بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 28 مساق
تحليل الحقيقة 2 طلاب طالبات الجامعة الإسلامية كلية
العلوم قسم الرياضيات الآن هنبدأ في ال section 9-3
اللي هو tests for noneabsolute convergence tests
for non-absolute convergence الآن لو لاحظنا اللي
هو حديثنا في السابق كان على اللي هو tests for
absolute convergence كل اللي هي ال series اللي
فحصناها اللي هي بواسطة اللي هي series of positive
terms أو اللي هي absolute convergence للي هي ال
series الآن لو كانت عندي ال series مش اللي هي
positive terms لو كانت اللي هي series متغيرة
الإشارة زي عندنا لو جينا summation ناقص واحد ثم
نزيد واحد على n وsummation ناقص واحد ثم نزيد واحد
على جدر ال n الان بدنا اللي هو نعمل testing for
absolute convergence او for convergence test for
convergence لهذه ال series مش في .. بدنا نحكي الآن
عن test for convergence لأن absolute convergence
بنعرفهمن اللي هو خلال السابق الآن بلزمنا إذا
الحديث عن حاجة اسمها alternating series إيش ال
alternating series لو كانت عندي X بالساوية XN of
non-zero real numbers يعني هدولة عبارة عن real
numbers مش صفار اللي هو ممكن تاخد مودب أو سالب
ولكن ال set to be alternating الآن لما بنقول عنه
ال alternating بدنا نيجي أنه انقيدهم بمعنى أخر it
is set to be alternating if the termsنقص واحد
أسنان زائد واحد XN are all positive or all
negative يعني يا كلنا دولة أيش مجبات يا كلنا أيش
سالبات if the sequence X بيسوي XN اللي هي is
alternating we say that the series summation اللي
هي it generates is an alternating أيش ما لها
seriesمدام هذه كلها positive أو كلها negative صارت
على بعض و هذه تنساش أنه مرة بتاخد positive و مرة
بتاخد negative إذا ال series ال Xn أو ال Xn الأصلي
هذه هتكون مرة بتاخد موجب و مرة بتاخد سالب أو مرة
بتاخد سالب و مرة بتاخد موجب فعشان هيك بدل ما
نكتبها زيك و نقول هذه دايما كلها موجبة بنيجي
بنكتبها بصورة ثانية بنقول خلينا نكتب ال series Xn
تساوي ناقص واحد زائد واحد في مين في Znو بتصير الان
Zn هي اللي دايما positive و هذه هي اللي بتحدد
الإشارة عشان هيك اللي لما نحكي عن ال alternating
series هنصير نكتبها على الصورة هذه ناقص واحد أس أن
زائد واحد أو ناقص واحد أس أن في Zn و Zn دايما تكون
موجبة و الناقص واحد أس أن زائد واحد أو ناقص واحد
أس أن هتتحدد لي هياللي هو إنها مرة موجبة و مرة
سالبة هل هتحدد اللي هو في الأول موجب وبعدين سالب
حسب اللي هو الأسئن زائد واحد أو الهاشئن الان نيجي
اللي هو بدنا نفحص ال series اللي منها النوع هل هذه
ال seriesاللي هي converge ولا diverge وهذا اللي هو
الشيء الجديد عن اللي هو ال section السادق الآن
اللي بنقوله alternating series test let Z بتساوي
ZN be a decreasing sequence of strictly positive
numbers with limit ZN بساوي سفر إذا في عندي شروط
الآن لل series اللي أنا بده أفحصهاأول حاجة بدي
أكون عندي Zn عبارة عن decreasing sequence وكل
واحدة of strictly positive numbers وكل واحدة إيه
