستكون تزايدية على فترة من اتنين لما
ننهيها ففي فترة من سالب اتنين لأتنين مباشرة لأنه من
سالب اتنين لاتنين لو أخدناها مرة واحدة سنأخذ الصفر
بينها ونقول الصفر ليس في الـ domain فجسمنا من سالب
اتنين لصفر ومن صفر لاتنين في الحالة التالية ستكون
الدالة تناقصية لأن المشتقة الأولى عندك ستكون في
الفترة من سالب اتنين لصفر وفي الفترة من صفر لاتنين
هي أقل من صفر سالب على موجبة بديني سالب فستكون
المشتقة الأولى سالبة
هذه هي قيم الأزمة والسوق اللي طلعناها بالنسبة
للـ inflation points لأن المشتقة الثانية ليها غير
معرفة فقط عند الصفر فبتسوي صفر أمدر والصفر أسافر
الـ domain بالنسبة لإشارتها عشان أعرف التقعر تلاحظوا
بالنسبة للتقاعر الـ X تكعيب بيكون موجبة إذا كان X
أكبر من 0 فهذا كله سيكون موجب إذا كان X أكبر من 0
لأنه موجب على موجب فالمشتقة تكون أكبر من صفر في
الفترة من صفر لما لنهاية ستكون تقاعره لأعلى ففي
الفترة من سالب إنفينتي لصفر ستكون تقاعره لأسفل فسيكون
المنحنى ده لعينة أو كاب ده على فترة من سالب إنفينتي
لصفر و سنكون في أربعة بطارية من الصفر لما نهيها
بالنسبة للـ Samples لو ألاحظوا الدالة أنا عند دالة
كسرية rational function أول حاجة وده rational
function من طلعة درجات البسط أعلى من درجة
المقام بواحد إذا في Oblique وبيجيب القسمة الطويلة ولو
البسط لاحظوا بس هو الصفر عند الصفر إذا هنا فيها
أنت ممكن تكون فيها تجعل عند الصفر أسفار المقام واضح
هنا بالقسمة هيقسمنا في أول خطوة يعني Y يساوي X على 2
أبليغ الـ Samples فعندنا بالنسبة لـ Samples Y يساوي
X على 2 هيكون هنا أبليغ الـ Samples بالنسبة للـ
Vertical لما ناخد النهائي من X تقول الصفر من
اليمين ومن اليسار نحسبها من الصفر بدون ما لنهائي
ومن اليسار سالب من نهائي إذا أنا في عند X يساوي
Zero اللي هو الـ Y Axis X يساوي Zero اللي هو الـ Y
Axis اللي فيه عند Vertical على الـ Samples عندي هنا
نوعية من الاسمتشر في البريكال اسمتشر عندي step x
تساوي الصفر الـ Y-axis وفي عندي Oblique اسمتشر
يسمى Y تساوي X على 2 بناخد المحاور الـ as centers و
النقاط المهمة تنسوش أن النقاط المهمة هي السالب 2 و
2 عند الـ local minimum و local maximum عند السالب 2
وناخد النقاط المهمة تنسوش أنها ليست متقاطعة مع
المحاور تنسوش
أنها ليست متقاطعة مع المحور هذا الوضع المهم هو واضحة
أن هناك تقعر أعلى في فترة من صفر في اللي ما ننهي
وفي تقعر أسفل في فترة من صفر منها صفر وهذا الوضع
يسمى Y يساوي X ننتقل لأخر مثال، سنختار سؤال من
سائد الكتاب أخذته عشان ناخد نقطة كيف الـ GUSP بيطلع
معناه في الرسمة ناخد السؤال 35 Y يساوي X أس 2 في
5 على 2 ناقص X افوكس يساوي X أس 2 في 5 على 2 ناقص
X نضربها في صوره دي عشان الاشتقاق أسهل أول
حالة دميلها كل R واضح المشتقة الأولى هي كلها برضه
يعرفون بعد التبسيطات أخذناها من المشترك بالسيرب
الصورة دي 5 على 3 في 1 ناقص X على X أس النقطة
المشتقة الأولى تساوي الصفر عند الواحد وغير
معرفة عند الصفر والـ domain كل R في نقطة نقطة نقطة
نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة
نقطة نقطة نقطة
هذه الإشارة تعتبر F prime في الفترة الأولى
negative يعني ستكون الدالة تناقصية ثم في الفترة
