بسم الله الرحمن الرحيم مثل ما خدنا تطبيقات على
التفاضل برضه بدنا نتاخد تطبيقات على التكامل بعد ما
خدنا في chapter 5 كيفية تكامل الدوال المختلفة يبقى
chapter 6 هو تطبيقات على استخدام التكاملفي هذه
التطبيقات سنحاول إيجاد الحجوم والمساحات واطوال
المنحنيات طبعا هنجد الحجوم وهذا جديد علينا لم
نتعرض لهم من قبل سنجد المساحات السطحية للمجسمات
لأن المساحة بين المنحنيات درسناها في chapter خمسة
في آخر section كانسيكشن خمسة ستة ولذلك المساحات
هنا ليست المساحات في المستوى وانما المساحات في
الفرار يعني مساحة اللي هو مجسم موجود في الفرار
هنبدأ بأول نقطة وهي إيجاد الحجوبيبقى applications
of definite integrals تطبيقات التكاملات المحدودة
section 61 volumes using cross sections يبقى بدنا
نحاول نوجد الحجوم باستخدام المقاطع للمين للمجسمات
المجسم هذا بده ينشأ عندنا من دوران بدنا ناخد مقطع
لهذا المجسم الناتجومن خلال المقطع اللى عندنا هذا
بدنا نحاول نوجد قداش حجم المجسم طبعا في هذا ال
section في عندى يا اما طريقة ال disk لو كان المقطع
هو عبارة عن اللى هو دائرة مصمة وبالتالي بسميها
disk يعني قرص مصمتأو ممكن يكون قرص مصمت بس فيه
تجويف ممكن يكون شريحة تمام يبقى هناخد طريقة اللي
هو الشريحة هذه و ناخد طريقة ال disk فنبدأ بطريقة
ال disk في الأول فقال لي volume of revolution يعني
حجم المجسمالناتج من الدوران revolution دوران solid
مجسم يبقى حجم المجسم الناتج من الدوران وبدا نتعرف
لأول طريقة The disk method طريقة القرص نعطيله
التعريف التالي يبقى volume of the solid حجم المجسم
generated المتولد او المتكونby revolving the
region between بدوران المنطقة المحصورة مابين الرسم
البياني لمنحنة دالة y to سوى r of x and the x axis
about the x axis يعني الدوران هيكون حوالين محور x
isيبقى لو جيت افترضت ان عندي منحنى زي ما انت شايف
Y تساوي R of X بدي اخلي هذا المنحنى يدور حوالين
محور X وبعد شوية هاخد مثلا خليه يدور حوالين خط
موازية محور Xبعد ذلك يمكن أن يكون المنحنة يدور
حوالين محور Y حسب طبيعة المنحنة أو حوالين خط موازي
لمحور Y كل هذا سناخد عليه أمثلة الحلات الأربع
دوران حول محور X حولين خط موازي لمحور X حولين محور
Y حولين خط موازي لمحورو ايه بنشوف كيف بنجيب الحجوم
في الحالات الأربع خلّينا في البداية لو كان الدوران
حول محور X نشوف كيف بنجد حجم المجسم الناتج من
الدوران يبقى هذه عندي R of X زي ما انت شايف بدي
أخليها الدور في الفرح بدي أريك ما هو شكل المجسم
الناتج من الدورانالان لما اقول محور الدوران هو
محور X يبقى اي نقطة خارج محور الدوران عن دورانها
سترسم محيط دائرة تمام تمام اذا النقطة هذه هنا
هترسم لي محيط دائرةيبقى لو جيت للدائرة و روحت قولت
هذه الدائرة اللي عندنا تمام هذه كمان النقطة
هترسملي محيط دائرة هذا هو نص قطرها يبقى لما اديت
هذا على استقامته بقدر طوله يبقى هتصبح الدائرة اللي
عندنا بهذا الشكل تمام يبقى الخط الخاري هذا هيصبح
على الشكل التالييبقى هذا المجسم اللى نتج منه دورة
كل نقطة على هذا المنحنى بترسم محيط دارة فحصل عندنا
من المجسم اللى أمامنا هذا بدنا نوجد حجم هذا المجسم
إذا بدي أروح أخد cross section من أعلى إلى أسفل
بدي أقطعه بمقطع و أشوف شكل المقطع السؤال هو ما هو
شكل المقطع؟دائرة كذلك يبقى الدائرة هذه لو روحت
رسمتها بدى يكون عندى خط بالشكل هذا يكتر ومن
الناحية التانية بيظهر ليش فهارسمه منقط خط بالشكل
اللى عندنا هنا يبقى هذه دائرة هذه دائرة هذه دائرة
يبقى هذا هو المقطع اللى عندنا هنا طيب مدام دائرة
حد بقدر يقولى قداش مساحة الدائرةنقتر بيه ممتاز جدا