شمالها عبارة عن positive number يعني أكبر من 0
strictly و اللي هو لكل N فصار عندى اللي هو شرطين
إنها تكون decreasing و limit و الـ Zn أكبر من 0
strictly لكل N و الشرط الثالثاللي هو limit الـ ZN
يساوي سفر إذا صارت الـ sequence اللي بده أكوّن
منها ال alternating series تحقق ثلاث شروط ZN
decreasing sequence strictly positive numbers الـ
ZN و limit الـ ZN بساوي سفر اللي أنا بقول لذن الان
النتيجة ال alternating series الصممش ناقص واحد وزن
زاد واحد ZN إشمالها is convergentإيش مالها؟ هتكون
Convergent وانت مغمض يعني لو جينا على اللي هو ال
series اللي فوق عندي اللي هي اللي تعرضناها في
الأول اللي هي ال 1 على n اللي هو نص اللي هو أكبر
من تلت أكبر من ربع أكبر يعني decreasing و limitها
بساوة سفر وهي alternating وكل واحد ما هو positive
ده هذه ال series إيش مالها؟ Converges حسب نظرية
طبعا it's not absolutely convergent لأن لو في
absolute convergence بترجعلنا للواحد على n series
ماشي الحال الآن عندي نشوف اللي عندنا اللي هو برهان
النظرية let z بالساوية zn be decreasing of
strictly positive numbers with limit zn بساوية 0
then the series summation نقص واحد zn is
convergent خلينا نشوف يا جماعة
عندي الآن خلّينا نطلّع وين بدنا نروح احنا بدنا
نثبت انه ال .. اللي هو ال series ناقص واحد أس ان
زائد واحد زد ان ان من واحدالى ما لا نهاية converts
هذا اللى بدنا نثبته ماشي الحال خلّينى نشوف ايش
اللى عندى summation هذا الان من واحد الى ما لا
نهاية converts نشوف احسب الاول ايش ايه اللى هو ال
partial sum S اتنين ان S اتنين ان ايش هيساوي عبارة
عن Z واحدنقص Z2 زي Z3 نقص Z4 بفك في ال series هذه
من ال N بتساوي واحد عندي N بتساوي واحد بيصير ناقص
واحد وزي N زي واحد زي ZN ماشي الحال الان صار عندي
ال Sالان من هاي ال series هاي ال series عندي ماشي
الان عندي أس اتنين ان زد واحد ناقص زد اتنين زائد
زد تلاتة ناقص زد أربعة زائد زد خمسة ناقص زد ستة
لما أصل لآخر two two زد اتنين ان ناقص واحد ناقص زد
اتنين ان هد مين هي الأس اتنين ان الان ال sequence
الاصلية زد k decreasingما دام decreasing إذا zk
نقص zk زائد واحد أكبر أو يساوي سفر يعني z واحد
ناقص z اتنين أكبر أو يساوي سفر و z اتنين نقص z
تلاتة نقص z أربعة برضه أكبر أو يساوي سفر وهذه أكبر
أو يساوي سفر يعني وكأنه أس اتنين اللي هي is
increasing sequence of partial sums ليش؟الأن it
follows that the subsequence S2 of partial sums is
increasing ليش increasing؟ خلّينا نشوف عندي لاحظ
الآنالأن لو أخدت S2 وS4 وS6 هتلاقي كل مرة إيش مالك
بتضيف term هذا ال term اللي بنضاف اللي هو positive
إذا حيكون الـS2 as a sequence of partial sums إيش
مالها عبارة عن اللي هو increasing sequence ليش؟ خد
بشكل أوضح من اللي حكيته فوق خد S2 خد Z1 ناقص Z2
ناقص Z3نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص
نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص
نقص نقص نقص نق
is decreasing يعني هيكون الـ Z أس اتنين ان هذا لما
انضفنا له هذولة ال terms الآن هيكون أصغر أو يساوي
