بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين
والصلاة والسلام على سيدنا محمد وعلى آله وصحبه
أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 23 في مساق تحليل حقيقي
للطلاب والطالبات الجامعة الإسلامية قسم الرياضيات
كلية العلوم، المحاضرة اللي هي اليوم هي عبارة عن
تكملة لـ section 8.3 الجزء الثاني من .. من
.. من هذا .. اللي هو الـ chapter، الجزء الأول من هذا
الـ section، الجزء الأول تحدثنا عن الـ exponential
function وكيف أثبتنا وجودها، وأخذنا خواصها، الآن بدنا
نحكي عن الجزء الثاني من اللي هو الـ section اللي هو
الـ logarithmic function، الـ logarithmic function
اللي هو نشوف كيف بدنا نثبت وجودها وكيف اللي هو
ناخد خواصها بنفس البناء اللي أو نبنِي البناء اللي
بنيناه المحاضرة الماضية، الآن لما حكينا عن الـ
exponential function E، جينا أن الـ exponential E
is strictly increasing differentiable function
with domain R and range اللي هو Y أكبر من 0، يعني
لما حكينا عن الـ E، حكينا عن الـ E من R اللي هي الـ
exponential لعند الفترة 0 و ∞، هذه الـ
function هي rangeها وهي domainها وكانت strictly
increasing، Strictly increasing معناته اللي هو عبارة
عن 1-1، يعني بمعنى آخر في لها الـ function هذه on
to two، وكانت differentiable، الآن الـ function اللي هي
الـ exponential طبعًا ما أنتم عارفين كيف رسمتها لو
جينا جربنا نرسمها هنلاقي الرسمة اللي هو هذه اللي
هي عبارة عن رسمة الـ exponential، الآن أنا بدي آجي
اللي هو من خلال اللي هو الـ function الـ exponential
أعرف الـ inverse لها وأسميه اللي هو logarithmic
function أو بدي أسميه الـ logarithm الطبيعي اللي هي
الـ ln function، مشروع الكلام اه لإن ايه عبارة عن
function one to one و one to one، إذا صار الـ
inverse لها موجود لأنها strictly increasing، إذا
صار الـ L من عند zero و ∞ لعند الـ R، هادي
اللي هي الـ function الجديدة هي اللي بدي أسميها الـ
logarithmic function، وهي رسمتها اللي أمامنا اللي
هي الـ inverse لهذه الدالة اللي بدي أعرفها الآن
وتعريفها الآن صار شرعي بناء على وجود الـ exponential
اللي بدي أعرفه اللي هو الـ inverse، سبّبَتْها العمل
المعرفي للـ E هو
الـ Logarithm أو الـ Natural Logarithm اللي هي It
will be denoted by L or by ln، الأكثر شيوعًا طبعًا
اللي هو مين الـ ln، لأن بما أن الـ E و L انعكاس
لبعض، إذا أكيد الـ E composite L composite E of X
هيساوي الـ X لكل الـ x واللي موجودة في الـ R لأن
الـ E بتشتغل على كل الـ xات اللي في الـ R لأن
بينما E composite L of Y، E composite L of Y، الـ L
بتشتغل .. بتشتغل مين على مين بس على الـ positive، E
composite L of Y بيساوي لكل Y element in R و Y
أشملها أكبر من 0، الآن connotations .. connotations
بناء عليه الـ N، الـ E of X لأن الـ N هي الـ L والـ
E هي الـ E، وعندي الـ E to the N اللي هو بسوء الـ Y
وهو بسوء الـ X، بناء على أن الواحدة inverse للتانية
أو كل واحدة inverse للأخرى، الـ logarithm is a
strictly increasing function L with domain اللي هو
مين اللي هو الـ domain اللي عندي اللي هو تعرفنا هيك
أصلًا الآن الـ derivative of L is given by L prime
of X ايش بتساوي؟ 1/X، for X أكبر من صفر، الآن
الـ logarithm satisfy the functional equation، تحقق
المعادلة الدالية التالية اللي هي L of X في Y بساوي
L of X زائد L of Y، for X أكبر من صفر، Y أكبر من
صفر، Y أكبر
من صفر
Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر
من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من
أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر
من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من
صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من
أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر، L of
XR بساوي R لـ L of X، لأن X أكبر من 0، و R المتر كيو،
كلهن اللي هي خواص أنتم بتعرفوها قبل هيك، بس الآن
بدنا نبرهنهم ونثبت صحتهم، limit L of X لما X تروح
لـ 0 من اليمين بساوي -∞، and limit L of X
لما X تروح لـ ∞ بتساوي ∞، خلينا
نحن نشوف نبرهن اللي هي اللي مطلوب، الآن الـ L is
strictly increasing with domain X element alone
and range R follows from the fact that E is
strictly increasing with domain R and range اللي
هو اللي عندي، الآن عندي الـ L is strictly increasing
بناء على مين؟ على الـ E نفسها strictly increasing،
الآن E composite L، E composite L of Y ايش بتساوي؟ Y
لكل Y، و Y الموجودة لكل Y element in (0, ∞)،
مظبوط؟ الآن فاضل الجهتين، الآن طبعًا احنا بنعرف
أنه من الأصل مدام الـ E is اللي هو differentiable،
أكيد اللي هي الـ inverse إلها is differentiable by
theorem 6.9 كده مش عارف ايش في اللي هو chapter 6
قدامة، الـ function اللي هي is differentiable، الـ
inverse إلها برضه is differentiable في حالة وجودها
الآن E فاضل الجهتين بيصير عندي E prime of L of Y
في L prime of Y بساوي ايش؟ 1، ماشي الحال، الآن واضح
أن هذا حاصل الضرب صار أكبر من مين؟ strictly من 0
وبما أن الـ E is strictly increasing، أثبتنا E' of
L of Y is strictly أكبر من 0، إذا بيظلها L' of Y is
strictly أكبر من 0 لكل Y هنا، إذا صارت الـ L is
strictly increasing، الآن طبعًا الـ domain مدام أن هذه
الـ inverse لـ الـ E، الـ domain اللي هو الـ inverse هو
range الـ function الأصلية وبيصير sub wave في
الفرع، إذا الآن احنا أثبتنا أن الـ L is strictly
increasing، الآن و rangeها اللي هو صار domain اللي
هو أو range اللي هو الـ .. هذه اللي صار domainها
domain الـ L وهذه صارت اللي هو range الـ L زي ما
قلنا قبل بشوية أو عندي الآن بدنا نثبت اللي هو
الجزء الثاني من النظرية، خليني أكتب هنا عشان نتذكر
ايش اللي بدنا نثبته، الآن بدنا نثبت، ايش أثبتنا
الأولى اللي في النص بتقولي L prime of X اللي نكتبهم
اللي بدنا نثبتهم عشان نتذكرهم
L prime of X = 1/X،
اثنين اللي هو L of XY = L X + L Y، طبعًا الـ Y
هناك، L of 1 = 0، L of E = 1، كلهم
بسيطات، L prime L of XR = R L of X، و Limit
L of X لما X تروح إلى 0 من اليمين = -∞ لما
لنهاية، و Limit لـ L of X لما X تروح إلى ما لا نهاية
= ∞، خليني أشوف أن دول على السريع، فنّوا
كلها شغلات يعني بأعتقد أنه سهل أنك تثبتها
عندي، لأن زي ما عملت قبل بشوية اللي هو لما فضلت هذه
تفاضلها، E composite L of X لما عملتها قبل بشوية
اللي هي كانت عندي هين أعمل E composite L of X الكل
اللي هي = X، فاضل هذا يصير E prime
بنسبة لـ X = أقل الـ prime of X
اللي هو 1 على الـ E prime of L of X، إذا الـ E
القلي prime of X = 1 على E prime composite
L of X، والـ E prime هي نفس الـ E زي ما قلنا، إذا
بيصير 1 على E composite L of X، إلى الـ E
composite L of X، زي ما قلنا ايش بتساوي؟ بساوي X
فبتساوي 1 على X، فـ L prime = 1/X،
لكل X في الموجودة في الفترة (0, ∞)، نيجي الآن نشوف
اللي هي اللي بعدها، الخاصية اللي بعدها، خلينا نثبت
اللي هو L of X في Y = L of X زائد مين؟ زائد L of