يبقى انا لو هذه المساحة اعطيتها الرمز a يبقى a هذه
هي المساحة من هنا راح نقولنا ال volume v يسوى
تكامل من عند ال a هنا لغاية ال b هنا تكامل من a
إلى bلهذه المساحة اللي هي A of X بيعطيني حجم
المجسم كله يبقى تكامل هذه المساحة من عند ال A إلى
B يساوي تكامل من A إلى B مساحة درجة تحت النقطة
الربيعية وين نقلوا المسافة؟ من هنا لغاية هنا هذا
الخط اللي عندنا الغامق هذا هو مين؟ هذا هو نصف
القطريبقى نصف القطر البعد ما بين المنحنى ومحور X
R of X هو البعد اللي عندنا يبقى لما يقول طه نقطة
بيه يصير بي R of X لكل تربية يعد X يبقى هذا حجم
المجسم الناتج من الدوران يبقى نصف القطر هذا اللي
عندنا هو عبارة عن مين عبارة عن R of X ان كامل هذا
من A لB بنحصل على حجم المجسم الناتج من الدورانقد
يكون الدوران حسب طبيعة المنحنى حول محور Y إذا كان
الدوران حول محور Y يبقى بدنا نروح نكامل بالنسبة
لمين إلى Y وبالتالي بيصير ال volume في هذه الحالة
V سوى تكامل من C إلى D لل A of Y دي Y أو تكامل بI
R of Y لكل تربية مين
الان بعد هذا الكلاب نروح ناخد امثلة تطبيقية على
الكلام اللي احنا بنقوله ونشوف كيف هنحسب هذه الحجوم
بدنا نيجي لأول مثال على هذا الموضوع يبقى example
one
يبقى مشان احسب الحجم بدي شغلتين بدي اعرف بس حدود
التكامل من و لا و اين اتنين بدي اعرف قداش نص القطر
تبع المقطع اذا عرفت هذا بصير الشغل تكامل عادي
روتيني عادي لا شيء فيهيبقى هدول اهم حاجة عندي حدود
تكمن اتحددها الصح اتنين اللي هو مان نصف القطر تبع
اللي هو دائرة المقلة او تبع ال disk يبقى هذا اللي
رسمناه مظلة للي عندنا هذا هذا هو ال disk يبقى هذا
هو ال disk لان احنا قلنا بناخد اول طريقة اللي هي
ال disk مثال نعطي مثاليبقى example one بيقول ما
يأتي find the volume of the solid find the volume
of the solid generated by
revolving
the region bounded bythe region bounded by
والمحدود بي Y تساوي X تكيب وY تساوي Zero and X
يساوي اتنين about the X axis about
الـ X Axis
لما نحل مثال على هذا الموضوع يبقى أول شغلة بدنا
نعملها بدنا نرسم الرسمة مشان نقدر نحدد حدود
التكامل يبقى بيقول هاتلي حجم المجسم الناتج من
دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى Y تساوي X تكايم
يبقى لو رحنا رسمنا المنحنى بالشكل هذا هذا محور X
هذا محور Y وهذا نقطة الأصل Z يبقى المنحنى Y تساوي
X تكييب منحنى رسمناه عدة مرات قبل ذلك يبقى ما هوش
جديد بالنسبة لنا يبقى هذا المنحنى الهمين يبقى Y
تساوي X تكييب
بعد هيك قال كمان محدود بمين؟ Y تساوي زيرو، مين Y
تساوي زيرو هذا؟ محور X، يبقى هذا الخط اللي هو Y
تساوي زيرو، بعد هيك قال الخط X يساوي اتنين، يبقى
خط رأسي بهذا الشكل X يساوي اتنين، يبقى هذا اتنين
يبقى بين محور X والمنحنى Y تساوي X تكييب والخط X
يساوي 2 يبقى عبارة عن المنطقة المظللة اللي عندنا
هذهما للمنطقة هذه؟ هذه بدها الدور حوالين محور X
تمام يبقى هل بدرورة ارسم المجسم الناتج من الدوران؟
ليس بدورة لكن حدد نصف قطر ال disk تبعك بصير خلصه
يبقى مشان هك كأن المجسم موجود و بده يروح اعمل فيه
مهم مقطع المقطع هذابدي يكون ال disk تبعه بالشكل
اللي عندنا هذا يبقى هذا نصف القطر تبع ال disk
السؤال هو قداش مقدار نصف القطر هذا اكس تكعيب لان
اكس تكعيب هي المسافة بين محور X و المنحنة اللي فات
لان هذا المنحنة لو جيت كملته بدي يجيني بالشكل اللي
عندنا هذابالشكل هذا و بدي أجيني هذا هيك مش هذا
الشكلهذه حترسم لي محيط دائرة وهذه نقطة الأصل زي ما
هي ثابتة إذا هذا لو أخدت ال disk بدي يكون ال disk
بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا نص القطر بدي أحدد
نص القطر والباقي بيصير كله شغل روتيني يبقى نص