أسف هذولة negative terms بيصير ال negative الان
لإن هذا negative بيصير ناقص اللي هو هنا Z اتنين
ناقص Z تلاتة أصغر اللي هو أكبر أو يساوي سفر وهذا
أكبر أو يساوي سفر وهذا أكبر أو يساوي سفريعني
مضيوفات له صارن سوالب لما نشيلهن هيكبر الـ Z1 لأنه
نكون اتخلصنا من كل السوالب هدولة بيصير أس اتنين
أصغر و سوء اللي هي ميانة Z1 إذا صارت اللي عند ال
sub sequence هذا ال partial sums اللي هو
increasing بتتزايدومش هيك was bounded above مدام
increasing و bounded إذا it follows by monotone
convergence theorem that S اتنين N convert to some
number S يعني الآن S اتنين N لو حسبناها هتطلع لك
increasing زائد bounded اللي هنقولنا S اتنين N
أصغر أو يساوي زيد واحد بدون حتى absolute valueالان
ومش هيك كمان و لو حسبت الاس اتنين ان ناقص اس اتنين
في ان ناقص واحد يعني عبارة عن اس اتنين ان ناقص اس
اتنين ان ناقص اتنين هتلاقيها بتساوي عبارة عن اللي
هي ال term اللي بطلع اللي هو عبارة عن زد واحد اللي
هو ناقص زد اتنين زائد
z2n-1-z2n ناقص اللي هو s2n-2 s2n-2 هذا كله لما
أشيله و أشيل هذا مع هذا بيظل z2n-1-z2n و هذا أكبر
أو سوى 0 لأن ال sequence الأصليه decreasing إذا
صار s2nناقص S2 فان ناقص واحد أكبر وسوء سفر يعني
صار عند الـ S2 أن هذه الـ sequence of partial sums
عبارة عن increasing sequence وهي bounded إذا بتكون
monotone الـ monotone اللي هو bounded sequence إذا
حسب الـ monotone convergence theorem هتكون ليها
هذا الـ subاللي هي sequence of partial sums is
convergent خلّينا نقول converged to some S element
of R الآن من هذه الـ subsequence اللي هي بدي
أثبتلك إن الـ sequence الـ S and نفسها converged
للـ S شوف كيفخُد أي إبسلون أكبر من صفر، there
exists K، such that إذا كانت N أكبر وسوء K، بما أن
هذا الـ sequence S2 N converge، إذا سيكون S2 N
ناقص S أصغر من أي إبسلون في الدنيا وليكن إبسلون
على 2لكن أنا بعرف إنه limit zn بساوة 0 مش جالين إن
هو الـ zn الـ sequence الأصلية بساوة .. limitها
بساوة 0 إذن أكيد limit الـ z2n زائد 1 البقى اللي
هي ال .. ال sub sequence منها برضه بساوة 0 مزام
بساوة 0 إذن من عند K معينة و نازل بيكون اللي هو
قيمتها أصغر من أي إبسلون في الدنيا و ليكن إبسلون
على 2عند اللي هي هذه إلها K واحد و هذه إلها K
اتنين أخدت الـ K maximum للتانين و سميتها K إذا
صارت هذه أصغر من نص إبسلون و هذه أصغر من نص إبسلون
لكل N أكبر أو يساوي K لماذا؟ لإن ال limit هذه
بيساوي هذه و لإن ال limit هذه بيساوي سفر إذا الآن
بدي أصل اللي بدي أن أثبت اللي هو ال subsequence
التانية اللي هي ال S2 N زائد واحد ناقص S برضه
هتكون أصغر من إبسلون زي اللي فاتتيعني الان اس
اتنين ان زائد واحد ناقص اس اش حساوياللي هو عبارة
عن هذه عبارة عن أس 2n مضيوفة إليها من مين ال term
اللي هو z2n زائد 1 z2n زائد 1 إشارته موجبة لإنه
الأصل في ال sequence ناقص 1 و أس n زائد 1 ف2n زائد
1 زائد 1 بيصير 2n زائد 2 يعني موجبة يعني فعلاً
بتكون هذه عبارة عن ال أس 2n زائد 1 بيساوي أس 2n
زائد z2n زائد 1ناقص الـ S الان هذا أصغر من نص