Y، برضه الإثبات سهل وانتبهوا معايا وسهل، عندي الآن
X > 0, Y > 0, X > 0, Y
> 0, X > 0, Y > 0, X
> 0, X > 0, X > 0, X >
0, X > 0, X > 0, X >
0, X > 0, X > 0, X
> 0، لأن الـ E والـ L انعكاس بعض، الآن من
الخاصية تبع الـ exponential بدنا نصل لمين؟ للـ
logarithmic، إذا أضرب لـ X في Y بيطلع عند X في Y
= E of U في E of V، E of U في E of V ايش
بتساوي؟ E of U زائد V أثبتناها إذاً من هذا الكلام
خذ الـ L للجهتين لأنه اللي هي ال inverse لبعض
بيصير عندي L of X في Y بساوي L of E of U زائد V
اللي هي إيش بتساوي U زائد V، U اللي هي عبارة عن L
of X و V عبارة عن L of Y، إذا أثبتت L of X زائد Y
في Y بساوي L of X زائد L of Y، الآن عندي اللي هي E
of Zero بيساوي واحد، خذ لي ال L للجهتين بيصير L of
E of Zero بيساوي L of واحد، ال L of E of Zero هذيك
inverse التانية بيساوي Zero، نفس الشيء الـ L of E of
1 بيساوي L of E، مظبوط؟ الـ L of E of 1 بيساوي 1،
بيصير L of E بيساوي 1، بيصير أثبتنا L of E بيساوي 1
و L of 1 بيساوي 0، وهذا الكلام كلام سهل، طيب بيصير
علاقة أنه سهل اللي بنحكيه، الآن
نأتي نثبت اللي هو اللي هي L of X to the R بساوي
Zero، بساوي R في L of X، هذه برضه بنثبتها By
Mathematical Induction، عملناها قبل هيك باللي هو
ال section اللي قبله أو اللي هو ال exponential
على السريع نشوف التفاصيل لأنه التفاصيل معادة
التفاصيل حتلاقيها معادة فخليني بسرعة نمر عليها
عندي we show by induction L of X بساوي L of X زي
ما قلنا عشان نثبتها هذه، أثبتنا اللي قبل بشوية، L of
X، ما أعرفش الرقم أصلاً، أفصل ولا لأ؟ لكن بدي أفصل لو
إنتو عندي، لو إتفّقنا أن نفصل ولا لأ، L of X في Y
بساوي L of X في L of Y، of x was n بساوي n في L of x
طبعاً for n بتساوي واحد اللي هي a trivial، نفترض
أنها صحيحة لـ L لـ n بتساوي k بيصير L of x was k
بساوي k L of x، الآن بدنا نحسب لـ L of x was k زائد
واحد اللي هي بساوي L of x was k في x، هذه الـ L لها
حسب اللي هي الخاصية هذه، بساوي L الأولى X plus K في
L التانية، L of X اللي هو مفترض إنها صحيحة على K ده
بساوي K في L of X، آسف زائد، هذه بساوي K L of X لأنها
صحيحة لـ K زائد L of X ويساوي K زائد واحد في L of
X، إذا صارت هذه صحيحة اللي هي L لـ K زائد واحد، إذا
صارت صحيحة لكل من، لكل N element in N حسب اللي هو
ال induction اللي بنحكي فيه، إذاً الآن أثبتنا أن L
of X هو N لـ L of X لكل اللي هي عندي الآن، by VI اللي
هو زي .. مشابه للي حكيناها قبل بشوية بالضبط، في حد
ال exponential بس خليني مش وشكلة نعاودها، الآن شوف L
of XM minus M أيش بتساوي؟ L of واحد اللي هي لأن هذا
X هو صفر اللي هي L of واحد، L of واحد مش قولنا
عنها صفر هو يساوي L of XM في XM minus واحد، ال
logarithmic بطلع إن تجمع L of XM زائد L of X minus M
لأن هذه أثبتناها عبارة عن M L of X زائد L of X
minus M، صار عندي الآن M في L of X زائد L of X
minus M بساوي صفر، انقل لي هذا على الجهة الثانية بيطلع
L of X minus M اللي قعدت لحالها بساوي ناقص M في L
of X، إذا صار عندي الآن لكل M سواء موجبة أو سالبة
بيطلع عندي اللي هي L of X ناقص M بساوي M في L of X
سواء كانت موجبة أو سالبة، نيجي الآن منها بدنا نأخذ
لمين؟ لـ اللي هي ال R، لأن therefore for any M
element in Z و N element in N، عندي احسب لي الآن L of
X أس M على N، بس ضرب ليها في N بعد إذنك، Y ساوي اللي
هي L of X أس M على N لكل ما له أس N لإنه صحيحة هذه
لل N اللي هي في N واتفقنا عليها الآن، هذه بتساوي
هذه واضحة لأن هذه هي ال X تبعتنا وهذه ال N بتطلع
