بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين
والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد على
آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 22 في مساق
تحليل حقيقة نيل لطلاب وطالبات الجامعة الإسلاميةقسم
الرياضيات في كلية العلوم عنوان المحاضرة اليوم
هنكمل chapter تمانية هيكون في عندي اللي هو
applications على اللي هي تمانية اللي هي واحد و
تمانية اتنين المحاضرة اليوم اللي هي هنحكي عن the
exponential and the logarithmic functions هنحكي عن
اللي هو دالة ال E to the X ودالة ال Lin أو دالة ال
logالان هنثبت اللي هو من خلال .. في البداية هنحكي
عن اللي هو ال exponential function أو هنثبت اللي
هو وجود ال exponential function
احنا استخدمناها قبل هيك مجرد أمثلة بعيدا عن اللي
هو انه اللي هي مفترضنا انه معلومات موجودة مسبقا
ولا تناقض اللي هو انه نثبتها اليوم لإنه اثباتها
اليوم لا يعتمد على اللي حكيناه سابقا بما يخص
بأمثلة اللي ذكرت فيها ال exponential الان ال
exponential function بدنا نثبت وجودها ايش اللي
بنقوله نشوف عبر ال theorem 8 3 1 theoremبقول there
exists a function U دلّة E من R ل R إذا في عندنا
دلّة اسمها E من R ل R such that الـ E prime of X
لها بساول EX لكل X element in Rإتنين E of Zero
بساوي إيش واحد يعني الآن النظرية دي بتقولي إنه
يوجد عندنا دالة domainها كل ال R و rangeها بروح
بصوب في ال R هذه الدالة تحقق شرطين اللي هي E prime
of X بساوي E of X و E of Zero بساوي إيش واحدالان
نجي اللي هو بدنا نثبت وجود هذه الدالة ايه التي
تحقق اللي هو الخواص اللي عندنا المذكورة فيه اللي
هي نظريا الان خلينا عشان نروح باتجاه اثبات وجود
هذه الدالة خلينا ناخد we inductively define a
sequence of continuous functions as follows بدي
الآن اعرف اللي هو sequence of functionsالأولى
اسمها E1 of X بتساوي واحد زائد X طبعا هذه الدالة
موجودة E1 of X بتساوي واحد زائد X هي دالة خطية
الآن بدي أعرف ال E2 ال E2 of X بساوي ال
integration واحد زائد ال integration من سفر لعند X
اللي هو E1 of X D أو E1 of T DTإذاً الـ E2 بدي
أجيبها من مين؟ من الـ E1 طبعاً بتيجي الـ E والـ E2
اللي هي عبارة عن واحد زائد هذه واحد زائد T اللي هو
تفاضلها زي ما انتوا عارفين تكملها اللي هي Tزائد
اللي هي T تربيع على اتنين من صفر لعند X ويسوا واحد
زائد X زائد X على X تربيع على اتنين هذه الدالة من
هي E2 of X E3 of Xبتعرفها بنفس الأسلوب بالساوي 1
زائد الـ integration من 0 ل X لدالة اللي وجدتها
قبلها اللي هي E2 of T DT بضل أسائي ساير في التعريف
بقول in general بتعرف ال E N زائد 1 of Xبساوة الـ
1 زي ال integration من 0 ل X EN of T DT إذن الآن
عرفت اللي هي ال E1 of X بساوة 1 زي X ومنها عرفت
اللي هي E2 وE2 عرفت منها E3 وE3 عرفت منها E4 وهكذا
ال EN زي ال 1 of X هتساوة 1 زي ال integration من 0
ل X لل EN اللي جاب الها ديof D D T لكل N element
in N و لكل X element in M in R نيجي الآن نطلع على
الملاحظات اللي بدنا نحكيها عشان نستخدمها الان 1
زائد X دالة متصلة مش متصلة أصلا بس هي أصلا قابلة
للتفاضل أيضا اللي هي differentiable الان بناء عليه
مدام ال E1 is continuous هتكون اللي هي E2E2 هي
الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1
هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ
E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1
الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ
E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش
للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي
الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1
هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 ال
الآن F.E.L
in on R then it is integrable over any bounded
interval زي ما قلنا مدام هذا continuous اللي هي E
اللي هي 2 continuous ومن هنا هتطلع E 3 continuous
وE 4 continuous إذا صارت هذي دايما continuous وده
continuous وده integration exist و by fundamental
theorem هذا ال integration كله على بعض can be
differentiatedوهتكون الهو ايش is differentiable
ومنه so EN زائد واحد is well defined by the above
formula moreover زي ما قلت it is from fundamental
theorem of calculus ال second form اللي هي سبعة
تلاتة خمسة هيكون عند ال EN زائد واحد is
differentiable ومش هيك وتفاضل هذه زي ما احنا
عارفين بساوي بنشيل ال integration طبعا التفاضل بلغ
ال integrationبصير en of x فبصير عندي ال en زائد
واحد prime of x موجودة ويساوي en x for all n
element in N إذن الآن عملنا sequence ال sequence
هذه طلعت sequence of differentiable functions و ال
derivative لل en زائد واحد prime هي بترجع لمين
بتيجي اللي هي ال en of xطيب الان هذا كله و ده
خليني اسميها تلاتة و خليني نحضر حالنا نصل للي بدنا
ياجولكم وين هنصل في الآخر هوصلكم انه اللي هو ال
limit لهذه ال sequence او لهذه ال sequence هي ال E
of X اللي انا بثبت وجودهاوستكون اللي هي بتحقق
الشروط اللي حكيناها خلّينا نشوف ما لاستعجلش نشوف
إيش اللي بدنا نصلله إذا اللي عملناه كوّننا
sequence sequence زي ما قلنا اللي هي ال sequence
بدأت عشان يبقى لكم الذاكرين E1 of X بساوي واحد
زائد X E and زائد واحد of X بساوي الانتجرأت واحد
بسوء واحدة زي الـ integration من صفر لعدد X E N of
T DT خلّين هذولة أمامنا طبعاً N element in N عندي
و X أي element وين in Rطيب إذا الان سار عندي اللي
هو ال .. ده اللي هذي is differential لان بقوللي
انه ابن الدعي ويمكن لو حد شاف قبل بشوية ما وصلنا ل
E2 E2 كانت عبارة عن واحد زي دكستر بيه على اتنين
اللي هو اللي هي اتنين factorialلو كملنا هيكون E N
of X بتساوي 1 زياد X على 1 factorial X تربيه على 2
factorial زياد X وصف N على 100 على N factorial لكل
X element in R هذه الـ N صحيحة اللي هي لكل N
element in R اللي هو طبعا اثباتها سهل نثبتها by
induction خلينا نشوف كيفنا نثبت أربعة by induction