القطر اللي عندنا هو عبارة عن المسافة هذه هي Y
تساوييبقى بروح بقوله ال volume V بدي يسوي تكامل ال
X هتتغير من وين ل وين من صفر لغاية اتنين لل باي R
of X اللي هي X تكيب الكل تربيع بالنسبة الى main
بالنسبة الى DX باي مقدار ثابت مالوش دعوة وهي تكامل
من صفر لاتنين وهذا X أُس 6 DXيبقى هذه تساوي باي
وهذه x السابعة على سبعة من zero لغاية اتنين يبقى
هذه باي على سبعة في اتنين والسبعة ناقص zero اتنين
والسبعة اللي هي جداش مية وتمانية وعشرينيبقى 128
على 7 باي هذا حجم المجسم الناتج من الدوران وهذا من
أبسط أنواع المسائل اللي مافيش فيه تفكير ولا حاجة
مباشرة طيب نعطيك سؤال أتقل شوية example 2
بقول find the
volume of the solid بنقدرش حجم المجسم generated by
revolving
the regionالناتج من دوران المنطقة in the first
quadrant in the first quadrant
في الربع الأول bounded above by bounded above
by
by the line y
تساوي 2 below ومن أسفل by the curve y يساوي 2 sin
x 2 sin x و ال x هذه محصورة بين ال zeroو مابين ال
by على اتنين and on the left و من الجهة اليسرى by
the y axis by the y axis بمحور y about the line y
تساو اتنين
سؤال مرة تانية بيقول هاتلي حجم المجسم المتولد من
دوران المنطقة في الربع الأول والمحدودة من أعلى
بالخط Y تساوي اتنين ومن أسفل بالمنحنى Y يساوي
اتنين sin X و X فقط من Zero لغاية Pi على اتنين and
on the left ومن الجهة اليسرى بمحور Yوالدوران
حوالين الخط Y تساوي 2 وليس حوالين محور X يبقى
المثال السابق ان الدوران حوالين هنا حوالين خط
موازي لمحور X إذا خلينا نرسم المنطقة اللي عندنا
هذه ونشوف كيف بدنا نحسب اللي هو main اللي هو
التكامل هذا يبقى هذا محور Xهذا محور why هذا الخط
اللي عندنا main اللي هو why تساوي كدهيساوى 2 يبقى
هذا من أعلى من أسهل جلّي بالمنحنى y تساوى 2 sin x
sin x أكبر قيمة باخد جداش واحد لما أضربه في اتنين
شير اتنين يعني أقصى حاجة بوصلها انه يمس الخط اللى
عندنا هذا مظبوط طب هو بياخد ال sin القيمة واحد
عندكش يساوي جداش by على اتنينأذا لو جيت قولت هذه
النقطة zero و جيت رسمت هذا المنحنى يقول المنحنى
بده يجيني بالشكل اللي عندنا هذا هذه النقطة اللي هي
πاي على اتنين يبقى انا بس بده اخد من zero لغاية
باي على اتنين باقي منحنى ال sign اللي من ناحية
التانية او من ناحية التانية ماليش علاقة فيهيبقى
أنا مقيد فقط في الجزء من zero لغاية باي على اتنين
يبقى هذا المنحنى اللى تحته هو Y يساوي اتنين sign
ال X واللي فوق Y تساوي اتنين وعلى الشمال محور Y
يبقى منطقة التكامل هي المنطقة اللى عندنا هذه فقط
لا غيرفبالمنطقة المظللة بالأحمر بدهاش تدور حوالين
محورك سواء إنما بده تدور حوالين مهم الخط كتير يعني
بده تدور لفوق مش لتحت تمام؟ إذا بداجي أشوف قداش
نصف قطر دائرة المقطع يعني قداش نصف قطر ال disk
يفجأة بروح بنزل عمود من منطقة التكامل على وين؟ على
محور الدورانيبقى بيكون هذا اللي عندنا هذا هو نصف
القطر لفوق، مين يرف يقول جديش نصف القطر اللي عندنا
هذا؟ فكر كويس، مالها؟
يبقى نصف القطر عندنا اللي هو جديشممتع جدا يبقى
المسافة هذه كلها من هنا لهنا ايه المسافة عندنا من
هنا لهنا كلها اتنين تمام بدي اشيل منها المسافة
السفلية هذه المسافة السفلية اللي عندنا هذه بيبقى
بقعد المنحنى عن محور X جداش البقعد اتنين sign ال X
اذا هذا البقعد بيكون اتنين ناقص اتنين sign ال X
اذا هذا البقعداللي هو اتنين ناقص اتنين sign ال X
هذا يمثل نصف قطر ال disk يعني نصف قطر دائرة المقطع
ايوة ولا
محور Y ولا محور X انت شافش اللي مكتوب حوالين
الخطمينY تسوى اتنين موازي الى محور X اول مرة
