بسم الله الرحمن الرحيم هذه المحاضرة الخامسة في
مساق تحليل حقيقي 2 لطلبة كلية العلوم تخصص
رياضيات في الجامعة الإسلامية بغزة المحاضرة
اليوم هي جزئين، الجزء الأول اللي هو عبارة عن
Discussion لـ 6.1 اللي هو مناقشة لموضوع اللي هو
Derivative أو الاشتقاق. الجزء الثاني هنكمل اللي هو
الحديث عن 6.2 اللي هو الـ Mean Value Theorem أو
نظرية القيمة المتوسطة. هناخذ بعض التطبيقات لنبدأ
الآن اللي هي بالأسئلة اللي احنا طلبناها منكم
تحلوها كواجب المرة الماضية أو التي قبلها وكانت
الأسئلة هي عبارة عن السؤال الرابع والسؤال السابع
والسؤال التاسع والسؤال الثالث عشر. بالنسبة للسؤال
الثالث اللي هو عبارة عن اللي هي برهان نظرية 6.1.3 A
و B. وهذه البراهين براهين سهلة اللي كانت الـ F
Differentiable، الـ F Differentiable والـ Alpha
عبارة عن Constant بيعطينا الـ Alpha F برضه is
Differentiable. ولو كانت الـ F والـ G
Differentiable بيعطينا الـ F زائد G is
Differentiable. واحنا برهننا حالة الضرب وحالة
القسمة، وهدول حالات تعتبر سهلة مباشرة على التعريف
لذلك هنبدأ إن شاء الله في الحديث أو في حل الأسئلة
على السؤال الرابع اللي هو بقول لي عندي معطيني F
من R لـ R بي defined by F of X بساوي اللي هو X
تربيع إذا كانت X Rational وبساوي صفر إذا كانت X
Irrational. اثبت إن الـ F الـ Differential بالقدر X
بتساوي صفر أو جد اللي هي F prime of 0. لاحظ أن الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
Find this value. a proof الآن عشان نوجد
اللي هي نثبت أن F prime of 0 موجودة. خلّيني ألاحظ
مالي عند الـ function اللي هي X تربيع لما X
Rational و Zero لما X is Irrational. الآن بدنا
نتوقع أول شيء اللي هو لأنه هتلزمني جاي اللي بعدين
Find this value. بدنا نتوقع ايش قيمة اللي هو الـ
Derivative عند الصفر. لاحظ أنه اللي هو .. اللي ..
اللي لو بدنا نقول إنه الـ Derivative ممكن تكون Zero
كون إن F of X صفر. أو لو بدها تكون والـ
Derivative هنا لو قلنا رفلا 2X بدو يكون اللي هو لو
بدو يكون اللي عند الـ Zero اللي هي F prime بدو في
النهاية تروح لـ اللي هيكون برضه قريبة من إنه نقول
أو نأكد إنها صفر عشان هي كالظن الغالب إن F prime
هتكون ايش؟ صفر. هذه مجرد تفكيرات. الآن بدي أثبت لك إنه
فعلًا هي الـ Derivative بتساوي 0. كيف بدي أثبتها؟
بدي أثبت لك إنه الـ Limit لـ F of X نقص F of 0 على
X minus 0 لما X تروح لـ 0 بتساوي 0. بدي أثبت لك
هيها. الآن واضح إن X تقول إلى الصفر. X تقول إلى الصفر
هتمر بالـ Rational والـ Irrational عشان هيك صعب إن أنا
أتحدث عن اللي هو إيجاد الـ Derivative مباشرة من
الآن أو من الـ Two Branches اللي عندي. لا بقدر أخد من
اليمين ولا أخد من اليسار لإنه عندي من اليمين أو من
اليسار هيكون عندي اللي هو قابلنا اللي هي الأعداد الـ
Rational للـ Rational. فعشانك أسلم شيء إنه نستخدم