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أfour is
a true four and بتساوي كتابة يعني صار عند الالالـ
E K of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial زائد X
تربيع على 2 factorial زائد X أُس K على K factorial
هذا لما نفرض إن اللي هي .. اللي هي الأربعة is true
for N بتساوي K بدنا نثبت إن E K زائد 1 هتطلع اللي
هي هذهزائد x أس k على k زائد واحد فيكتوريا اللي
على ال net بتطلع أربعة صحيحة for k زائد واحد ده
نحسب خلّينا نحسب الآن E k زائد واحد of x حسب اللي
احنا مفترضينه أو معرفين ال sequence على أساسه E k
زائد واحد of x أيش بتساوي واحد زائد ال integration
من صفر ل X E k of T DTمظبوط؟ طيب الان بدي اعوض عن
E K of T احنا مفترضينها صحيحة ل K اذا E K of X
هيها اذا باجي بعوض بيصير Y ساوي واحد زائد ال
integration من صفر ل X E K of T اللي هي واحد زائد
T زائد T تربيع طبعا واحد فيكتوريال اللي هي واحد
على اتنين فيكتوريال زائد لما أصل X أو T أس Kعلى K
فكتوريال الكل إشماله DT لأن اللي هي أكيد وضحت
الصورة بدل الفاضل نطلع قيمة التفاصيل الكامل و نطلع
قيمة التكامل و يساوي واحد هيوزايد ما هو جاعد زاد
هذا ال integration اللي هو عبارة عن Tزائد T تربيع
على 2 في 1 يعني 2 factorial زائد T تكعيب على 3 في
2 factorial يعني 3 factorial زائد لما أصل لآخر 1 T
أُس K زائد 1 على K زائد 1 في K factorial هي K زائد
1 لكل factorial هذا الكلام من 0 لمين؟لعند X واضحة
الصورة ويساوي عبارة عن لما اعوض من 0 ل X بيصير 1
زائد X زائد X تربيع على 2 factorial لما أصل لأخر
واحد X K زائد 1 على K زائد 1فاكتوريال إذا فعلاً
طلعت عندي a k زائد واحد بساوي هذا المقدار يعني
بمعنى آخر أربعة طلعت ال true for n بتساوي k زائد
واحد إذا من كل هذا ال induction بنكون أثبتنا أن e
n of x بساوي هذا الكلام لكل x element in R لكل n
element in Nإذاً هذه صورة اللي هي الـEN of X صورة
غير الصورة اللي عرفناها فوق استنتجناها منها الآن
خلّينا نروح باتجاه إثبات إنه ال limit للـEN هذه أو
الـEK أو الـEN أو اللي هي is uniformly convergent
to some function هذه الـ some function هي اللي
بتدعي انها هتكون ال exponential طيب اللي بنسميها
exponential بعد شوية اللي هي بتحقق شرطين اللي
حكينا عنهم لسه احنا بنعرف ال exponential احنا
بنعرف الدالة هذه لكن لأن معلوماتنا عارفين من اول
ال exponentialالان احنا الدالة هذه اللى هنثبت
وجودها اليوم هي اللى بعد شوية بعد ما نثبت ال
uniqueness لها بنسميها ال exponential زي ما هنشوف
بعد شوية الان اذا ال sequence اللى عندى هذه
هيوضعها الان قلنا E Nof X هذه المعادلة التانية هي
واحد زائد X زائد X تربيع على اتنين factorial زائد
X أُس N على N factorial وهذا الشكل طبعا أنتوا مش
غريب عليكم بتعرفوه الآن خليني أخد الان let A أكبر
من سفر بيه given افترض ان A اني اللي هو real
number أكبر من مين من سفر باخده arbitrarily لكن
خليني نحكي عن A محددةالان if absolute value of X
أصغر أو تساوي A يعني بتحكي الحديث هان على ال Xات
اللي في ال R اللي من عند ناقص A لعند مين ال A يعني
ال absolute value لهن هذولة أصغر أو تساوي ال A
يعني في الفترة المغلقة اللي أمامي اللي بين ناقص ال
A و ال A بتتحدث شوف الآن احسبلي Em of X ناقص En of
Xو يساوي و بدنا نفترض لكم ان الان ايه شمالها اكبر
من الان و الان اكبر من اتنين ايه اتنين ايه مكتوب
اتنين ايه لغرض الحسابات اللي جيت منشوفها بنفع
تلاتة ايه، بنفع اربعة ايه، بنفع خمسة ايه، بنفع ستة
ايه، بنفع كله بنفع هذا الكلام على اساس انك ماينفعش
اقول نص ايه او تلت ايه او ربع ايه لأنها مش هتقد
الغرض اللي بدي انالأن مين اخترت أنا اخترت اللي هو
الأمات والأنات اللي أكبر منين من اتنين في الـA
اللي هي قيبة مين الـA اللي هي نص الفترة اللي عندي
أو طول نص الفترة طيب، احسبلي ايه M of X ناقص Y of
X؟E M of X اللي هي عبارة عن واحد زائد X زائد X
تربيع و هجابل في الطريق من ال X M لأنه M أكبر X
تربيع على M فكتوريال زائد X M زائد واحد على M زائد
واحد فكتوريال لما أصل الأخر واحدة من X أُس M على M
فكتوريال يعني الآن هذي هيكون زي هيك لما أصل طبعا X
M زائد واحد على Mزائد واحد factorial زائد لمّا أصل
لعند X أُس M على M factorial هذه مين هي هذه عبارة
عن ال EM يعني ال EM هتساوي اللي هي E of XE N of X
زائد المتبقي هذا الان حاصل طرح الاتنتين هيكون
عبارة عن لإن المفترض ال M أكبر من L زي ما قلنا
حاصل طرح اللي هيكون اللي هو المتبقي هذا X N زائد
واحد على N زائد واحد فيكتوريال لما أصل ل X M على M
إيش فيكتوريال ماشي الحال إذا الأن أوصلنا لحاصل طرح
دولة بساوي هذا المقدر نيجي نكمل الأن عندي
عند ال absolute value لل X أصغر من 100 من A
زائد absolute value زائد xn زائد اتنين على n زائد
اتنين factorial زائد لما أصل لأخر واحد x أسم م على
m factorial ماشي الحال طيب الآن ان ان كل x من
هدولة ال absolute value هي أصغر يساوي منين ايه إذا
صار هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار اللي هنا
أصغر أو يساوي Mزائد واحد على N آسف A أُس N زائد
واحد لأن ال absolute value X أصغر تساوي A إذا X N
زائد واحد أصغر أو ساوي ال A أُس N زائد واحد على N
زائد واحد factorial زائد التاني اللي هو A N زائد
اتنينعلى n زائد 2 factorial زائد لما أصل لآخر واحد
اللي هو عبارة عن a أس m على m factorial ماشي الحال
طيبالان خليني اخد من هدولة ال a n زائد واحد على ال
n زائد واحد factorial عامل مشترك قبل ما اصلح هذه
الخطوة لسه اه خليني اخد عامل مشترك بيصير عندي a n
زائد واحد على n زائد واحد factorial فاش اللي بيضل
هنا فيه اللي بيضل هنا واحد زائد هنا بيضل a على n
زائد اتنين اكيد زائد اللي بعدها a تربيع على nزائد
اتنين فان زائد تلاتة زائد لما أصل لآخر واحد مين
آخر واحد بشيل منه ان زائد واحد بيصير a أس ام ناقص
ان ناقص واحد على اللي بيضل من ان زائد اتنين مضروب
لعند ان ام ناقص ان ناقص واحد هذول الأنماشي الحال
هذا أخد تمين يا جماعة ماعليش دخل الكلام مع بعضه بس
أكيد أنتوا مستوعبين إيش بقول طلعت ال a n زائد واحد