برا، الآن هذه الآن مع الآن بيصير L of X plus M L of
X plus M قبل بشوية بقى قولنا عنها بيساوي M L of X
سواء كانت M positive أو اللي هو negative صار هذه
بتساوي هذه، إذا انقل لي الآن، الآن هذه ان بيصير عندي L
of X of M على N بيساوي M على N في L of X، إذا صار
عندي لأي rational number، صار عندي L of X R بيساوي R
L of X لكل R اللي بتنتمي ل NQ، نيجي الآن لـ اللي هي
الجزء الأخير من النظرية
الكلام مشابه للي حكيناها قبل بشوية في الإثبات اللي
هو ال limit تبع ال exponential عند 2 أصغر من E
وقلنا ليش الآن، ال E n هنا بيصير 2 أصغر من E أصغر
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر
من E أصغر
لكن اللي هو L of E N بساوي N واللي هي L of E
minus N بساوي ناقص N، خليني في الذاكرة هذول، إذا for
every N element in R there exists X element in R
بحيث أن X أكبر من مين؟ من N، لكل N element in N في X
element in R، أكيد X أكبر من مين؟ من E N لأنه أخذت
N بين إيديا حسبت ال E N طلع عندي رقم أخذت ال X أكبر
منها، كيد بالله، طيب، لأنه unbounded real numbers
then L في هذه أكبر أو من L في هذه، لأنه ال L
strictly increasing، إذا صار L في X أكبر من مين؟ من
ال N ألف E N، يعني أكبر من الآن، لأن limit هذه as
x goes to infinity اللي هو بيكون أكبر أو يساوي اللي
هي limit هذه as n goes to infinity ويساوي infinity
لأن لكل لما الآن تروح لما لا نهاية أكيد ال X بتروح
لمين؟ إلى ما لا نهاية، فصار عندي هذه بتروح إلى ما
لا نهاية، الآن صار عندي limit L of X لما X تروح لما
لا نهاية بيساوي ما لا نهاية، similarly الآن لكل ناقص any
element in z positive بلاقي x element in r
positive بحيث أن x أكبر من صفر وأصغر من صفر و
أصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من
صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر و
أصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من
صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر و
أصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من
صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأطيب، then L of X
هيكون أصغر أو يساوي ال E to the minus N، يعني L of X
اللي هي أصغر أو يساوي ناقص N، إذا as N goes to
infinity، as N goes to infinity اللي هو ال E to the
minus N بيروح لل 0 من اليمين، إذا ال X بتروح لل 0 من
اليمين، إذا عندي ال X بتروح لل 0 من اليمين، اللي هو
أصغر لما الـ limit L of X أصغر من limit E to the
minus N لما هذا يروح لـ 0 من اليمين، أو بمعنى آخر
لما الـ N تروح لما لا نهاية وهذا بيروح لمين؟ لـ
Infinity، إذا limit L of X لما X تروح لما لا نهاية
بساوي سالب Infinity وهو المطلوب، hence limit L of
X لما X تروح لـ 0 من اليمين بساوي سالب Infinity
طيب
الآن سارّعنا، الآن نقدر أن اللي هو نحكي عن ال bar
functions، بدنا نعرف ال bar functions اللي هي بناء
على اللي حكيناه واللي هي موضوع ال bar functions
كل ما فيه تقريباً يعني بنعتبره exercises احنا لكن
خلينا نعرف التعريفات والنظريات بتكون اللي هي
معاكم exercises بسيطة بناء على التعريف اللي
بنعرفها، اللي هناخذه α يليمنتان R و X أكبر من 0، The
number X to the Alpha is defined to be .. الآن بدي
أعرف حاجة اسمها X to the Alpha، X to the Alpha بدي
أعرفها .. إيش بدي أعرفها؟ بإيش أنا معرف عندي من
الأصل ال exponential معرفة .. خلصنا منها وال ln
معرفة .. إذا E to the Alpha في ln ال X، هذه المقدار
لهذا معرف وهذا معرف بدي أسميه X to the Min to the