التعريف في إثبات هذا. يعني الآن بدي أثبت هذا الكلام
كيف بدي أثبته؟ بدي أثبت ما يعني بدي أصل لكل إبسلون
أكبر من 0 بدلاج دلتا أكبر من 0. بدلاجية حاجيلك دلتا
بحيث أنه لما يكون الـ Absolute Value لـ F of X ناقص
F of Zero على X minus Zero يكون ناقص Zero طبعا
Zero هذي أصغر من إبسلون. هذا متى؟ Whenever
x-0 أكبر من 0 وأصغر من مين؟ من دلتا. هذا اللي بده
أثبته أو هذا اللي بده أثبته. خلّينا نشوف إذا خلّينا
نشوف كيف بدنا نوجده عشان أثبت إن الـ Limit هذا
بساوي 0. لاحظ القيمة اللي عندي أول شيء الـ Absolute
Value of F of X ناقص F of 0 على X-0 ايش هتساوي؟
هتساوي اللي هو الـ Absolute Value of F of X عندي يا X
تربيع يمين يا صفر. خلّينها زي ما هي أول شيء. F of X
ناقص F of Zero اللي هو جداش بيساوي Zero لإنه F
of Zero بيساوي Zero لإنه Zero Rational. على إذن هذا
صفر على X ناقص صفر اللي هو X. Absolute Value هذا
القيمة الآن لاحظ بتساوي يا إما اللي هو X تربيع على
X Absolute Value في حالة X is Rational أو بتساوي
اللي هو صفر في حالة X شمالها is Irrational. لأن
قيم F of X يا X تربيع يا صفر حسب اللي هو كتبناه
حاليًا. الآن هذا بالظبط هو عبارة عن الـ Absolute
Value لل X if X is Rational Zero if X is
Irrational. الآن الصورة وضحت. خلّينا نسمي هذا اللي
هو واحد. الآن حضرت عشان أصل للنهاية اللي أنا كاتبها
هنا واشوف ايش الـ Delta اللي بتطلع عندي. الآن بتدعي
مالي For every Epsilon أكبر من صفر أنا بقول There
exists Delta هتساوي من الـ Epsilon. هتجد تشوفوا ليش
There exists Delta بساوي Epsilon Such that if X
minus 0 أكبر من صفر وأصغر من Delta Then هذا معناته
ايش؟ إن إبسل يوت فيها الـ X أكبر من صفر وأصغر من
مين؟ من دلتا. إذا اخترت دلتا ايش بتساوي وهي اللي
هتخلص من الموضوع Then اللي هو F of X نقص F of Zero
على
X minus Zero هو طبعًا نقص الصفر اللي قلنا عنها الـ
Derivative المتوقع عليا هذه بالظبط اللي فوق هذا هو
اللي فوق طلع ايش عندي؟ هذا بساوي هذا المقدار إذا
كانت X Rational و 0 إذا كانت X Irrational يعني
بمعنى آخر بساوي Absolute Value لـ X if X is
Rational و 0 if X is Irrational. In both cases اللي
هي إذا كان بساوي Absolute Value للـ X هيكون أصغر
من Delta اللي أنا اخترتها شمالها Epsilon هيكون
أصغر من Epsilon. وأيضا هذه متحققة لإن الـ Epsilon
دائما شمالها أكبر من 0. إذا اللي حصلته إنه لكل
Epsilon أكبر من 0 اللي جيت Delta لما يكون هذا أصغر
من Delta بيعطيني هذا أصغر من Epsilon. وهذا يعني
Hence Limit هذا المقدار اللي هو F of X ناقص F of 0
على X minus 0 لما X تروح للصفر بساوية اللي هو
الصفر. وهذا هو تعريف من الـ F prime عند 0 That is F
prime at 0 بساوية 0. وفي نفس الواجب طبعًا أثبتنا الـ
Existence للـ F prime عند الـ Zero. أي سؤال؟ طيب
نيجي الآن نشوف السؤال الثاني. خلينا نقول السؤال الرابع
نيجي لسؤال 7 الآن.