على n زائد واحد في كتوريا العام المشترك طلع عندي
هذا المقدار الان عندي أكيد ال n زائد اتنين أكبر من
مين من ال end فمقلوبه أصغرأه فبصير عندى اللى هو
عندى اللى هى هذا المقدار a n على l زائد 2 أصغر أو
شاوي a على n و اللى بعده a تربيع أصغر أو شاوي ا ا
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا
أكبر من أنه وهذه أكبر من أنه فمقلوبهم بيصير هذا
المقدار أصغر اللي هو أو يساوي المقدار اللي بعده
بيصير عندى هذا المقدارأصغر أو يساوي هذا زي ما هو و
هذه واحد هذه a على n لأنها هتكون أكبر a تربيع على
n تربيع ان تربيع هتكبر لما أصل ل a m minus n نقص
واحد على m minus n نقص واحد لأن هنا دولة عددهمن
نقص واحد من الانز هيكون ان طبعا استبدالت كل واحدة
بان فهيطلع بالشكل هذا وبتظل ال inequality صحيحة
خلصنا من هذا طيب دعونا نشوف كيف أضبح لكم هذا دعونا
نخلص منه نجي الآن اللي هو نرجعانكمل الحسبة هذا
الان المقدار عندى اللى هو المقدار هذا هيه اتطلعوا
عندى ال a ال a على n ايش انا ماخد ال n ماخد ال n
اكبر من مين من اتنين a يعني ال a اصغر من n على مين
على اتنين مظبوط ال A أصغر من N على اتنين واضحة جسم
ال N على اتنين و N على اتنين صارت N على اتنين أكبر
من مين من ايه بدي استخدمها الآن هذه ال N بصير أصغر
أو يساوي هذا المقدار بصير أصغر أو يساوي هذا بحكي
عن هذا بصير أصغر أو يساوي اللي هو Aأُس ان زائد
واحد على ان زائد واحد الكل فكتوريال فيه اللي هو
واحد زائد ا على ان زائد ا تربية على ان تربية زائد
ا اللي هو ا تكعيب على ان تكعيبزائد مش بتصل لهذا
زائد و بتظل ماشيها يشمالها إلى ما لا نهاية يعني
بتضيف عليها a على n أس ام ناقص n a على n أس ام
ناقص n زائد واحد وهكذا تظلها إلى ما لا نهاية يعني
بتحولها لمين ل infinite series طيب احنا قلنا ال a
أصغر من n على 2يعني ال a n على n أصغر من مين؟ من
نص عرفته الأن إيش بدأ أسأل صار عندي هذا المقدار
أصغر أو يساوي a أس n زائد واحد على n زائد واحد لكل
factorial مضروب في مين؟ اللي هو واحد زائد نص زائد
نص تربيع أه لأن a على n أصغر من مين يا جماعة؟ من
نص زائدتربيع زاد نص تتعيد زاد الآخرين لأن هذه صارت
عبارة عن geometric series مجموحها هذه بتساوي مجموح
هذه عبارة عن واحد على واحد ناقصه اللي هو نص وهي
ساوي جداش اتنينماشي إذا هذا المقدار اللي هو صار
عبارة عن اتنين في هذا المقدار اللي هو وصلنا له
أصغر أو يساوي a n زائد واحد على n زائد واحد
فيكتوريا مضروب في مين؟ في اتنين يعني حسابات هذه
طيب إذا صار عندي الآن هاي اللي بدي أصله و اللي
كاتبه باختصار هو لإنه بيعتبر ان الباقية حساباتي
بتعرفوا تحسبوها em-n of x of x أصغر أو يساوي هذا
المقدار على مين؟ على اتنينالان شوف ما يليه الان as
n goes to infinity هذا المقدار هذا المقدار as n
goes to infinity ال limit بتروح للصفر لأن a n زائد
واحد على n زائد واحد كل factorial as n goes to
infinity ايش بده يروح للصفر يعني بمعنى اخر مدام
بده يروح للصفر طبعا وذا كبرت الان بتكبر مين برضه
مباشرة ام لأن ام اكبر منها اذا four
for large ن و أم we get
E M of X ناقص E N of X اللي هي أصغر أو يساوي من
هذه هذه أصلا for large N as N goes to infinity هذا
المقدار بيصير أصغر من أي ي في الدنيا اللي هي بيصير
أصغر من مين من ي أو أصغر أو يساوي ي as N و M
become very very largeماشي الحال لإنه ال limit لل
a n على n فكتوره ليش بيساوي بيساوي سفر إذا صار
عندي الآن اللي هي E m of X E n of X أصغر وشوى Y
لكل X وين موجودة في الفترة A ماقص A أو A ماشي
الحال الآن بناء عليهالان لكل X بغض النظر على ال X
اللي هو بيكون عندي أنه I'm very large وبيعطيني هذا
أصغر وسوء من إبسلون وهذه اللي سميناها Cauchy's
criterion for uniformاللي هو convergence في ال ..
اللي هو section 81 بناء عليها بطلع عندى E and اللي
هو converges uniformly to some function مش
عارفينها اللي هي .. اللي هي converges uniformly on
mean سالب a أو a باشي الحالة الالالآن عندي it
follows the sequence a and a converge uniformly on
the interval ناقص a و a where a أكبر من 0 لكن a
أكبر من 0 was a شمالها arbitrarily يعني اللي وصلنا
له ما ياليا يا جماعة اللي وصلنا له أنهعندي اللي هي
الـ sequence هذه لو جيت أخدت for every a element
in R و a أكبر من سفر لو وصلنا له اللي كانت a
arbitrarily وجدنا أنه هيكون عند الـ EL converges
uniformly on ماقص a و مين و a ماشي الحال طيب بناء
عليه لو أنت جيت أخدت خد الآن letX element in R، أي
X element in R، مدام X في R، إذا أكيد الـ X عشر،
عشرين، تلاتين، مليون، ممكن ما تكون،بقدر ألاقي A
بحيث أن X تنتمي إلى الفترة من ناقص A لعند مين لعند
إيه يعني مثلا ال X لجيتها 100 باخد ال A 110 بصير
ال X بين اللي هي ناقص 110 و100 إيش ما تيجي X بلاقي
لها Aإذا there exists a such that x element in a
minus a أكبر من صفر طبعا minus a ومين أو a أكيد طب
ما هو احنا قد أثبتنا انه لكل a element in R
Converge uniformly للـ A اللي لاجناها هذه On ناقص
A و A لهذه الـ A يعني بمعنى معناه مادام Converge
uniformly لإذا E N of Xاللي هو converges point
-wise to some function عند مين؟ عند الـ X اللي
أخدتها هانا هذه إذا الأن for any X element in R
for any X element in R هنلاقي E N of X convergesما
دام ال E N of X is convergent for every X element
in R إذا صارت عندي limit ال E N of X as N goes to
infinity exists for every X element in R ما دام
exist حسب اللي قلناها إذا الآن شرعت لتعريف الدالة
التالية الآن أنا بقول إنه احنا صار عندنااللي هو
مشروع ان نقول we define E من R لR by limit E N of
X اللي هي موجودة سميتها إيش اسمها E of X for X
element of Rوجود اللي هو دالة اسمها E أنا سميتها E
من R لعند R بحيث ان E of X هي limit ال E أنه VIX
اللي أثبتت وجوده بدي أثبتلك الأن أن E of X هذه هي
الدالة المبتغة اللي بتحقق الشروط اللي طلبها في
النظرية نشوف كيف طيب صلوا على النبي عليه الصلاة
والسلام
الان عندى ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال ..