إبسلون و هذا أصغر من إبسلون و هذا المقدار أصغر من
إبسلون إذا صار عندي لأي إبسلون أكبر من سفر there
exist such thatدائما بغض النظر S2 N زائد 1 ولا S2
سيكون الـ S N لأن الفردي والسودي إله ناقص الـ S
هيطلع أصغر من إبسلون وهذا يعني أنه limit الـ S N
اللي هو exist ويساوي S يعني بمعنى أخر ال summation
هذا converge وهو المطلوب طيب الـ Nبكون هيك احنا
اثبتنا اللي هو مين اللي هو ال ال alternating
series انها converts اذا حققت الشروط اللي حكيناها
الان it is an exercise to show that if S is the
sum of the alternating series and if S N is its
Nth partial sum اثبتلي انه ال absolute value دايما
S نقص S N أصغر أو ساوي مين Z N زائد واحد الان
بدنا ناخد اللي هواللي هي نحكي عن test اسمه
differential test والقبل test لكن جابل هنا بدنا
ناخد هاللمة اللي هي قبل اللمة نشوف كيف اللي هو
نحاول ان هوانبرن هذه اللمة وبعتقد برهانة سهل لان
شكلها بالظبط زي كما كنا نعمل ال integration by
parts في calculus با خلينا نشوف ايش اللي هو اللمة
بتقول وكيف هذه اللمة بتفيدنا في اثبات النظريات
المتبقية في هذا ال sectionقبل الذلمة لت X بيساوي
XN و Y بيساوي YN بـSequences in R ماشي؟ نفترض أن X
و YN عبارة .. و Y Sequences in R and let the
partial sums of summation YN be denoted by Snالأن
الـ sequence of partial sums للـ yn سميناها Sn
ونفترض تسموه للأس نوت بساوي صفر عشان هيلزمنا لأن
بيقوللي if M أكبر من N then إذا كانت M أكبر من N
بيساوي إذا بيساوي ال summation Xk Yk K من N زياد
واحد عند M بيساوي Xm Sm ناقص Xn زياد واحد Sm Xm Xm
ناقص xn زائد واحد sn زائد الصماشن xk ناقص xk زائد
واحد sk k من n زائد واحد عند m minus واحد اتخيل
هذا ال integration وهذا ال integration هتلاقي اللي
هو مشابه ل اللي هو ال integration by parts اللي
كنا نعمله زمانالان هذه اللمهات .. ليش هي اللمهات؟
اللمهات عشان تستخدمها في برهان نظرية بعد شوية بس
مش أكتر الان خلينا نشوف ايش البرهان ويقول لي since
yk بيساوي sk نقص sk minus واحد عارفينها اللي هي sk
نقص sk minus واحد ايش هيسويلك ال yk عارفين ليش
four k بيساوي واحد واثنين الاخرين الان the left
side of تلاتة هذا ال left side of تلاتة is seen to
be obtainedto be equal to summation اللي هو XK في
SK minus K minus واحد الان هذا هو هذا بنفكه
بطلع هذا بتنشوف كيف انتبهوا عليها احسباتي انا
متأكد انكم هتجيبوها لحالكم الان summationXK YK K
من عند واحد N زائد واحد لعند مين لعند M بساوي
انتبه عليها بساوي بدي اعوض مكان ال YK اللي هو SK
minus SK minus واحد بساوي ال summation XK في YK
اللي هي قولنا SK-SK-1 K من عند N زائد واحد لعند
مين لعندها Y ساوي نفرطه هذا خلّينا نفكه بيصير
عبارة عن KN زائد واحد يعني XN زائد واحد في SN زائد
واحد ناقص SN زائد اللي بعدها XN زائد اتنين في SN
زائد اتنين ناقص SM زائد واحد ويكون خربط زائد اللي
بعدها لما اصل لآخر واحد اللي هو عبارة عن XM في SM
ناقص SM ناقص واحد ويساوي الان بدي اخد اللي هو اضرب
هذا جوا بيصير XN زائد واحداللي هو في ناقص في ..