سمناها هي الدوران لفوق تمام حد بدي يوصل تاني قبل
ما نفقد اذا مين اللي بحكي ايوة
مش بنزل عمود انت لو رسم دائرة انا بجيب نص قطر لانه
قبل شوية قلنا ليس بالضرورة اني ارسم الرسمة كلها
صحيح ولا لأ يفجأة انا باخد بس نص قطر دائرة المقطع
يعني نص قطر ال disk اللي عندكهذا لو دار لفوق يبقى
هذي بده تيجي هنا و هذي مكانها زي ما هي بده يصير
هذا نصف قطر دائرة المقطع واستفاد من عليك انها بس
يكفيني ارسم نصف القطر و الله يعطيك العافية ليس
بالضرورة ان ارسم رسمة كاملة لهمين؟ وين ما بدك من
هنا لغاية هنا
بتنزل عمود من المنطقة اللى عندك على محور الدوران
Y تسوى اتنين يبقى هذا نصف القطر يبقى ماضلش اللي هي
كامل وكامل عندنا هي من Zero لغاية كده ايش؟ لباية
على اتنين يبقى باجي بقوله Volume V يبقى تكامل من
Zero لباية على اتنين لباية فيه نصف القطر اللي هو
اتنين نقص اتنين Sin X لكل تربيه يقعدى Xيبقى هذا
بده يتساوي ال by هيها برا و هي تكامل من zero لغاية
by على ال X فتفكر التربيع اللي عندنا هذا يبقى هذا
ناطف تمانية sign ال X زائد أربعة sign تربيع ال X
كله بالنسبة إلى مين؟ إلى DX تمام؟طيب الآن ال term
الأول وال term التاني سهل تكامل، المشكلة في ال
term التالتيبقى ال term التالت بدنا نروح يكتبوا
بدلالة ضعف الزاوية يبقى هذا الكلام بده يساوي hi by
برة تكامل من zero لغاية pi على اتنين وهي ال ghost
هي الأربعة ناقص تمانية في sign ال x زائد 4سيني
التربية هي عبارة عن نص في واحد زاد يبقى هي أربع في
مص يفتح قوس واحد ناقص كوسيني اتنين X كل هذا الكلام
بالنسبة لمن ثلاث اكس هذا بده يساوي هي ال by برا
وهي تكامل من zero لغاية by على اتنينطبعا طلعلي الى
هنا اربعة فى نص باتنين اتنين فى واحد باتنين اتنين
واربعة ستة يبقى هذه بدها صير ستة ناقص تمانية sign
ال X زي ماهي مافيش فيها مشكلةنجي هنا و نضلي 2cos2x
يبقى ناقص 2cos2x
كل هذا الكلام بالنسبة إلى Dxيبقى نيجي نكامل يبقى
هذا أصبح ال volume V بده يسوي high by اللي برا و
بدنا نكامل تكمل ال 6 اللي هي في 6X و سلب 8 مالهاش
علاقة و تكمل ال signبسلب cosine مع سلب بصير موجة ب
تمانية cosine ال X واللي بعدها ناقص sine اتنين X
على اتنين بتروح مع الاتنين والكلام من zero لغاية
pi على اتنين
بنعود بالقيمة اللي فوق يبقى 6 في πاي على 2 يبقى 3
باي يبقى هاي 3 باي اللي بعدها cosine باي على 2 هو
0 يبقى هاي زائد 0 ناقص
هذه القيمة اللي فوق ناقص اللي تحت ستة في زيرو
بقداش بزيرو و cosine صفر بواحد يبقى ناقص تمانية
ناقص مع ناقص بصير زائد صين الزيرو اللي هو بقداش
بزيرو يبقى النتيجة صارت بايتلاتة باقي ناقص تمانية
مين اللى بيحكي اللى فوق ناقص اللى تحت كوصيلة ستة
باقي طبعا يبقى دخلت سلب على كل واحدة منهم يبقى هذه
النتيجة النهائية لمين لحجم يبقى زى ما انت شايف كله
شغل روتيني بس حد الحدود التكمل صح اتنين احد النص
القطر صح بصير باقي الشغل روتيني عاديمثال رقم تلاتة
example three find the
volume of the solid generated by
revolving
by revolving the region bounded
by the line the region bounded by ال X بده يساوي
اتنين على Y زائد واحد وال X يساوي Zeroو ال y تساوي
zero and ال y يساوي تلاتة about the y axis اوليا
محور y السؤال
مرة تانيةبقول هاتلي حجم المجسم المتكون من دوران
المنطقة المحدودة بالمنحنى x يساوي اتنين على y زائد
واحد شكله هيك مش عارفينهلكن لو حطيته y as a
function of x هلاقي شكله صار معروف ومقلوف بالنسبة
لنا لكن هيك مش طبيعي مش عارفينه طيب لما نوصله سهلا
x يساوي zero و y تساوي zero محور y ومحور x ماعنداش
مشكلة فيهم و y تساوي تلتة ماعنداش مشكلة و الدوران