converge such that x element ناقص a أو a كلها هذه
الـen converged uniformly الان لمن؟ للـe معايا
converged uniformly للـe for every أو on ناقص a أو
a لأنه سمناها إيش اللي هي ال limit بتروحلها اسمها
إيه الآن en اتفجنا إنه أثبتناها إنها إيش معالها
continuous مادام continuous و en اللي هو طبعا
continuous مش بس على ناقص a و a continuous وين
مكان احنا الآن هنحكي عن ناقص a و a continuous صارت
ال en continuous sequence converts uniformly to e
على ناقص a و a إذا صارت ال e هذه حسب نظريتنا هتكون
continuous نظرية الأولىفي سيكشن 8 اللي هو 2 هتكون
الـ E is continuous على ناقص A و A قولنا if E N is
a sequence of continuous functions that converge
uniformly to some function then this function or
some function is continuous on ناقص A و Eإذا صارت
ال E continuous على نقص A و A يعني ال E continuous
عند من؟ عند ال X و since X was arbitrary in R then
E هتكون is continuous على كل ال R إذا صارت عندي E
is continuous at any X element in R الآن لو جينا
حسبنا ال E N of 0 و E 1 of 0 و E 1 of 0 أشو
بالساوية؟ هي واحدE اللي هو N زائد واحد of Zero
اللي هو بساوي من سفر لسفر هيطلع سفر وهذا واحد يعني
دايما ال E N of Zero هتطلع إيش؟ Zero مدام E N of
Zero Zero وبما أنه E is continuous إذن limit ال Eن
of zero as n goes to infinity بسوء اللي هو E of
zero أو E of X أسف E of X as n goes to infinity
بسوء E of X وبما أنه اللي هواللي هي ال ال ال ال ال
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال
ال الأنا كنت بخلطها أنا بقول E n of 0 بساوي 1
limit E n of X بساوي E of X وال E is continuous
إذا الحيكون ال E of 0 هذه هتساوي إيش؟ هيساوي 1
لأنه limit E n of 0 point twice بساوي E of 0 اللي
هي 0الان e n of zero بتساوي واحد for all and infim
therefore e of zero بتساوي واحد لإن اللي هي e
نفسها is continuous إذا حصلنا على اللي هو الجزء
الأول أذكركم في الظاهرية على اللي هو المطلوب أو
الخاصية الأولىالخاصية الأولى هى الخاصية الأولى هى
عندى أثبتنا .. التانى أسف أثبتنا E اللى هى E of
Zero بالساوية واحدة بدى أثبتلك الأن E prime of X
هتساوي E of X عشان أثبتها بدنا نذكركم في نظرية
أخدناها المرة الماضية اللى هى بتقول ما يليه أذكركم
يا جماعةبالنظرية اللي بستخدمها كانت ان عندي لو في
عندي fn sequence of functions و هذه fn ال
differentiable لأن fn برايم بتروح ل g uniformly
ماشي on some interval on some j وكان عندي fn of x
not converge
converts to f of x not مثلا on j اه for x not
element in j then بقول لي اللي هو ال f هذه f prime
existsو FN converts uniformly to this F او FN
converts uniformly to this F and F' هي مين هي الـ
G هذا حكيناه المرة الماضية طيب، بدأ استخدمها الآن
شوف عنده، ان شوف عنده الـ N أثبتنا او الـ N
interval لاقصية و ايه؟ we have the uniform
convergence of the sequence EN اللي هو هتكون EN
converge uniformly ماشي الحالة of you of me of
تلاتة اللي هو تلاتة اللي حكيناها قبل بشوية خليني
بس نذكركم فيها اللي هي تلاتة هي عندي اللي هي تلاتة
عندي الان conversion formally to some function E
سمناها الان بناء عليه بدلا من الان زائد واحد هي
سافسة الان إذا صارت الان زائد واحد prime برضه
conversion هادي هادي أصلا conversion formally to
مين؟ to ال E اللي عندي الان وضحت الصورة الان صارت
الصورة واضحة الان اللي حصلنا انهانتبه عليا، on any
interval ناقص a و a, we have the inferred
convergence of E n وفي ضوء اللي هو تلاتة, we also
have the inferred convergence E n prime of the
derivatives الآن من ال theorem 8.2.3 اللي حكيتها
هنا، مدام F n prime converges ل Gماشي الحال و ال
.. او ال Fn X0 بتروح ل F of X0 for X0 اللي بتنجح
اللي هو اكتر من النقطة و اصلا على اساس عرفنا ان Fn
of X بالساوي اللي هو مين E of X بتروح لمين لل E of
X اذا اكيد هذه متحققة كمان بالنسبة لمين لل E N
صارت هذه متحققة و هذه متحققة من التحقق هذههذه يا
عزيزي التحقق هذه إذا إذا هيكون عنده ال F N بتروح
لل F اللي هي ال E N بتروح لل E صنادر أثبتناها بس
إيش المهم أنه ال F prime لهذه اللي بتروحلها هذه
اللي هي ال E prime هي مين اللي هي اللي بتروحلها ال
E N ال F ال F N prime عند ال E N زائد واحد prime
بتروح لل E
إذا من نظرية إيان ستذهب إلى الـ E برضه وليس كذلك
الـ E' لهذههي هذه يعني بمعنى آخر E N زي دول برايم
برايم limitها ال E برايم زي ما هي مين ال E يعني
مدام الان limitها هي ال E و هي نفسها limitها من
النظرية اللي بنستنتجها E برايم إذا صارت ال E هي
مين ال E برايم أو بطريقة أخرى limit ال E N برايم
حسب النظرية بتساوي ال E برايمومن جهة أخرى limit en
براي هو نفسه limit en نفسهاو limit en اللي هي طبعا
انا مسميها n و n نقص واحد احنا مسميينها n و n زاد
واحد طبيعي en برايم هي limit من limit en نقص واحد
لحالها لأن هذه بتساوي هذه و هذه اصلا limit احنا
اثبتنا ايش بساوي ال E اذا صارت عند ال E برايم هي
ايش بتساوي ال E يعني هذه ال E برايم استنتاجا من
النظريةو هذه اللي هو من اللي أثبتنا في البداية و
أيضا نقدر نستخدم .. لسه نتجه من النظرية لكن أحنا
أثبتنا فيها قبل ما نستعمل المظلةطيب هذا الكلام
صحيح وين لكل x وين موجودة في ناقص a و a لكن a احنا
أخدناها أجمالها arbitrary يعني الآن بيصير عندي
اللي هو لكل x بلقي لواحدة زي هيك بتحقق الكلام هذا
الآن فبصير عندي a prime of x بسوية of x لكل x
element in R وهيك بيكون احنا أثبتنا وجود اللي هو
ال E of Xأثبتنا وجود دالة أثبتنا
وجود دالة سمناها E of Xهذه الدالة بتحقق شرطين اللي
هو E prime of X بساوي E of X وبتحقق الشرط التاني E
of 0 بساوي 1 السؤال الآن هل في غيرها؟ هل في غيرها
ولا لأ؟ طبعا لحظة الحظ أنه لا يوجد دالة غير هذه
الدالة اللي بتحقق هذا الكلامبس قبل ما نثبت الـ
uniqueness خلّينا ناخد بعض النتائج بشكل سريع و
نتائج سهلة و اللي هي ان شاء الله متاخدش وقتها
شوفوا يا جماعة صلوا على النبي عليه الصلاة والسلام
الـ function E has a derivative of every order and
E N of X بيساوي E of X for all N element in N و X
element in Rيعني الآن لو فضلناها كمان مرة و مرتين
و تلاتة و أربعة هتطلع أيش نفس الدالة طبعا هذا
الكلام سهل و by induction زي ما انتوا عارفين أول