بيصير xn اسمحولي اكتب هادي xn زائد واحد في Sn زائد
واحد ماشي ناقص عندي xn زائد واحد في Sn ناقص خليني
اكتبها دي لإن xn زائد واحد في Sn ضربت هادي هيها
وضربت هادي في هادي هيها زائد خلصت من الأولىلأن هذي
بتضييها هنا بعد شوية زائد اللي بعدها xn زائد خلينك
تبقى ضربها تصبح ضناقص اضرب هذه قبلها xn زائد اتنين
sn زائد اتنين زائد واحد ضربت هذه في هذه زائد اللي
هو xn زائد اتنين sn زائد اتنينزائد خدوا الفكرة
أنتوا بتحسبوا لحالكم آخر إشي اللي هو عبارة عن XM
في SM أين أكتبها ال XM في SM هذه ناقص اللي هو XM
SM ناقص واحد ويساوي عبارة
عن هذه اللي هي اللي بدنا إياها ال XMأسأم ناقص xn
زائد واحد أسأن الآن زائد الآن خدولي اللي هو xn
زائد واحد ناقص xn هذا يعني xn زائد واحد xn زائد
واحدوهنا S N زائد واحد ناقص X N زائد اتنين هدول
التنتين مع بعض التنتين المضروبات في مين؟ في S N
زائد واحد اللي بعيد ده نفس الاشي هلاقي عبارة عن
اللي هو S N زائد اتنين مضروبة في X N زائد اتنين
ناقص
xn زائد تلاتة و أضرب لما أخر الأصل لآخر إشي
هلاجيها عبارة عن هذا راح بيظل اللي جابله اللي هو
هلاجي اللي هو xm ناقص واحد ناقص xm مضروبة في 100
في Sn الآن هذه هي الأولى هذه وهذا ال summation
Summation هذا هو الـ Summation هذا و لو فرضتلك
كمان اتنين تلاتة هيكون تتأكد من هذا الكلام تماماً
هاي عندي اللي هو في حالة K بصي و N زائد واحد بيصير
X N زائد واحد ناقص X N زائد اتنين هاي ها X N زائد
واحد ناقص X N زائد اتنين مضروبة في S N زائد واحد و
لما اصل عند اخر واحدإذن اللي بيكون هيك إحنا أثبتنا
اللي هو هذه اللي هو اللمّة و الآن بدي أستخدم هذه
اللمّة في إثبات اللي هو النظريات اللي بعد هيك طيب،
الآن مادريش ال test بيقولّي بدنا عرض علينا إنه
نعرف اللي هو summation لحاصل ضرب اللي هو XN في YN
is convergent ولا مش convergentطيب لو عرفت معلومات
عن هذه XN ومعلومات عن هذه YN هل بعرف اللي هو ال
convergence الآن هذه ال .. ال .. ال .. ال .. ال
theory معاه ال test ال D test هذا هذا ال D test
الآن هو اللي هيعمللي testing لل summation XN في YN
converge اللي عندنا .. نشوف كيفبقول لي let X
بيساوي Xn is a decreasing sequence إذا أول حاجة
مفترض لإن Xn decreasing و limit Xn هيش بيساوي سفر
and if the partial sums Sn of Yn are bounded then
Xn is Y of Yn is convergent يعني بتنعرض علينا ال
series بالشكل هذابعدي بفحص إذا نجيت ال limit لل Xn
بساوة سفر وهي decreasing وكانت ال sequence of
partial sums Yn bounded على طول بقول هذه ال series
إيش ما لها is convergent إذا بتفحصلي ال
convergence لهذه ال series ده نشوف الآنSummation
XN YN convergence إذا كانت اللي هي limit XN بيساوي
سفر و decreasing و ال sequence of partial sums
اللي هي لل YN هذه اللي هو عبارة عن boundedماشي إيش
معناه bounded؟ يعني اللي هو عند ال absolute value
ل S N أصغر أو سوى B for all N and for some B إذا
بما أن S N is bounded إذا there exist B أكبر من 0
such that اللي هو ال absolute value ل S N أصغر أو
سوى B for all N element ن
بما أنه .. بما أنه اللي هو عند .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال ..ومفترضين إنها decreasing يعني ال XK نقص
XK زياد واحد أكبر ويساوي سفر إذا الشروط اللي قبل
لمّة متحققة أنه ال absolute summation ل XK YK K من