حوالين محور y احنا خدنا مثالين الأول حوالين محور x
الثاني حوله خط موازي لمحور X هذا منين؟ محور Y طب
نحاول نرسم هذه المنطقة مشان نرسم هذه المنطقة احنا
عندنا X يساوي 2 على Y زائد 1أو ممكن اكتب y زائد
واحد بده يساوي اتنين على اكس او ممكن اقول ان y
يساوي اتنين على اكس ناقص واحد ناقص واحد هدف تبع
shift واتنين ملاشه دعوة بتجرب على المنحناه دي
بجانب رسمة y تساوي واحد على اكس اظن ياما رسمناهاهي
مش جديدة بالنسبالنا يبقى هذا صارت مسألة سهلة جدا
إذا لو روحت رسمت المنحنة هياخد الشكل التالي يبقى
هذا عندنا محور X هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هي
Zero يبقى هذا Y يستوي 2 على X و نجرب على محور Y و
shift إلى أسفل بمقدار
Y تساوي سالب واحد يبقى هذا Y تساوي سالب واحد يبقى
المنحنق يريد أن ينزل لتحت المقدار سلبي Y تساوي
واحد X عارفينه جوس على اليمين وجوس على الشمال من
هنابس مش كل الرسم بديها يبقى انا بروح برسم اللي
بديها يبقى اللي جوس اللي على اليمين بدي اعمله
shift لأسفل بمقدار واحد بس هوسع الرسم مشان الكل
يشوف يبقى بداجي اقول هذا المنحنى اللي عندنا تمام
يبقى هذا هو ال X يساوي اتنين على Y زائد واحد او Y
يساوي اتنين على X نقص واحد هذا والله هذا سيئابعد
هيك قال لي هذا محور X و هذا محور Y يبقى خلصنا من
هدول يبقى Y تساوي تلاتة يبقى بادروح أرسم له الخط
اللي عندنا هذا Y تساوي تلاتة إذا أصبحت المنطقة
اللي محصرة بين المنحنة ومحور X ومحور Y وخط Y تساوي
تلاتة اللي هي المنطقة المظللة اللي عندنا هذهيبقى
هذه المنطقة بدها دور وين؟ حوالين محور Y إذا بدي
أرسم خط يقطع هذه المنطقة و عمودي على محور الدوران
يبقى لو جيت هنا قلت ارسم هذا الخط العمودي تمام؟
بدي أعرف قداش الطول تبعه يبقى من هنا لغاية هناهذا
X تساوي كم؟ نين على Y زائد واحد يبقى هذا هو نصف
القطر تمام؟ يبقى باجي بقوله يبقى بدي أكمل بالنسبة
إلى Y أقل قيمة بتاخدها Y هنا كم؟ و أكبر قيمة هنا
بتاخدها كم؟ تلاتة لأن هذا النقطة الإعدادية تبعها
تلاتة لأن الخط هذا Y تساوي تلاتةيبقى ال volume V
يبقى تكامل من Zero لغاية تلاتة لبي في R اله اتنين
على Y زائد واحد لكل تربيه D1 طيب هذا الكلام يبقى
يساوي لو ربعت هذا يصبح اربعة مع باي خليك برا يبقى
هاي اربعة باي خليها براY تكمل من Zero إلى تلاتة
للواحد على Y زائد واحد لكل تربيع D1 هذا يبدو يساوي
اربع باي في تكمل اللي بيعرف يكملها على طول كان بها
تعرفش حط لك تعويضة بنعرف نكملها على طول سالب واحد
على Y زائد واحد تعرفش ههبتروح تقول لي في ال همش
حطلي مثلا T تساوي Y زائد واحد يبقى DT بده يساوي
ميه؟ DY يبقى هذا بيصير تكامل لواحد على T تربيع و
DT بدل DY بقيت حدود التكامللما تبقى Y بثلاثة يبقى
T بقداش أربعة لما تبقى Y بزيرو يبقى T بقداش واحدأو
لو خلقتها زي ما هي و قولتلي سالب واحد على واي زائد
واحد بيطلع كلام مظبوط مية المية يبقى هذا الكلام
بده يساوي أربعة باي تكامل من واحد لغاية أربعة ل T
أس ناقص اتنين دي تي يبقى النتيجة تساوي أربعة باي و
T أس سالب واحد على سالب واحدوالحكي من عند الواحد
لغاية كده؟ أربعة يبقى سالب أربعة باي وهذه واحدة
عالتي من عند الواحد لغاية كده؟ لغاية الأربعة يبقى
هذا الكلام بده يساوي سالب أربعة باي مالوش دعوة
وهذا الرابع ناقص واحدو يساوي هي سالب اربعة باى برا
و ربع ناقص واحد بقداش بناقص تلت اربع يبقى الجواب
يساوي تلاتة باى فقط لغير هو حجم المجسم الناتج من
الدوران
تفضل تمام و التعويضة هذه ايش بتسوي اه كيف مش أخدنا
التكامل بالتعويض و لما الحد ما تحط تعويضة بتتغير
حدود طبقا للتعويضة الجديدة Zero تلاتة هذا للمتغير
Y ينعظرهم للمتغير T من واحد إلى أربعة طيب ناخد