حاجة ماثبتها فوران بالساوية واحد فوران بالساوية
واحد ماحنا أثبتنا E prime of X أيش بالساوية E of X
إذا هذه is true فوران بالساوية واحدطيب لان افترض
انها هذه صحيحة في القرآن بيساوي K بيصير E K of X
بيساوي E of X لما ان اتبتها ل K زائد واحد طيب ل K
زائد واحد خد A K زائد واحد of X ايش هذه؟ هذه اللي
هي A K of X الكل اشمالها إبراهيمالان a k of x
فرضناها ايه بالساوية ايه بالساوية ايه بالساوية ايه
بالساوية ايه بالساوية ايه بالساوية ايه بالساوية
ايه بالساوية ايه بالساوية ايه بالساوية ايه
بالساوية ايه بالساوية ايه بالساوية ايه بالساوية
ايه بالساوية ايه بالساوية ايه بالساوية ايه
بالساوية ايه بالساوية ايه بالسا
وضلك فاضل إلى ما لا نهاية حيظل تطلع نفس الدالة نجي
الآن لـ Corollary أو الخاصية اللي بعدها لهذه
الدالة هذه الدالة Fx أكبر من 0 بقولك دايماً حيكون
الواحد زائد X strictly أصغر من مين من E of X من E
of X ان انعندي اللي هي أربعة أربعة عشان تشوف أيش
أربعة الأربعة اللي هي ال E prime of X أظن هيك كنا
حاكين ال E الناس في ال E of X عندي
E
انا of Xأقبى أو أصغر strictly من E N زائد واحد of
X لكل X أكبر من مين من صفر ليه؟ لأن هذه هيزيد
عليها term اللي هو X أسوان زائد واحد على N زائد
واحد فكتوريا وهذا ال term الاكساتي اللي أكبر من
صفر أشماله اللي هو مودة إذا صارت ال sequence اللي
عندي يا جماعة هذه عبارة عن strictly increasing
sequence strictly increasing sequence بناءً عليه
هيكون عند E1 of X أصغر strictly من E2 of X وهذا
أصغر strictly من E N of X لكل N أكبر أو يساوي
تلاتة وال X أشمالها أكبر من سفر ماشي الحال طيب E1
of X مين هي؟ واحد زاد Xوهذا أصغر من E2 of X وهذا
أصغر من E N of X إذا نخد ال limit لكل الجهات as N
goes to infinity وهذا independent of N وهذا
independent of N إذا سيصبح أصغر أو يساوي limit E N
of X as N goes to infinityو limit E n of X as n
goes to infinity هو عبارة عن مين قلنا عنه E of X
إذا صارت 1 زائد X strictly أصغر من E of X أو E of
X أكبر strictly من 1 زائد Xطيب نيجي اللي هو نثبت
الـ uniqueness للدالة اللي أثبتنا وجودها الآن إذا
أثبتنا وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة تحقق
الشرطين اللي قلناهن اللي هو E of E primeof X بساوي
E of X لكل X element in R الشرط الأول والشرط
التاني اللي هو E of Zero بتساوي إياش واحد الآن هذه
الشرط ده اللي أكبرنا وجودها لنتبت إنها إياش وحيدة
الأن الـ function E من R لـ R that satisfies I and
I I هكذا of theorem 8.3.1 is unique إذا ما لها هذه
الدالة وحيدة ونشوف كيف نثبت وحيدة طبعا انتوا
عارفين ال .. الاستراتيجية تثبت انها وحيدة ونفترض
ان في دالتين وفي الآخر يا بنسأل لتناقض أو بنسأل
لإن الدالتين إشمالهم متساويتين خلينا نشوف
لأن let E1 and E2 be two functions on R ماشي الحال
E1 وE2 عبارة عن دالتين من R لR تحقيقان البرو بارتز
I and I I of T والمتمنى هو تلاتة واحد اللي كتبه ان
انا على الجنب هناكالان و خلّينا نسمي E1-E2 يتساوي
F رايحكم باتجاهة F يتساوي 0 إذا أثبتنا F يتساوي 0
إذا سيصبح E1 يتساوي E2 يكون خلصناطيب then فضلي هذه
.. فضلي هذه لأن هذا قبل التفاضل و هذا قبل التفاضل
إذا F prime of X بيساوي E1 prime of X ناقص E2
prime of X E1 prime of X إيش هتساوي اللي هو نفسها
لأن مفترضين احنا و E2 prime of X برضه هتساوي نفسها
إذا E1 ناقص E2 يعني مين بيساوي F يعني صارت F prime
تبعتنا مين هي بيساوي F of X لكل X element المين
إنا احسب اللي دي إيش يا جماعة احسب لولي F في صفرأف
اف صفر بيساوي ا واحد اف صفر ناقص اتنين اف صفر ا
واحد اف صفر واحد و اتنين اف صفر برضه اش بتساوي
واحد لإن مفترضين ا واحد و اتنين بتحفق اللي هي
الشطن الأمامنا إذا بيساوي واحد ناقص واحد و اي ساوي
اش صفر
by induction f double prime هتساوي f نفسها f
triple بتساوي f نفسها fn of x بيساوي f of x وعملت
قبل بشوية واحدة زيها إذا by induction fn of x
بيساوي f of x لكل x element in R إذا حققت الآن f
of 0 بيساوي 0 و fn of x بيساوي مين؟ f of x شوف
الآنأذا صار عندي F of Zero بساوي Zero أو F
بساوة 0طب ايش علاقتنا ابوها الجيت بتشوف عشان بدنا
نطبق اللي هو taylor's theorem تبعت ال derivative
نص اللي اللي بدنا يعني برهان حلو let x element in
R be arbitrary أخدنا إذا x element in R arbitrary
x اللي يعني let I x be the closed interval with
end point 0x يعني I xهناخدها بتساوي 0 و X أو اللي
هي X و 0 على .. على اللي هو اللي هي حسب X اللي هي
سالبة أو مجبة إذا أخدنا ال I X عبارة عن اللي هي ال
closed interval اللي within point 0 X الآن F is
continuous on I Xعلى الـ closed interval مدام
continuous على closed interval and function that
is continuous على closed interval then it is
bounded on this interval يعني بمعنى أخر there
exist k بحيث أن absolute value of f of t أصغر أو
يساوي k for all t element in I X يعني f is bounded
on this intervalالان بدنا نطبق if we apply
taylor's theorem 6 4 1 to F بدنا نطبقها على
النقطتين النقطة الأولى اللى هى ال X X و X naught 0
يعني بنطبقها على مين اللى هى X X اللى هى طبعا
انتوا متذكرين F of Xأف of X تيلر سيوريم there
exists C in اللي هي ال interval مثلا X not و X
such that F of X بيساوي اللي هو F of X not زائد F
prime of X not على واحد factorial في X minus X not
زائد زائد Fn of x0 على n factorial في x minus x0
الكلوس n زائد ال remainder اللي هو fn زائد واحد of
اللي هي ال c اللي لاجيناها there exists c اللي هي
of c طبعا ال c هنا هتعتمد على ال n اللي احنا
اختارناها واشتغلنا عليها هو مسميها cn على اللي هو
n زائد واحد factorial في x
الـ N هو
ما خدها لعند مين بدل ما هو remainder N زائد واحد
نسميه remainder N نفس الشيء مافيش مشكلة احنا
كملناها يعني بدل ما اشتغل على N زي ما اشتغل على N
زائد واحد اشتغل على ال N هو اما هي ال Taylor's
theorem طيب المهم انتبهوا عن ديلنبن Taylor's
theorem على ال interval Ix اللي X0 بيساوي 0
وخلّينا نستخدم Fk of 0 اللي كتبتها هناك اللي هو
هتساوي Fk of 0 هتساوي 0 دايما اللي هو و لكل k
element n it follows thatfor each n unlimited on
there exist a point cn unlimited on x هذه اللي هي
ال cn بتعتمد على مين على n يعني الأن لو أخدت ببدل