سؤال 7 ايش اللي بيقوله؟ سؤال 7 اللي بيقوله سؤال
7 مالي عندي
Suppose
that F من R لـ R is Differentiable at C. يعني نفترض
أنه F قابل للاشتقاق عند C. ونفترض إن F of C قيمة الـ
Function عند C بساوية 0. لأن بقول لشهدات الـ Absolute
Value لل F of X اللي هي نسميها G of X is
Differentiable at C If and only if F
prime of C بتساوي 0. إذا ناخد لك F من R لعند R و
جايلك إن F prime عند C Exist معطيك إياها أو ومعطيك
اللي هو F of C بتساوي صفر وبقول لي Prove that أنه
G of X بساوي الـ Absolute Value للـ F of X is
Differentiable at C If and only if F prime عند الـ
C ايش بتساوي؟ بتساوي صفر، مظبوط؟ طيب شوف. الآن خلينا
افترض أول شيء إن F prime عند C ايش بتساوي؟ صفر. نقول
Suppose proof. Suppose
Suppose
that F prime at C بتساوي صفر. ايش هذا بيعني؟ إن Then
Limit
F of X ناقص F of C على X minus C لما X تروح للـ C
اللي هو بيساوي صفر لأن هذا تعريف مين؟ F براين
بيساوى صفر. و F of C ايش معطيني إياه؟ بيساوي صفر لأن
بيساوى Limit F of X على X minus C لما X تروح لمين؟
للـ C. مدامة الـ Limit هذه موجودة إذا الـ Limit من
اليمين والـ Limit من اليسار أيش برضه مالها؟ موجودة
ماشي الحال. أنا الآن غرضي إن أو أثبت إن G of X بسبب
Absolute Value of F of X أيش مالها؟ Is
Differentiable at C. ماشي. الآن ايش اللي بدي أثبته
بمعنى آخر بدي أثبت لك إنه Limit الـ G of X ناقص G of C
C على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C exist بشيء إذا
أثبتوا معناته أثبتتوا إن الـ G is differentiable
at C أو بمعنى آخر بالدثبت limit للـ absolute value
للـ F of X ناقص الـ g of x ناقص الـ absolute value of f
of c على الـ X ناقص C لما الـ X بتروح للـ C exist بدي أشوف
هدا لسه exist ولا لأ يعني بدي أثبت اللي هو limit
absolute value of f of x على الـ X ناقص C as X بتروح
للـ C أشماله exist ماشي الحال طيب الآن واضح
عندي من اللي فوق الـ limit للـ F of X على الـ X ناقص C
as X بتروح للـ C إنه إيش بيساوي بيساوي صفر، مظبوط؟
إذا هيكون عندي limit اللي هو limit absolute value
للـ limit خليني أكتبها بس في طريقة أخرى الصفر هذا
اللي بدأتبته اه إنه exist عندي الـ absolute value ل
limit f of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C اللي هو
من اليمين ومن اليسار exist، مظبوط؟ واضحة ويساوي
اللي هو limit absolute value للـ F of X على الـ X ناقص
C as X بتروح لمين؟ للـ C بشيء
الحال الآن من اليمين ومن اليسار كله هيكون موجود
بناء على هذا إنه موجود خلّيني أخد من اليمين وهنا
من اليمين فبصير هذا عبارة عن limit absolute value
لـ F of X على الـ X ناقص C لما الـ X بتروح لـ C من وين؟ من
اليمين يعني هذا المقدارصار موجود وإيش بيساوي بيساوي
صفر هذا خلّيه لإنه هذا اللي بدنا نصلّه لأن limit
صار عندي معنى آخر limit absolute value of f of x
على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من اليمين بيساوي صفر
existلاحظوا قاعد رايح لأثبت أن هذا exist ده خد الآن
من وين؟ من اليسار خد لأن أحسب similarly عندي صفر
بيساوي absolute value of limit f of x على الـ X ناقص C
لما الـ X تروح لـ C من وين؟ من اليسار ويساوي عبارة عن
limit absolute value of f of x على absolute value
of X ناقص C لما الـ X تروح لـ C من وين؟ من اليسار هذه
نفسها بيساوي limit أو بيساوي سالب limit f of x
absolute value على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من
اليسار، ليش؟ لأن X أصغر من C، إذا X ناقص C سالبة
إذا الـ absolute value سالب إليها واخدت السالب برا
هذا الآن المخضر بيساوي صفر، إذا هذا لحاله برضه إيش
ماله؟ صفر، إذا limit absolute value للـ F of X على