كمان مثال رقم أربعةالرقم أربعة بقول find the
volume of the solid find the volume of the solid
generated
by
revolving
the
region اناتج من دوران المنطقة bounded by the lines
بالخطوط
المستقيمة y يسوى اتنين x y تسوى zero and ال x يسوى
واحد about
6 يساوي 1 احنا
حتى الآن خدنا ثلاثة امثلة مثال
الأول الدوران حوالين محوركس الثاني خط موازي
المحوركس الثالث الرابع
المنطقة المحصورة ما بين الخط Y تشوي 2Xيبقى y يساوي
2x ويبقى
y يساوي 2x ويبقى y يساوي 0
يبقى المنطقة اللى محصورة بين التلاتة هذول هي
المنطقة المضللة اللى عندنا هذى تمام يبقى هذه
المنطقة الدوران حوالين مين؟ حوالين اللى هو X يساوي
واحد يعني خط موازي لمح ورا Y وبالتالي احنا بنكبل
بالنسبة ل Y ولا بالنسبة ل Xبالنسبة لويا لموازي
لمحور Y إذا بدأت أرسم خط يقطع منطقة التكامل بشكل
عن هذا يبقى هذا يمثل نصف قطر disk أو نصف قطر دائرة
في المقطعبدي اعرف قداش نقدار هذا نصف القطرة السؤال
هو قداش المسافة هذه
واحد نقص ثاني واحد نقص ثاني هذا الان solution
عندنا المنحنة Y تساوي 2X يعني لو أخدنا أي قيمة X
على أفكر تطلع Y على الرأسك هل بنقدر نكتب X بدلالة
Y نجابة نعم يعني هذه ال X بدها تساوي نص Y أو Y على
2يبقى لما اقول البعد X البعد X يمثل البعد اللى
عندنا هذا المنقط هكذا تمام؟ جداش البعد هذا من هنا
لهنا اللى هو مين؟ Y على 2 يبقى هذا البعد هو Y على
2 اللى هي معادلة الخط اللى عندنا هذا بدل ماقولY
تساوي اتنين X بدي اقول X يساوي كده Y بدل ما أخد
البعد الرأسي باخد البعد الأفقي وبالتالي هذا نصف
القطر اللي عندنا هذا بيصير واحد ناقص Y على مين على
اتنين مرة تانية بقولالبعد هذا كله واحد صحيح يعني
البعد هذا كله ايه واحد صحيح انا بدي طول الخط
الغامق اللي هو نصف قطر القرص او نصف قطر دائرة
المقطار يعني بدي اشيل منه الفراغ اللي جابله هذا
الفراغ اللي جابله هذا هو معاد الخط المستقيم اللي
عندها معاد الخط المستقيم y تساوي 2x وy تساوي 2x
هذي اللي هي 2xلأ انا بدي البعد هذا الأفقي و ليس
البعد الراسي يعني بدي x جديش تساوي اذا x يساوي y
على اتنين اذا هذا البعد اللي هو x يساوي y على
اتنين طبعا اذا بدي اقول ال y كله اللي الأفقي كله
اللي هو واحد بدي اشيل منه لهمين واعتين بيعطيني
جديش نصف القطر اللي عندنابقيت عندنا Y بده اشوف Y
تتغير من و لا وين هنا Y كده يا راجل و هنا Y بده
اشوفها كده تمام مش انا اشوفها كده بده احلي
المعادلاتين هذول مع بعض يبقى هنا ال X تساوي Y على
2 Y على 2 تساوي و ال X هذي تساوي كده
يبقى المسافة من هنا لغاية هنا البعد هذا كله اتنين
يعني Y تسوى اتنين و X تسوى كمانواحد يعني إحداث
النقطة هذا هو واحد واتنين إذا أصبح ال volume V
اللي أنا بديه هو تكمل من C إلى D C تتغير من Zero
لغاية اتنين لبي في نصف القطر نصف القطر واحد بدي
أشيل منه ال Y على اتنين الكل تربيه D واحداللي
بالنسبة لي لو كنت انا بصحى هذا الشخص اللي بكتب هذي
بياخد تلتين العلامة و بيظل التلت على حسابات التلت
ما هو الباقي فارق إذا حددت حدود التكمل صح و كتبت
المعادلة صح باقي شهر روتينييبقى هذا الكلام بده
يساوي hay by وهي تكمل من صفر لغاية اتنين واحد ناقص
y زائد رابع y تربيع كله بالنسبة الى مين الى dy
يعني فكت الجوش اللي عندنا هذا بده اكمل يبقى hay by
براوهذه تكاملها Y ناقص Y تربيع على اتنين وهذه زائد
Y تكعيب على قداش على اتناش من Zero لغاية قداش
اتنين النتيجة تسوى Hi Bye برة وبدنا نعود هذا اتنين
ناقص اتنين اربع على اتنين باتنين زائد تمانية على
اتناشر-000 كله راح معاه السلامة يبقى ألة المسألة
اتنين مع اتنين الله سهل عليها بيظل باي في جداش في
تمانية على اتناش على الأربعة فيها التلاتة على