اللي هنا على اللي هي on بتساوي مثلا اتنين أخد on
بتساوي تلتة أخد بتساوي on بتساوي أربعة ده هتختلف
من ال cn اللي بنلاقيها such that f of x بيساوي f
of zero زيد f prime of zero على واحد factorial في
xطبعاً نقص صفر X هتظلها زائد FN نقص واحد لأن نقص
واحد factorial في X minus X note اللي هي صفر طبعاً
هتصير X نقص واحد زائد FN of CN على N factorial X
أثن يعني هنا ناخد ال remainder اللي هو RN مش RN
زائد واحد زي ما نعمله طبعاً ماتفرجشبتزيده و بتشتغل
عليه نفس الاشي الان بس ال cn اللي بتختلف من n زائد
واحد بصير cn زائد واحد مثلا لأنه حاجة تانية ممكن
تيجي غير ال cn اللي لاجيناها حسب النظرية و يساوي
لأن كل هدول التاريج زي شمال هي الصفار لإنه fk of
00 إذا هذا سفر وهذا سفر طبعا هذا عند مين محسب عند
السفر وهذا عند السفر إلى آخرهإذا كل هذول هيكون
الصفار هيظل عندى بس القيمة هذه ايش القيمة هذه اللي
هي fn of cn طبيعي هتكون f of min of cn لأنه احنا
عرفنا انه ال derivative f primeأف دابل برايم أف
تريبل كل نياش بيساوي الأف إذا حيكون أف of CN على N
فيكتوريال في X أُس N إذا وصلنا له الآن أنه بعد ما
طبقنا Taylor's theorem طلع عندي الآن F of X هذه
اللي بنصبه إلى أن نثبتها بتساوي صفر طلعت عندي F of
X بيساوي F of CN على N فيكتوريال في X أُس Nالان خد
لل absolute value لها absolute value لل F of X
هيصير اصغر او يساوي ال absolute value او بيساوي
بالظبط absolute value F of C N فال absolute value
للـ X أُس N على N فكتوريال، مظبوط؟ لكن F of C N
هذه is .. الـ F is bounded على الفترة اللي لجيناها
اللي هي الفترة اليمين اللي قلت عنها اللي هي الـ I
X مدان bounded قلنا هذه أصغر أو يساوي الـ K إذا
هذه بيصير أصغر أو يساوي الـ K في ال absolute value
X أس N على N فكتوريال نيجي الآنهذه as n goes to
infinity هذه independent of n هذه أكبره يساوي سفر
و أصغره يساوي هذه as n goes to infinity هذه بتروح
للسفر إذا هذه بتروح أشمالها بدها تصير f of x تساوي
السفر ومنه ال E1 بتساوي ال E2 لأن f بتساوي E1 ناقص
Eإتنين وهو المطلوب وهذا الكلام صحيح لكل X element
in R لأن X اللي أخدناها arbitrary element in R هيك
بنكون أثبتنا وجود ال E واحد ال E التي تحقق الشرطين
اللي عندنا وفي نفس الوقت أثبتنا أن هذه الدالة اللي
بتحقق الشرطينهي دالة وحيدةمدام الدالة واحدة إذن
الآن يعني شرّعنا إنه نعطيها اسم إنه نقدر نعرف
الدالة اللي بتحقق هذول الشرطين إنها اسمها كذا the
unique definition ثمانية تلاتة خمسة the unique
function E من R لR such that E prime of X في سوء E
of X for all X elements in R وتحقق ال E زيرو
بالسوء واحد موجودةووحيدة إذا بحق اللي أقول is
called the exponential function وهي الـ
exponential اللي أنتوا مبسوطين عليها و بتستخدموها
أثبتنا الآن من خلال اللي هو اللي هي الترتيب اللي
رتبناه في المادة differentiability integrability و
بعدين اللي هو sequences of functions وصلنا إلى
اللي هو ال exponential هذه function existsالتي
سمناها الـ Exponential Function
بدنا نسمي الـ E of واحد قيمة الدالة القيمة الدالة
الـ E هذه عند الواحد بدنا نسميها E E و هذا اللي
بنسميه Ehlers number و احنا يعني بعد هيك هيصير
عندي اللي هو الرمز E of X ان هو ال exponential X
او أسهلنا في الاستخدام ال E of X ايش هتساويالـ E X
هذا الـ E واحد قيمة الدالة عند مين عند اللي هو
الرقم واحد سمناها E ماشي الحالة الان E of X
بالساوي E to the X هذه عبارة عن اللي هي الدالة E
of X بالساوي X notation لها لكن بعد شوية هنلاقي ال
notation consistent of اللي هو مع مين مع اللي هو
ال exponentيعني هيصير الـ E to the exponent X هو
عبارة عن بالظبط اللي هو قيمة الـ E of X لأن الـ E
of X بيساوي E to the X و ال E of واحد بيساوي E
واحد بيصير عندي E لما أرفحها للقوة X يطلع قيمتها
هي عبارة عن اللي هي قيمة دل E of X حسب اللي احنا
معرفينه هنايعني من الإحسابات ومن تعريفنا للدالة
هيكون فيه consistent it is consistent في الحالتين
طيبنجي الآن لما الكلام هذا ال number E can be
obtained as a limit and thereby approximated in
several different ways طبيعا احنا مادام عنده اللي
هو عبارة عن limit لل E N of Xاللي هي بتطلع عندى
limit عند ال .. ال .. ال .. ال end of واحد لأنها
continuous بصير عندى مدام limit إذا بصير أقدر أقرب
هذه القيمة اللي هي و نحصل على قيمة تقريبية بال E و
هذا مش شغلنا شغل تبعين اللي هو numerical analysis
أو الناس اللي بدأت .. اللي هي تشتغل في التقريب أو
مش شغل نهاني يعني بصديإلى أن الـ use of notation E
و X of E X زي ما قلنا كله تمام تمام consistent إلى
أن يجي اللي هو لبعض الخواص الأخرى لهذه اللي هي
الدالة إلى أن الـ exponential function satisfies
the following properties
أول حاجة أن الـ E of X لا تساوي سفر لكل X element
in R هي أول حاجة أن هذه الدالة دايما لا تساوي سفر
طبعا شغالة على R E of X زي Y بسوء E of X في E of Y
for all X element .. Y element in R الآن E of R
هنا اللي هي E of R قيمة الـ function هذه هتطلع لنا
بالظبطهي عبارة عن الـ E اللي قلنا عنها الرقم اللي
قبل و شوية لما نرفع للقوة R فبصير الان consistency
between the definition of the exponential and the
exponent of E to the power R بس هذي الـ R إيش اللي
من الين؟ NQ لان ماشي الحالة ده نشوف نبرهن اللي هو
الأولى by contradictionبدي افترض انه في عندي E of
α for some α element in R والـ E of α ايش تساوي
تساوي سفر ونوصل لcontradiction لان suppose that
there exists α element in R such that E of α ايش
بساوي بساوي سفرالآن and let G α be the closed
interval with endpoints mean α و 0 يعني الـ G of α
زي اللي فوق يا بساوي اللي هو 0 ألفة أو ألف و زيره
حسب قيمة الألف موجبة أو سالبة طيبالان زي ما قلت
قبل بشوية بما ان E is continuous on a closed
interval Iα او Jα اللي هو مسميها then there exist
case such that اللي هو ال absolute value E of D
أصفر سوى K لكل T element in Gالأن مشابه للي قبل دي
ربالكم الان بدنا نستخدم mean taylor theorem اللي
هو على اللي هي ال function اللي عندي هذه اللي هو
بس في مين الآن في ال end points ألف ومين ألف وصفر
اذا there exist cn element in dn such that مسرع
لإنه قاعد بعيد نفس البرهان اللي قبله شوية such
that اللي هو E of صفربطبق عند e of 0 بساوي e of