Alpha اللي هو في الواقع عبارة عن Min E to the
Alpha L of X، L of X معرفة والـ E معرفة إذا كل هذه
معرفة بتسميها X to the main to the alpha، الآن صارت
عندي يعني قيمة الـ X under this function اللي
عرفتها لجديدة يعني إذا بتسميها دي ال function الـ
R of X إيش عرفتها أنا بتساوي X to the alpha؟ يعني
كل ال X بتصير يشمل X to the Alpha و X أكبر من 0
هذه ال X to the Alpha هي اللي بدي أسميها ال power
function، بدي أسميها power function with exponent
mean Alpha وال X هي أشمالها المتغيرة اللي أكبر من
0، شوف الآن نشوف بعض الخواص اللي هو هذه اللي هي
الدالة، طيب
الآن if x أكبر من 0 and alpha بساوي m على n where
m element in z و n element in n then we define x
to the alpha بساوي x to the m أس واحد على n in
section mean خمسة وستة هتعرفناها زمان إنه في حالة
بس اللي هي ال rational number عرفنا x to the m على
n بساوي x to the m لكل أس واحد على n، ماشي الحال
..الآن بدنا نشوف هذا التعريف مطابق لتعريفنا اليوم
ولأ hence we have لن ال X to the Alpha لن ال X
to the Alpha لن ال X to the Alpha بيساوي Alpha لن
ال X عرفناها هذه طيب where X to the Alpha بيساوي E
to the Ln X to the Min to the Alpha اللي هو بيساوي
E to the Alpha في Min في Ln ال X كلام كله سهل ال
X to the Alpha هو اللي عرفناها اللي عبارة عن E
بتصير to the Ln X to the Alpha لأنه استبدلت الـ x
to the alpha بقيمتها اللي هي عبارة عن اللي هي
Alpha Ln x اللي هي بيساوي E to the Ln x to the
Min to the Alpha إذا سواء احنا بالتعريف اللي هو
احنا هذا بال Exponent أو بال ال Function اللي
عرفناها بالشكل هذا هيطلع عندي اللي هو القيمتين نفس
القيمة طيب
نجي الآن لبعض الخواص اللي هي تبعت ال Exponential
ال Power Function و الخواص هنتركه لكم إياه لأنها
مباشرة على التعريف تبعنا مباشرة
على اللي هي التعريف اللي عندنا و هيكون في عندي
الآن النظرية الأولى اللي هي 8 3 11 لو كانت Alpha
element in R و X و Y اللي هو تنتمي للفترة Zero و
ثمانية Zero و ما لا نهاية آسف then معلش عشان ده طلعت
الكهربا قعد نقلف الكهربا أنا If α element in R و X
Y belongs to 0 α then 1 to the α بيساوي 1 و X to the
α أكبر من 0 و X Y to the α بيساوي X to the α و Y to
the α و X على Y to the α بيساوي X to the α على Y to
the α هذه اللي هي النظرية طبعا اللي هي مباشرة على
تعريفنا اللي هو X to the α بيساوي E of α Ln X يعني
بدك تيجي تستخدم تعريفك اللي هو اللي عرفناه وعليه
اللي هو بتبدأ تشتغل و تبني اللي هو اللي هي
القوانين اللي بنحكي عنها اللي هو تعريفنا اللي هو X
to the alpha بتساوي E of alpha Len اللي هي L of X
أو حسب ال Notation تبعتنا E to the alpha Len ال X
هذا الآن التعريف اللي عليه بدك اللي هو تبدأ اللي
هو تشتغل على اللي هي النظرية و تبرهنها اللي عندنا
النظرية الأولى اللي ذكرناها قبل بشوية اللي هي هذه
النظرية على التعريف مباشرة و نظرية تانية أيضا برضه
من الخواص إذا كانت Alpha و Beta element ر و X في
الفترة Zero ولا نهاية إذا X to the Alpha زائد بيتا
برضه نفس الاشياء طبعا هتلاقي اللي هو انت لما تيجي
تفرد هذه هتصير تستخدم خواص المعرفة اللي هي
بواسطتها معرفة هتستخدم خواص ال X Exponential و ال
لي قبله بشوية هتلاقي حالك بتصل X to the Alpha
زائد بيتا بيساوي X to the Alpha في X to the بيتا و نفس
الشيء X²α²β بيساوي X α beta و يساوي X²β²α و هتيجي
.. اللي هي كلها قوانين احنا بنعرفها X²-α بيساوي 1
على X²α و نفس الشيء إذا كانت alpha أصغر من beta