الأربعة فيها اتنين وعلى الأربعة فيها التلاتة يبقى
اتنين باي على تلاتة قيمة هذا الحجبطيب اعطاناك الان
اربع امثلة على الاربع حالات محور X خط موازيله
ومحور Y خط موازيله طيب هذه الحالة الأولى اللى لو
كان المقطع disk مصمت قد يكون disk فيه تجويف كويس
من النتيجة شوه القصة هذا disk فيه تجويف هذا
بنسميها الطريقة التانية و هي طريقة ال washerواشر
يعني رندلة رندلة ايش رندلة اللي فاهم ده ال ring
ماشي ال ring ماشي لما تشوف صمولة بيحط تحتها حديدة
مثقوبة مظبوط حتي مشان تمسك الصمولة الحديدة
المثقوبة هذي بيسميها رندلة او واشر بلاش لما
تيجيكوا للتابع الغاز يجيبوكوا جرق الغاز بيعطيكوا
جلدة الصمرة هذي جلدة الصمرة اللي هو قرص بس مثقوب
من النص مظبوط يبقى هذه الواشر كذلكالعشرة الشكل هذا
لو ضيّعنا لأصفر اللي في المص بيصير washer بيظل في
الخارج و هكذا يبقى هذه موضوع main موضوع ال washer
بدنا نيجي نعرف متى نستخدم طريقة ال washer طبعا
طريقة ال disk إذا كان المقطع مصمتا مش فيه أي تجويف
إذا بدنا نجي للطريقة الثانية اللي هو the washer
method أخدنا أول طريقة اللي هي طريقة ال desk اتنين
the washer method we
use this method we use this
method نستخدم هذه الطريقة if the solid إذا كان
المجسم of revolution
of revolution has a holeموجود في ثقب او تجويف and
it بداخله وفي هذه الحالة بقوله the volume the
volume V بتساوي التكامل من A إلى B لل by لمينللـ R
of X لكل تربية ناقص R of X لكل تربية كله بالنسبة
الى DX where capital R of X نصف
القطر الخارجي andالـ r of x is the inner radius
نصف القطر الداخلي
نرجع لكلام اللي احنا كاتبينه هذا مرة تانية يبقى
طريقة الواشر method الواشر يا شباب على الشكل
التالي قرص بهذا الشكل يبقى هذا القرص الخارجي و قرص
داخلي او دائرة داخلية بهذا الشكل هذه المنطقة اللي
بينهم كلها منطقة مصمة و اللي في الداخل هذا تجويف
وهذا المركز تمام الخط
اللى عندنا هذا من هنا لهنا هذا اللى هو ال small r
of x نصف القطر الداخلي وهذا ال outer radius اللى
هو نصف القطر الخارجى
يعني المقطع لما نقطع لهذا التجويف هيكون في نص قطر
خارجي و في نص قطر داخلي كما سترا يبقى لو جينا
تخيلنا ان هذا محور X على سبيل المثال و هذا محور Y
و جيت للمنحنة اللي عندنا بهذا الشكل مثلا كان Y
تساوي R of Xو جينا لمنحنى ثانى المنحنى التانى كان
بالشكل هذا اللي هو Y تساوي R of X small تمام الان
على المنطقة A وB افترض انه بدأ هذا الكلام من عند
ال A و لغاية من و لغاية Bالاتنين هذول حصروا بينهم
مساحة اللي هي المساحة المظللة اللي عندنا هذه كلها
تمام هذا لو دار حوالين الخط اللي هو المحور y تساوي
x كان هو محور الدوران يبقى فيه ان حاجة اسمة outer
radius وفيه ان حاجة اسمة inner radius ال inner
radius عند اي لحظة هو الخط اللي عندنا هذايبقى هذا
هو r of x small ال outer radius هو الخط اللي عندنا
هذا
لأ احنا بياخدهم على نفس النقطة لإنك تجي على نفس
النقطة بالضبط تماما لكن ليس بالضرورة خد وين ما بدك
تمام بس انا رسمت بيدك مشان يوضح لك من وين لوين هذا
سميته مين اللي هو ال R of X بالشكل اللي عندنا هذا
يعني لو دار المجسم حوالين محور ال X بتلاقي هذا
النقطة صارت مدينة هذه على استقامتها لغاية هنا يبقى
هذه بدها تجيك الدائرة اللي عندك هذه او هذه بدها
تجيلك دائرة بالشكل اللي عندك هذا او هذا بده يجيلك
الخط اللي فوق او من هنا بده يجيلك mainبدي اجيلك
الخط اللى تحت بالشكل اللى عندك هذا هيك تمام يبقى
هذا اللى بدي يصير ايش بيصير عندك لو جيت اخدت disk
يبقى ال disk هاي معاه
لما ناخد ال disk مقطع واحد يبقى بده يجيلك الشكل