alpha زائد e prime of alpha على واحد factorial في
ناقص alpha اللي هي zero ناقص alpha زائد e n ناقص
واحد على ناقص واحد factorial alpha ناقص alpha أُس
n ناقص واحد لما أصل لعند ال remainder e n of alpha
على n factorial في ناقص alpha أُس n الآن اخلق هذه
مش e alpha هذه الـCnهذه الـ C أنا مخربط بصيحة الله
ماشي الحالة الان E of Zero طبيعي ايش يساوي واحد
ماحنا عارفين ان خلاص عرضناها الدالة هذه E of Zero
بتساوي واحد اتساوي واحد يساوي E of Zero و يساوي
الأن E of Alpha فرضناها إيش بالساوية سفر هيك
مفترضينها E prime of Alpha اللي هي نفس E of Alpha
إذا سفر برضه وهذا نفس الشيء إذا كلنا دول أصفر مع
دمين الأخيرة إذا هتساوي E of Cn على N factorial
ناقص Alpha أسعى وزي ما قلنا إنه احنا الآن هذا
المقدار عندي صار .. نوضح لكم هذهنشوف كيف نصل لـ
contradiction هال gate صار عند مايا ليه يا جماعة
صارت عند الواحد هذه اللي بيساوي E to the zero
بيساوي E to the zero اللي هي أصغر أو يساوي ال
absolute value لهذه بيساويها بعد إنه أصغر أو يساوي
بيساوي ال absolute value E of CL على N factorialفي
absolute value ناقص Alpha أُس N و هذه زي ما قلنا E
of C N إيش ما اللي قلنا قبل بشوية هذه أصغر أوي و
ساوي K إذا K على N factorial في ناقص Alpha أُس N
ماشي الآن هذا المقدارas n goes to infinity بيروح
لـ0 هذا independent of n و هذا independent of n
صار عندى الان هذا الان هي الواحد أصغر أو يساوي
اللي هو هذا المقدار خد ال limit as n goes to
infinity بيصير الواحد أصغر أو يساوي سفر و هذا إيش
ماله contradictionإذا صار في عندي الفرضية الأولى
خاطئة إذا there is no such Alpha اللي هو بتكون
عندها ال K of Alpha بتساوي سفر إذا ال K of Alpha
بتساوي أكبر لا تساوي سفر دائما إذا صار عندي اللي
هو قيمة اللي هي E to the X لا تساوي سفر أبدا نيجي
الآن إن بدنا نثبت أنهنثبت الخاصية اللي بعدها اللي
هي عبارة عن E of X زائد Y بساوة E of X في E of Y
لكل X و Y element in R هذه الخاصية اللي بدنا
نثبتها شوف طريقته حلوة في الإثبات بيقول ليه نفترض
Y fixed arbitrary لكن ليهاش fixed بنحكي عن Y محددة
arbitrary لكن نحكي عن Y محددةالان مادام Y اللي هي
ال E of Y أكيد يشملها لا تساوي سفر اتفجنا عليها
الان عرفلي الان function G من R لR عرفها كيف؟G of
X المتغير X الان Y اللي هي عبارة عن اشي Fix ثابت
بحكي عنه لكن كان arbitrary اللي هي G of X بيساوي E
of X زائد Y على E of Y for X element in R أخدنا
هذه الدالة الآن شوف هذه الدالة اعمله G prime لها G
prime of X بالفضل بالنسبالي XY ثابتة اللي هي بيصير
هذه E prime of X زائد Y على E of Y عدد ما لاش
علاقة فيه Y ساويالـ E' هي نفس مين؟ الـ E of X زي Y
على E of Y ماشي؟ طيب، الآن صار هذا الـ E X زي Y
على E of Y هو مين؟ رجع G إذا رجعت إن الـ G' مش
بيساوي الـ G الآن andأحسب لي g of 0 بساوية e of 0
زائد y على e of y يعني بساوية واحدة إذا الدالة
اللي عرفناها هذه g of x طلعت لي g prime لها نفسها
وطلعت لي g of 0 واحدة وعلمة قبل قليل عمال بيقول
مافيش لغير واحدة في الدنيا بتهبها الخاصيتين اللي
هي مين ال E of X إذا هذه غصب عننا لازم تطلع مين ال
E of X because of the uniqueness of Eإذا صحيح أنا
عندي E of X بساوي E X Z Y على E E of Y يعني E X Z
Y بساوي E of Y في ال E of X و هو المطلوب طيب نيجي
الآن نثبت اللي بعدها اللي هي بدنا نثبت E of R
بساوي E to the RR المنتنين LQ اللي هو rational
number طيب جماعة فيكم تصل على النبي عليه الصلاة
والسلام لنشوف كيف نيجي
البرهن اللي هو الجزء الثالث أو هذا جزء من النظرية
أول
حاجةهذه صحيحة لكل أنهي المتنانة كيف؟ by induction
E of X بساوي E of Xأكيد أكيد أكيد أكيد أكيد
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكE
of K في X زائد X ويساوي من الخاصية اللي احنا لسه
ماخلصنهاش هذه بساوي E للأول زايد في E للتاني اللي
هي E للأول اللي هو KX في E للتاني اللي هي EX
ويساوي EKX اللي هو E of X أُس K لأنه فرضينا أنا
صحيحة اللي هي K بيصير عندي E of X أُس K في E of Xو
يساوي E of X الكل أُس K زائد واحد إذا صارت
هذه is true for all N element in N طيب .. الآن شوف
ما يليه نلاحظ ما يليه
Lit x بتساوي ايش؟ واحدة على ان ناخد الـ x ايش
بتساوي واحدة على ان؟ بتصير هذا E of واحد لأن ان في
واحدة على ان واحد ال E of واحد رمزناها من رمز ايش
يا جماعة؟ E وهذا اللي بدأ اصليه هذا رمزناها من رمز
E وال E عبارة عن رقم ال E of واحد هي قيمة الدالة
اللي تبعتنا عند اللي هي الواحد سمينها Eالان E of N
في 1 على N تساوي اللي هي عبارة عن ال X هذه اللي هي
عبارة عن 1 على N E of 1 على N الكل اسمه أُس N يعني
الآن عندي هذه ال X E N X بساوي E X أُس N X مين 1
على N E of 1 على N أُس Nإذا صار عندى الآن هي هذا
القيمة بساوية هذا إذا بمعنى آخر E of واحدة الان
بساوية E العدد أس واحد على N هذا الان E of واحدة
الان بساوية E أس واحد على N الآن من جهة أخرى لو
جيت E أس minus Mهتساوي واحد على E أُس M خد
ال
E of M ناقص M اللي هي بيساوي E of Zero اللي هي
بيساوي واحد صح وإيه ساوي E of Mفي E of ناقص M حسب
الخاصية اللي هي زائد ناقص M هذه X وهذه ال Y E
الأولى في E التانية الان صار عندى هذا المقدار
بساوي واحد يعني إذا E of ناقص M بساوي بنجل هدهان
واحد على E of M إذا صارت عندى E of ناقص M بساوي
واحد على E of M وال E of M ال E of Mمن فوق E of M
هذا X بواحد يعني بيساوي E of واحد أُس M يعني عبارة
عن E أُس M وهي فوق إيش واحد الآن هذه اللي هو عدد
عادي اللي هو E مرفوع للأُس M اللي هو نفسه E to the
minus M لأن هذه معلومة قديمة لذا انصار عندي الآن E
of minus M بيساوي E أُس ماقص M وال E أُس واحد على
N بيساوي Eأُس واحد على N نجي
الآن احنا غايتنا مين؟ E of R الـ R إيش اللي نقدر
نكتبها؟ الـ R في الـ Q إذا الـ R بتنكتب على صورة M
على N إذا نخد R في اللي نمتني Q إذا there exists M
و N اي واحدة في زد واحدة في N صحيح ده؟ R بتساوي M
على N بتثبتلك إن E of M على N بساوي E to the M على
N شوف كيفE of M على N ايش هيساوي E أُس واحدة ل N
الكل A شماله أُس M أُس M E of واحدة ل N أُس M مين
اللي شرعلي اللي هوعندي اللي هي E-M و هي سالبة طلعت
E أص مينس M و اللي شرعلي E و واحدة ل N و N مودبة
هي E أص واحد على N فبصير عندي الأن E أص M على N أص
M على N بساوي E أص واحد على N هذه اللي جوا الكل