X ناقص C، لما X تروح للـ C من اليسار، برضه إيش
بيساوي؟ بيساوي صفر، لاحظ إن الـ limit من اليمين والـ
limit من اليسار موجود وبساوي 0 متساويين يعني الآن
الـ limit هذا صار إيش بيساوي بيساوي 0 إذا الآن هذا
الآن بنقوله كله تحت هذا وبقول hence اللي هو الـ G
prime of C بيساوي limit of g of x نقص g of c على الـ X
ناقص C as X → C بيساوي حسب اللي عندي من هنا ومن
هنا ومن هنا هيساوي صفر الآن conversely بتفترض
طبعاً إن الـ conversely هيكون الخطوات كثير مشابهة
للي هنا يعني كثير اللي استخدمته هنا هستخدمه في
اللي بعدها
Conversely suppose that
g of x سواء absolute value أو f of x اللي
هو is differentiable at C بدا وجدلك الآن أثبتلك إن
f prime of C إيش ما لها بتساوي صفر يعني بدا أثبت
limit f of x ناقص f of C اللي هي صفر على الـ X ناقص C
لما الـ X تروح للـ C إيش بيساوي بيساوي صفر بكون خلصت
الآن issue مشابه عند الآن limit
هذا exist عند الـ C إذا عندي صار الـ g prime of C exist
ويساوي حسب الحديث اللي هنا limit absolute value of
f of x ناقص الـ absolute value of f of C صفر على الـ X
ناقص C لما الـ X تروح لـ C أشماله exist معيّ؟ طيب شوف
الآن عندي إذا احسب لي limit f of x اللي حسبناها قبل
بشوية بنفس الأسلوب على الـ X ناقص C لما الـ X تروح لـ C من
وين؟ من اليمين بيساوي limit للـ absolute value لـ f
of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح لـ C من اليمين لأن الـ
X أكبر من الـ C واضحة الآن من جهة أخرى احسب لي الـ
absolute value للـ limit للـ F of X طبعاً هذا إيش
هيساوي بيساوي g prime of C، مظبوط؟ بيساوي g prime of
C، موجود، limit f of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح لـ C
من وين؟ من اليسار بيساوي زي ما عملنا قبل شوية سالب
limit absolute value of f of x على الـ X ناقص C لما الـ X
تروح لـ C من وين؟ من اليسار الآن واضح بما أن هذه
exist إذا هذا المقدار وهذا المقدار زي بعض الآن هذا
بيساوي ناقص هذا أو بمعنى آخر نشيل الناقص من هنا ون
ضربه هنا صار عندي المقدرين هدولة بما إنه متساويين
لإن الاتنين إيش بيساوين الـ g prime of C مظبوط إذا
صار عندي هذا المقدار بيساوي هذا المقدار إذا صار
عندي الـ limit f of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C
من اليمين absolute value بيساوي ناقص limit f of x
على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من وين؟ من اليسار
واضحة؟ لكن أصلاً عندي هذا
بيساوي اللي هو الاتنين بيساوي نفس القيمة ماشي الحال
إذا لازم عندي من هنا g prime و g prime اللي هو
صار بيساوي نفس القيمة إذا هيطلع الـ g prime إيش
ماله بيساوي صفر إذا صار المقدار هذا كله إيش بده يساوي
صفر وهذا بيساوي صفر يعني الـ limit من اليمين والـ
limit من اليسار متساويين إذا صارت limit f of x على
X ناقص C لما الـ X تروح للـ C بدها تساوي صفر أي سؤال؟
زي ما حكينا، الآن إحنا قلنا إنه لو كانت الـ D بدينا D
بيساوي f of x الـ differential بالأد C جبنا g prime
وكتبناها بالصورة اللي أمامنا بعدين أخدنا الـ
absolute value لـ limit f of x على الـ X ناقص C لم X
تروح لـ C positive طلعت عندي بيساوي g prime of C و
أخدنا اللي هي ناقص هذه طلعت عندي برضه g prime
الاتنين الـ C إذا صار هذا بيساوي هذا المقدار واحنا
بنعرف في الأصل إن f prime of C exist يعني
differentiable يعني الـ limit هذا اللي هو موجود ومن
اليمين ومن اليسار زي بعض يعني يعني هذا بده يساوي
هذا من اليمين وهذا من اليسار يعني في الواقع هذا
اللي جوا هو نفسه اللي جوا بيساوي limit of f of x يعني
بمعنى آخر absolute value لـ limit of f of x على الـ X
ناقص C لما الـ X تروح للـ C هو نفسه سالب limit للـ f of