N زياد واحد لعند ال M اللي هي حتساوي لما أخد ال
absolute value حتساوي بالظبط بتاخد ال absolute
value يصير أصغر أو يساوي اللي هو ال SN في ال XM
زياد ال XN زياد واحد ماشي؟متذكرين الابل زمة؟ هي
الابل زمة
الآن ال absolute value
لهادي أصغر أو ساوي ال absolute value لهدي مضروبة
في مين اللي هو ال absolute value لهدي اللي هي أسأم
وأسئن طبعا absolute value لهن زي ال absolute value
لهدي ال absolute value لهدياللي هي أصغر أو يساوي
الـ absolute هذه زايد هذه في مين في اللي هي الـB
الـB أش هي الـbound للـSM والـSN لأن مفترضين
الـsequence of partial sums is bound إذن يعني
بيصير عندي الكلام هذا صحيح يعني هذا أصغر أو يساوي
الـXM زايد الـXN زايد واحد في مين في أش في الـB
لإن هدولة positive terms فبصير ال absolute value
نفس الشيءزائد الـ summation لـ xk-xk-xk-xk-xk-xk
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk
-xk
-xk-xk
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-لو
جينا فكّينا هذا المقدار
اللي عندى هذا xk نقص xk زائد واحد كله بروح بظل عند
ال N زائد واحد و ال M ماي .. اللي هى ال M أخر term
M نقص واحد زائد واحد اللى هى ال M فبصير عندى ال B
طبعا متاخدة عامل مشترك كلها و بظل هذا زى ما هو و
هذا اللى هو ال telescoping او اللى هو بما أخر as
if اللى هو هذا اللى هو كل شي .. كل term بضيع اللى
بعدهبظل أول واحد و آخر واحد Xm زائد واحد ناقص Xm
هذه صارت حركة معروفة عندكم الان هذه بتروح مع هذه
بيصير بيظل هذه و هذه تنتين بيصير اتنين Xm زائد بي
في مين في بي الان قلنا limit ال Xn as n goes to
infinity ايش معطينيها بساوة سفر بدأ بساوة سفر اذا
الان بقدر ازغرها لأصغر من اي ي في الدنيا من ضمنها
اللي هي اي شمالهااللي هي إبسلون بالساوية إبسلون
على اتنين بيه يعني بمعنى آخر as N goes to infinity
as N goes to infinity طبعاً M أكيد هتروح ل
infinity يعني بمعنى آخر هيكون اللي هو الـ SM لهذه
هذه S M ناقص لـ S N هيكون أصغر من أي Y في الدنيا
for very large N و M لأن الـ N و الـ M لما N تروح
لما النهاية دي بتروح لـ 0 و الـ M هتكبر برضه بمعنى
آخر for very large N هذا هزغيرها جد ما بده يعني
هذا المقدار أصغر ما يمكن و هذا المقدار هو عبارة عن
مين يا جماعة عبارة عن الـ S M لهذه الـ sequence X
Mهذه الأسماء هي Sequence of Partial Sums لمين؟ لأن
هذه كلها على بعض وهذه نفس الشيء فسأقرص Sequence of
Partial Sums هذه اللي هو الـ Cauchy Criterion
تبعتها متحققة مدام الـ Cauchy Criterion متحققة إذن
صارت السيريزي الأصلية Converts إذن هذه summation
XKYK follows from Cauchy Convergence الـ Criterion
اللي هو is convergent طيبالان نجي لا اللي هو ال
test اللي بعده اللي هو ال apples test الان اللي هو
ال test الأخير عندنا في هذا ال sectionبنشوف كيف
بدنا .. اللي هو برضه نحكم على الصممشي للـ XN YN is
convergent كيف؟ بقول لي لو كانت عندك الـ XN is a
convergent monotone sequence convergent monotone
بغض النظر إنه هذه الـ sequence decreasing ولا
increasingأو حتى Converge لـ 0 أو غير 0 المهم تكون
الـ Xn عبارة عن مونوتون Convergent Sequence
والسيريز Yn بديها بس شوية الأن مش bounded بديها
تكون Convergent إذا بقولي لو كانت الـ Yn
Convergentوالـ Xn مش convergent بس convergence to
monotone يعني يا increasing يا decreasing يعني