أسمين الكل أص M ماشي الحال هو يساوي E
هذه شرعات لإي و واحدة الان كل اس ام وهذا عدد عادي
الان وهذا عدد عادية بيصير اي أس ام عالميا على ان و
هذه بيكون عندي اي أس اي او ام على ان بساوي اللي هو
عبارة عن اي أس ام على ان و ام على ان was our
arbitral rational number اذا صار عندي اي أس ار
بساوي اي أس ار
نجي الآن للنظرية اللي هي تمانية تلاتة سبعة اللي هي
النظرية الأخيرة في اللي هي الحديث عن اللي هو ال
exponential function و بعدها طبعا بنحكي عن اللي هو
ال logarithmic function بس خلينا الآن نحكي عالميا
انكمل نظريتنا على ال exponential function بنشوف
الأن بقولي الـ exponential function E is strictly
increasing on R يعني الـ derivative إلها أكبر من
سفر ماشي؟ and this range اللي هو Y المتنرسج ده Y
أكبر من سفر يعني الـ E هتكون بالظبط ده اللي من R
بتصب إلى R positive إلى R positive يعني عبارة عن
Zeroومالة نهاية هي التي هي range دالة range دالة
هذه هي من سفر إلى مالة نهاية لأن كتابة على سورة
function is on to طيب مش هيك limit E of X لما X
تروح لسالب مالة نهاية بتساوي سفر and limit E of X
لما X تروح لمالة نهاية ايش بتساوي؟ بتساوي مالة
نهايةيعني الدالة هذه في حالة ال ال E of X اللي
احنا سميناها ال X exponential لل X هذه الدالة هذه
الدالة زي ما انتوا عارفين لما X تروح إلى سالب ماله
نهاية هذا هيروح للسفر ال E of X هتروح للسفر و لما
ال X تروح لماله نهاية ال E of X هتروح إيش إلى ماله
نهاية نشوف أول شي بالنسبة لمن؟ لل range
الان we know that E of 0 بيساوي Eاش واحد اكبر من
Eاش من سفر اكيد،ظبط ولا لا؟ and E of X ده بيساوي
سفر for X element in R صار عندى الان هاي دالة E of
0 إلها واحد،ماشي؟
أو E of X مش سفر يعني إيه شمالها لا تقطع محور
السينات إطلاقااللي E of X نفسها و 0 من سفرها الأن
أنا بقول مستحيل تكون في إيها قيم سالبة يعني مستحيل
نلاقي E of X naught اللي هي أصغر من 0 ليش؟ لأنه لو
لجينا E of X naught سالبة لو هالجيت عندنا X naught
و هيها قيمتها E of X naught اللي هو سالبة يعني
هتكون تحتطب ما هي الدالة متصلة مدام متصلة إذا غصب
عنها هتيجي تقطع اللي هو ما هتيجي منها لها هتقطع
محور السينات إذا هتصير سفر وهذا Contradiction من
أين الكلام هذا؟ By Bolzano Intermediate Value
Theorem بما أنه احنا في عندنا X0 فرضناها ال E of
X0 أصغر من سفر وفي عندي اللي هي E of Zero بساوي
واحد اللي هي
أه لو فرضنا ان في اكس نوت اكس نوت تكون اللي هو
سالبة اكس نوت اصغر من سفر فعندي E of X naught اصغر
من سفر وعندي اللي هو في اللي هو E of X بساوي
واحد اه وهادي اكبر من سفرأه وفرضنا وجود هذه وفرضنا
وجود هذه اذا by intermediate value theorem غصبن
عنها there exists c element الفترة اللي احنا بنحكي
عنها R such that f of هذه الـ c اللي هي E of C
بتساول كمية اللي بينين اللي هي اسمها سفر وهذا
contradictionبالتالي بيحقق البلزان انها مستمرة على
اي انتقال مغلق على كل أرض لانها بيحقق البلزان انها
مستمرة على اي انتقال مغلق على كل أرض لانها بيحقق
البلزان انها مستمرة على اي انتقال مغلق على كل أرض
لانها بيحقق البلزان انها مستمرة على اي انتقال مغلق
على كل أرض لانها بيحقق البلزان انها مستمرة على اي
انتقال مغلق على كل أرض لانها بيحقق البلزان انها
مستمرة على اي انتقال مغلق على كل أرض لانها بيحقق
البلزان انها مستمرة على اي انتقمن سفر طيب مدام ال
E of X أكبر من سفر و احنا بنعرف ان ال E prime of X
بيتساوي E of X اذا صارت ال E prime أكبر من مين من
سفر كل X element ال R ومن ثم هذا معناته ان E is
strictly increasing on R اذا اللي هو المطلوب الأول
أثبتناه ان E is strictly increasing on R طيب
عندي اتنين strictly increasing ال function مظبوط
يعني اتنين اصغر من مين من اياش من ال E ليش لأن
عندي الواحد E واحد او E of Xقلنا أصغر strictly ولا
أكبر strictly من واحد زاد X صح؟ هذه الكورولا
remained تمانية تلاتة تلاتة اثبتناها إذا صار عند E
of واحدأكبر strictly من واحد زائد وا أكبر strictly
من واحد زائد واحد وال E of واحد مين هو E أس واحد
مش هيك اتفاجنا يعني هذا إياش اتنين يعني ال E أكبر
strictly من مين من الاتنين اتفاجنا طيب اتفاجنا إذا
صار عند ال E of اتنين أكبر strictly ال E أكبر من
مين من اتنين خلينا نبدأ عليها هذه ال E أكبر من
إياش من اتنينالان اكيد عنده ال E of R اللي بيسوي E
R او E N خليني اقول E N اكبر من اتنين هتكون اصغر
اللي هي اكبر من اتنين أُس N الان as N goes to
infinity اذا
اكيد هذه هتروح لمين لإنفينيتيوالـ E نفسها اللي هي
is strictly increasing is strictly increasing إذا
ال E of X تبعتها برضه هتروح لمين ل Infinity لما X
تروح إلى وين إلى مالة نهاية ليش لأن لكل L في X
أكبر منهابحيث انه اللي هو تصير E of X اللي هي
بيساوي E to the X أكبر من E to the N لكل N في X
أكبر منها بتصير E of X أكبر منها لأنها strictly
increasing فلان لما تروح هذه إلى مالة نهاية الكبار
تبعتها وهذه طبعا أكبر دايما موجودة هذا هتروح إلى
أين برضه إلى مالة نهاية يعني limit ال E of Xلما X
تروح إلى مالة نهاية بتساوي مالة نهاية وقلكم اللي
هو لو تجربته اللي هو تثبته أنه بما أنه limit E of
N بتروح إلى مالة نهاية by اللي هي limit definition
إذا limit E of X لما X تروح إلى مالة نهاية بتساوي
مالة نهاية الآن similarly for mean for اللي هو
limit
الـ E of X لما X تروح لسالب ملا نهاية هذه الان
بيصير اتنين أو minus N أكبر من E أو minus N ماشي
الحال الان ال limit لهذه as N goes to infinity
أكبر أو ساوي ال limit لهذه as N goes to infinity
الان
هذه اش مالها بيساوي سفر وهذه اوتوماتيك هيساوي ايش؟
هيساوي سفر الان as N goes to infinity يعني ال E to
the minus N بتروح للسفر من وين؟من اليمين، مظبوط أو
تروح للـ Zero، مظبوط لأن at E minus N تروح لما
لنهاية As N goes to infinity E to the minus N تروح
لإنفينيتي لأن as X بتروح إلى سالب ما لنهاية ال E
to the minus X برضه هتروح إلى وين؟ إلى السفر يعني
ال E to the X نفسها لما ناخد ال limit لما X تروح
بدل ما لنهاية تروح إلى مين؟ سالب ما لنهاية برضه
هتساوي إيش؟ السفرإذا صار عندى limit E ضو X لما X
تروح السلمة لها يابسة أو سفر و بعتمد على اللى هو
الجهتين على ال strictly increasing تبع ال E و
التفاصيل اللى هى ال definition بتظهر عندكم أنا
مافصلتاش لإنه هو إيه هذا القائم