x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من وين من
اليسار هو نفسه للـ C من وين تبت هذه لأن احنا بنقول
f prime of C exist يعني الـ limit هذا موجود ومن
اليمين ومن اليسار زي بعض إذا صار هذا المقدار نفس
هذا المقدار زي ما قلنا إذا صار عند هذا المقدار بيساوي
صفر لأن الاتنين بيساويا بيساوي صفر إذا صار عندي limit f
of x على الـ X ناقص C اللي هو الـ absolute value as X
بتروح للـ C بيساوي صفر ومن ثم اللي جوا بيساوي صفر هو
مين هو اللي جوا هذا اللي كنا بدنا نصله من الأول
اللي هو f prime of C بتساوي صفر وهو المطلوب هذا
توضيح بشكل كامل للي صار في اللي هو الاتجاه
الثاني نيجي لسؤال بعد ما خلصنا السؤال سبعة نيجي
لسؤال تسعة تسعة إيش اللي بقوله تسعة نشوف إيش سؤال
تسعة بقول ونحل سؤال تسعة سؤال تسعة بقول ليه
باختصار إنه لو كان عنده الـ function of عبارة عن من
R لـ R even function طبعاً عارفين إيش الـ even اللي
هو f ناقص x بيساوي f x لكل x موجودة في الـ R and
has a derivative at every point then f prime is an
odd function يعني بيقول لي لو كانت باختصار يعني لو
كانت الـ f even والـ derivative موجودة بتكون الـ
derivative odd ولو كانت الـ derivative odd بتكون
الـ function الـ f prime إيه شمالها is even انحل
واحدة من هنا والتانية similarly زيها الآن لنفترض f
من عند R لعند R be an odd differentiable function
ماشي الحال show that
f' is even a proof بدنا نثبت إنه لو كانت الـ f
اللي هي odd function بدو يكون عنده و
differentiable بدو يكون عنده derivative إلها إيه
إيش even لأن let C element in R be arbitrary and
fixed
ناخد الـ R ناخد الـ C أي اللي هو real number in
R لكن نحكي عن أي شيء محدد الآن f prime of C بدأ
أثبت لك إنه هو بيساوي f prime of ناقص C يعني f prime
is even إذا خد f prime ناقص C وابدأ حسب وواصلك في
النهاية بيساوي f prime of C إذا f prime is even بيساوي
limit اللي هي f of x ناقص f of ناقص C على x ناقص
اللي هو ناقص C لما الـ x تروح لمين لـ ناقص C مظبوط
طيب وبيساوي limit الـ f إيش معطينا إياها عبارة عن odd
إيش يعني odd يعني f of ناقص x بيساوي ناقص f of x
مظبوط هذه اللي هي إيش ما لها odd function اللي هو
بيساوي limit F of x اللي هي ناقص f of ناقص x
واضح أه؟
f of ناقص x بيساوي ناقص f of x يعني f of x بيساوي
ناقص f of ناقص x فالجد تعرفوا ليش عملت هيك لأن
ناقص f of ناقص c الآن f is odd مظبوط بيصير زائد f
of c
على خد الآن ناقص من هنا عامل مشترك بيصير عبارة عن
ناقص x الآن ناقص ال c لما x تروح لمين لسالب ال c
ال x بتروح لسالب ال c إذا و فقط إذا سالب ال x
بتروح لمين إلى ال c الآن خد لي y بيساوي سالب ال x
واستبدل عشان نوضح لك إياه بيساوي limit الآن خد الآن
عندي f حكما كان نقص x سمّينا ال y limit ناقص F of y
زائد f of c على اللي هو y بتروح إلى ال c وهنا y
ناقص ال c وهنا في عندي ايش برضه ناقص برا لأن خد من
هنا ناقص عامل مشترك أو ضيعه مع الناقص اللي هنا
ما واضح أه بيصير عندي y بيساوي limit f of y ناقص f of c
على y ناقص c لما y تروح لل c وهذا عبارة عن f
prime لمين لل c بدأنا ب f prime ناقص c وانتهينا ب f
prime لل c لذا therefore f prime is even whenever
f is odd and f is differentiable
السؤال الأخير السؤال 13 السؤال
13 هو كما يلي ايش
اللي بقول السؤال 13 سؤال 13 بيقول إذا كانت f من R
لـ R is differentiable at c element in R show that
f prime of c يساوي limit N في f of c زائد 1 على N ناقص
f of c as N goes to infinity يعني لو كانت f
differentiable عند الـ c element in R بنقدر نكتب
ال derivative اللي هي f prime of c على صورة limit
N f of c زائد 1 على N ناقص f of c as N goes to