ماحدش يجي يقول الـ Xn هو convergent و Yn
convergent إذا التلتين الـ summation convergent
ليس شرطا الان اللي بقوله أنه لو كانت الواحدة
convergent والتانية convergent to نتفة يعني
convergent النتفة هذه اللي هي تكون increasing أو
decreasing يعني monotoneخلّينا نشوف كيف اللي هو
البرهن النظري البرهان سهل و بعتمد على اللي جابلها
مباشرةإذا Xn كانت تتخلص من نقطة X إذا Xn
كانت تتخلص من نقطة X إذا Xn كانت تتخلص من نقطة X
إذا Xn
ناقص Xصارت الأن الـ xn ناقص x مدام الـ xn
decreasing وده راحنا منها إيش ثابت حتظلها
decreasing إذا صارت الـ yn decreasing ومش
decreasing كمان و limit الـ yn الـ un بساوي limit
الـ xn ناقص الـ x هذه ما هي ثابت يعني limit xn x
ناقص x صفر يعني limit الـ un صفر يعني حولت ال
sequence اللي عند الـ xn إلى sequence yn تكون
decreasing و limitها بساوي صفرI saw that UN
decreases to zero then XN بيساوي X زائد UN ومنه
once ال XN في ال YN صارت عندي ال sequence XN في YN
بيساوي X في YN زائد UN في YN ماشي الان عندي
الـ Sequence اللي هي الـ y .. from Dirichlet Test
الدنيا اللي هي صارت منيحة، ليش؟ لأنه بما أنه اللي
هو الـ u .. هذه طبعا ال .. ال .. ال y unconverts
إذا ال .. هي ال .. ال series summation x في y
unconverts، مظبوط؟ و هذه ..UNYN بما أنها تتخلص أو
تتخلص وفي نفس الوقت ليمتها بساوة سفر وهذه ال YN
التي هي is convergent إذا صارت اللي هو حسب اللي هو
قبل اللي هي ال threshold theoremهيها حققت الشروط
بس على ال U N الان الان عندي Y N bounded احنا قلنا
Y N نفسها convergent مادام convergent اذا ال
sequence of partial sums اشماله is bounded لأن
convergence is then bounded any sequence is
convergent must be bounded اذا صارت هذه bounded
ماشي او بمعنى اخر sequence of partial sums bounded
وعندها دي كثرة الـ UN اللي قبل بشوية Decreasing
وLimited بساوية 0 إذا اللي هي دي test is
applicable لنشوف كيف الآن صارت عندي ال XYN
converts و ال UN YN اللي هو هذي convertsهذه تتقل
إلى 0 وهذه مجموعة إذا صار عند الـ summation X UN
في XN تتقل لأن الـ summation XN تتقل بسبب الـ
assumption of convergence of the series summation
YN لأن هذه السيريز مفترضة أنها تتقل وهذا ثابت
بالنسبالهاصارت هذا converge وهذا converge من D
test إذا صار مجموح على بعض اللي هو summation xn yn
is convergent الان في حالة ال increasing إشي مش
شابه الان نفترض اللي xn is increasing with limit x
الان خد ال vn بدل ما هي xn ناقص x خد x ناقص xnصارت
اللي هي الـ sequence اللي increasing اللي هي الـ
XN لما ضربت بناقص صارت decreasing وضفت لها limitها
صار عندك اللي هو limit H بساوة سفر صارت VN
decreases to zero ماشي؟ إذا صارت الـ XNبساوة x
ناقص vn وضرب زي قبل بشوية في xn في yn بساوة هذه
ناقص هذه هذه نفس الأسباب اللي قبل بشوية متحققة بال
test إذا صارت اللي هي converts وهذه converts اللي
هو صبعا ال summation بحكي عن ال summation series
إذا صار ال series converts وهذا converts إذا صار
ال xn yn converts وكل هيك واحنا اللي هو أنهينا
اللي هو الليالـ tests اللي في هذا ال .. ال section
بظل اللي هو exampleين هدولة انتوا بتحاولوا تطلعوا
لحالكم فيه و بكون هيك انه احنا بكون انهينا section
اللي هو تسعة تلاتة و إلى لقاء اخر والسلام عليكم