نصف الواحد positive إشارة F prime ستكون الدالة
تزايدية اللي هو في الفترة الأخيرة من واحد لما
نهيها ستكون إشارة F prime negative ستكون الدالة
تناقصية طبعًا يجب أن نفحصه بالتعويض هنا في كل فترة
بنقطة أو من تصرف الدالة فهذه المعلومات اللي
ذكرناها بالنسبة للصفر يوجد تناقصية ثم تزايدية فهيكون
عند الصفر local minimum وعند الواحد تناقصية ثم
تزايدية ثم تزايدية ثم تزايدية ثم تزايدية ثم
تزايدية ثم تزايدية نجيب المشتقة الثانية وهي المشتقة
الثانية ونضغط بالصورة هذه تظهر واضح أن المشتقة
الثانية تساوي 0 عندما X تساوي سالب نص المشتقة
الثانية ليست موجودة عند الصفر نفحص إشارة المشتقة
الثانية هي بالصورة هذه ترجع إلى المعادلات عوضه
للنقاط سيكون positive فسيكون concave up في الفترة
هذه من سالب نص لسالب نص في الفترة من سالب نص لصفر
سيكون أقل من صفر فسيكون concave down أو بعد الصفر
سيكون أقل من صفر concave down هو واضح أن هنا عند
السالب نص في عدة inflection point تقعر مختلف من
أعلى لأسفل لكن الصفر جبته وبعده تقعر نفسه تقعر
تقعر الأسفل وتقعر الأسفل فهذه المعلومة اللي
قلناها هو في inflection point X يساوي سالب نص عندي
الصفر اللي فاش يبقى عندنا نقطة نطاف اتفقعوا حكوا
اللي أسفل وبعدين اللي أسفل لكلمة الانجليزية نعمل
رسمة اقتطفية راسوا كيف عند الصفر بتطلع الشكل هذا
في الحالة اللي بنتسميه الـ gasp عايزين معناه gasp
في الدالة الشكل العام هيه طبعًا هذا الجدول ملخص زي
ما أخذناه من الجدولين اللي هنا الجدول هذا وجدول
اللي هنا يعني هنا عند التناقصي
تناقص مع تقعر الأعلى في التالت تناقص مع تقعر الأسفل
في التالت تناقص مع تقعر الأسفل في التالت تناقص مع
تقعر الأسفل في التالت تناقص مع تقعر الأسفل في
التالت تناقص مع تقعر الأسفل بناخد النقاط المهمة اللي
طلعت اللي هي الـ
- نص والصفر وخدنا من هذا الجدول اللي هو الواحد
كمان والصفر ما هي مكررة فبناخد ثلاث نقاط اللي هي
الـ - نص والصفر
الصفر صورته صفر وهو الواحد صورته ثلاثة على اتنين
وبناخد بعض النقاط ونشوف الشكل العام للده اللي هو
نفسه هنا تناقص تقعر على الأعلى بعدين تناقص تقعر على
الأسفل بعدين تزايد تقعر على الأسفل بعدين تناقص و
تقعر على الأسفل لو بنجيب نقاط تقاطع مع محور اللي هو
الصادات المفروض نحط الـ Y بصفر في المعادلة الأصلية
Y تساوي صفر بنحطها هنا وبنحل هذه المعادلة وتظهر
طبعًا هنا مش هتظهر معانا عدد صحيح وواضح لكن هذه
الشكل العام للمعادلة وعارفين على وين فيه واطلعش عند
الواحد في عند local maximum وعند اللي هو الصفر في
local minimum نفس المعلومات الموجودة في الرسالة
طبعًا بهذه الأمثلة أرجوكم بهذه الأمثلة أنكم تحلوها
لحالكم تحسبوا المشتقة الأولى والمشتقة الثانية وتطلعوا
نقاط الحارجة وتطلعوا فترات التزايد والتناقص فترات
فيها تقعر على أسفل ولا أعلى فترات اللي بيكون فيها
أو نقاط الانعطاف إذا كانت موجودة و where فيه local
maximum و minimum وتطلعوا إذا كان في الـ Samples
وأنواع الـ Samples طبعًا في سؤالنا هذا مثل الآخر
ما فيه أنواع ولا نوع من أنواع الـ Samples وبعدين
تحطوا نقاط بعض إياد المفتاحية بعدها في بعض النقاط
وترسموا شكل اللي هو العامل الدالي اللي عندكم في
نهاية هذا الفيديو أتمنى لكم التوفيق والسلام عليكم
ورحمة الله وبركاته