هيكون X²α أصغر من X²β لما ان X تكون أكبر من 1 و
هذه كلها بتكون X Resources معاكم اللي هي مباشرة
على هذه التعريف النظرية اللي عندنا على السريع let
alpha element in R then the function X بالتروح للـ
X alpha من 0 و 1 to R is continuous and
differentiable and اللي هو ال Derivative لل X to
the alpha بيساوي alpha to the X to the alpha minus 1
for X element in 0 و 1 طبيعي أصلا هي Composition
of two هي عندي Function هذه اللي هي Continuous هذا
كلها على بعض الـ E كمان Continuous ده اللي هتطلع
هذا Continuous و هذا Continuous و نفس الشيء ال
Differentiability إذا أكيد اللي هي ال Function
اللي عندنا X to the X to the Alpha حسب تعريفنا is
Continuous and Differentiable و لو بدك تسمي اللي
هو هذه ال Derivative و بدك تبدأ تفاضل دي اتفاضل DX
Alpha يعني بدك تتفاضل هذه كيف تتفاضل هذه ال
Exponential اللي هي E to the Alpha Ln ال X في
التفاضل اللي هو اللي جوا اللي هو Alpha في واحد على
X ماشي الحال اللي هي بمعنى آخر بصير عندي اللي هو
عبارة عن E to the Alpha Ln ال X اللي هي عبارة عن
ال X to the Alpha نفسها في التفاضل هذه اللي هي
Alpha على X بيساوي Alpha أس X اللي هي هذه بتطلع
ناقص واحد Alpha ناقص واحد for X element in zero
و ما لا نهاية الآن بعض الملاحظات الأخرى اللي بيقولك
إياها على هذه الدالة بيقول بيقول لك اللي هو عندي إذا
كانت Alpha أكبر من 0 فبصير
عندي اللي هي ال Function من X and X alpha is
strictly increasing على فترة 0 و ما لا نهاية طبيعي
لما Alpha أكبر من 0 هيصير عندي الان المقدر هذا
بيظل موجبو هذه ألف أكبر من صفر بيكون بيبقى أكبر من
صفر إذا صارت عندي اللي هي ال Derivative أكبر من
صفر إذا صارت عند الدالة Strictly Increasing لو كانت
ألف أصغر من صفر هتصير اللي هي العكس Strictly
Decreasing لإنه هتكون هذه سالبة و هذه مدلة موجبة
بتظل هذه كلها موجبة إذا صارت Strictly Decreasing
عند ألف بتساوي صفر بيكون احنا ال Derivative للواحد
اللي هو بيكون عبارة عن Constant Function اللي هو
في حالة الألف بتساوي صفر
الآن نيجي الى اللي هي هيك بنكون اللي هو وصلنا
لآخر تعريف بده يعرف اللي هو ال Log Function للأساس
a احنا اللي عرفناه ال Ln اللي هو للأساس e بمعنى
آخر كيف بده اعرفه الآن احنا لسه ما عرفنا الأساسات
هدا كصمنا ال Ln و ال Exponential الآن بدنا نعرف
اللي هو نسمي ال Log الغاريثم للأساس A نفترض أن A
أكبر من 0 و A لا تساوي 1 it is sometimes useful to
define the function Log للأساس A كمالي الآن Log A
of X كده اللي بيساوي Ln ال X على Ln ال A حيث ال A
عدد ثابت ماشي الحال هذه الآن صارت اللي هي ال Log
العامة هي نفس ال Exponential بس مضروبة في ثابت الآن
إذا الـ Exponential الأصلية عليها هو معرف الآن
بيقولك إنه اللي هي هذه بنسميها Log أو ال Logarithm
للأساس A لو كان الأساس E هذا بصير Ln ال E واحد
بنصير نرجع لن ال X اللي هي الدالة الأصلية إذا لو
كانت ال A هي ال E بنرجع للدالة الأصلية اللي هي زي
ما قلنا is called the logarithm of X to the base A
Yields دا الـ Logarithm العادي الآن اللي مشهور
عندنا للحسابات اللي هو للأساس عشرة اللي هو بنسمي
اللي هو Log to the base عشرة أو اللي بنسمي common
Logarithm اللي هو اللي بنستخدمه عادة في الحسابات و
هيك بكون عندنا احنا انهينا اللي هو ال Section اللي
هو ثمانية تلاتة و بكون خلصنا اللي هي الجزء الثاني
من المحاضرة اللي هو ما يتعلق بال .. اللي هو ال
Logarithmic Function و ال Power Function و ال
Logarithmic للأساس اللي هو زي ما قلنا ايه و إلى
لقاء