infinity لكن بيقول لي by example show that the
existence of this limit this limit need not اللي
هو imply the existence of the derivative نيجي
الآن للجزء الأول عندي f من R لـ R و f prime of c
exist لأنه يقول لي prove that f prime of c can be
written as limit N في f of c زائد 1 على N ناقص f
of c as N goes to infinity هذا الجزء الأول الجزء
الثاني حنجي الآن نقول prove للجزء الأول قبل ما نقول
الـ proof نذكركم بس بنظرية سابقة في الـ real واحد
إنه لو عندي limit f of x لما x تروح لل c لو كانت
بتساوي l بكون عندي أي sequence xₙ بتروح للـ c لازم
يتحقق لها limit f of xₙ as n goes to infinity
بيساوي برضه الـ كنا نتحدث بالحديث، باستبداء الحديث
عن الـ limit العادية للـ function S x بتروح للـ c
إلى limit لمين للـ sequence أو limit للـ sequences
الآن بنستخلص هذه اللي هو المعلومة في إثبات اللي
بدنا إياه عند الآن since f prime of c exist بما أنه
ال derivative عند c موجودة إذا أكيد عندي صار f
prime of c بسهولة f of x أو اللي هي الـ x عند c
زائد h ناقص f of c على h as h goes to mean to zero
اللي هو التعريف التعريف ال derivative أو الشكل
الآخر للتعريف ال derivative f of c زائد ال
increment ناقص f of c على ال increment as ال
increment goes to mean to zero ماشي الحل ال l بما
أنه اللي هو ال 1 على N sequence بتروح للصفر وهذا
الـ limit exist لأن حسب النظرية اللي حكيتها قبل
بشوية بكون عندي لأن butكذا then f prime of c can
be اللي هو إعادة اللي هي rewritten as a limit of a
sequence f of اللي هو limit limit f of c زائد but
الـ h اللي هي تروح للصفر صارت mean ال sequence
واحدة على N تروح للصفر واحدة على N ناقص f of c على
واحدة على N as N goes to infinity مدامت ال sequence
واحدة على N بتروح للصفر صارت ال f of واحدة على N اللي
هي عبارة عن f of c زائد واحدة على N لأن الـ c عبارة
عن إياش فالتة واضح أه؟ الآن هذا بيساوي اللي هو
limit الآن as n goes to infinity اللي هو أكيد اللي
هو بيصير عندي f n في الجوس f of c زائد 1 على n
ناقص f of c اللي هو as n goes to infinity هو هذا
صار f prime of c وهو المطلوب الآن conversely the
converse need not to be true in general هيك بيقول
ليه يعني بيقول لي if if بيقول لي أو اللي بيقول if f
برا اللي هو limit f of c زائد 1 على n ناقص f of c
الكل مضروب في n as n goes to infinity exist if كده
then f prime at c need not be exist أصلا مش أنه
يكون بيساوي هذا أو لا need not to be اشمل exist
لأن لو كان exist على طول بيساوي اما need not to be
exist وما أخذ مثال جالي consider consider consider
f of x بيساوي ال absolute value لل x وخد عند ال c ايش
بتساوي صفر واضح f prime of 0 does not exist لأنها
عبارة عن corner point، أنتو عارفين احنا اللي هو
ال f prime عند ال zero لل absolute value does not
exist لكن هذه متحققة، ليش؟ but limit
N في f of 0 زائد 1 على N ناقص f of 0 as N goes to
infinity بيساوي limit N f of 0 زائد 1 على N يعني f
of 1 على N f of x بيساوي absolute value x ف 1 على N
مظبوط أه as N goes to infinity طبعا الـ N بتروح
يصير عبارة عن ash واحد إذا فعلا جبنا مثال أن ال
limit هذه تكون exist و يساوي واحد but ال f prime عند
هذا النقطة c اللي هي 00 في هذه الحالة does not
exist بيكون هيك احنا انتهينا من الجزء الأول من
المحاضرة الخامسة اللي هو discussion لأو مناقشة ل
section 6-1 اللي هو the derivative والآن سنكمل
الحديث في الجزء الثاني من المحاضرة اللي هو عن اللي
هو the mean value theorem أو اللي هي نكمل
applications على mean value theorem وناخد اللي هو
ال