هذا هيك هذا مش هيظهر يبقى هيكون في الناحية التانية
بهذا الشكل هذا ههه بده يكون عندك بالشكل هذا وهذا
كمان بالشكل هذا كويسيبقى وين ال washer في هذه
الحالة ال washer المنطقة الحمرة هذه كلها
هذا المنطقة الحمرة اللي هو washer يبقى فيه تجويف
التجويف اللي هو المنطقة البيضة يبقى هذا هو ال
inner radius وهذا هو ال outer radius من هنا هيحصلك
بالأسود لغاية ما توصل لوين للنقطة هذه يبقى هذا كله
هذا هو ال R of X الشكل اللي عندنا وهذا من هنا لهنا
فقطهو ال inner radius R of X بالشكل اللي عندك
تعالى تشوف ايش اللي قال لي ال volume اللي قال لي
ال volume يجب ان تتكامل من A الى B لطه مضروبة في
مين في نقطة رمية هذا الكلام لو فكته لحد هى بيعطيني
المساحة تبع الدائرة الكبيرةهذا بيعطينا المساحة تبع
الدائرة الصغيرة لما تتنين من بعض بيصير المنطقة
المظللة بكمل عليها من A إلى B بجيبله حجم المجسم
الناتج من الدوران يبقى هذه ال washer هذي اللي انت
شايفهاوهذه اللى جوا هيها رسمتها لكنا للتوضيح يبقى
ال ultra radius من النقطة هذه لنقطة هذه ال inner
radius من النقطة هذه لوين لنقطة اللى عندنا لنقطة
طبعا هذه المركز المشترك للدائرتين او لل two disks
ال disk المجوافل على شكل دائرة و ال disk المصمت
الثاني واضح الكلام هذايبقى مشان نجيب ال volume في
هذه الحالة شو بالزامنين بالزامنين شغلتين الشغلة
الأولى بدك تحدد حدود التكامل زي ما كنا في حالة ال
disk الشغلة التانية بدك تحدد ال inner radius او
out of radius مثل
هذا الكلام لو كان بالنسبة ل Y لو كان الدوران
حوالين محور Y او حوالين خط موادي لمحور Yبنعمل نفس
السفينة بسيطة كامن من C إلى D ل I ل R of Y الكلتر
بيه ناقص R of Y الكلتر يعني نفس القصة بس بصير
بالنسبة ل Y كمان حدا فيكوا إليه أي تساؤل قبل أن
نذهب إلى الأمثلة طبعا هذا آخر جزء نظري موجود في
هذا ال section بس الكلمتين اللي قدامك علقوا علينا
حدا بديكوا إليه أي تساؤل ندخل للأمثلةتوكلنا على
الله يبقى بنجي لأول مثال على موضوع أو استخدام
الوشر method يبقى example one find
the volume of the sun يعني اكتب
انت وياه بدون صوت بقوليجب أن تجد قطعة المسلحة التي
تم
تجريها من حول المنطقة
bounded by the curve بالمنحنى y يساوي اربعة ناقص x
تربيع and the line والخط المستقيم y تساوي اتنين
ناقص x about
X Axis طبعا
ذكرناإن هذه الطريقة طريقة ال washroom نستخدمها إذا
كان في عندي تجويف أو ثقب في هذا المجسم واضح أن
الجزء الأبيض هذا كله يعتبر تجويف داخل المجسم
الكبير في هذا السؤال طبعا هو بيقول ليش في عندك
تجويف ولا ماعندكش انت لحالك من خلال الرسم بتستنتج
هل هناك تجويف ام لاإذا نرجع لمسألتنا نقرأ ونرسم
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم
نرسم نY تساوي ناقص X تربية يبقى الفرابولة مفتوحة
إلى أسفل زائد أربع يبقى shift إلى أعلى بمقدار أربع
يبقى الفرابولة بتجيني وينبالشكل اللي عندنا هذا
يبقى هذا ال Y تساوي اربع ناقص X تربيع طبعا لو حطيت
Y تساوي Zero بصير X باتنين و سالي باتنين يبقى
النقطة هذه سالي باتنين و النقطة هذه قداش اللي هو
الاتنين اللي هم نقطتي تقاطع المنحنة مع محور X تمام
خط y تساوي 2 ناقص x باجي بقول لو كانت x ب 0 يبقى y
ب 2 يبقى ب 2 نص اللي هي النقطة اللي عندنا هذه و لو
كانت y ب 0 يبقى x في قداش ب 2 يبقى لما y تساوي 0 x
ب 2 يبقى هتاني نقطة تانية تقعاني علىالخط المستقيم
يبقى لو وصلت ما بينهم و مديت الخط على استقامته
يكون هذا هو الخط اللى موجود عندنا اللى هو main y
تساوي 2 ناقص 6 الاتنين هدول حصروا لي مساحة في ما
بينهماقال لهات لي حجم المجسم المتولد من دوران
المنطقة المحدودة بالمنحنى والخط المستقيم يبقى هذا
الخط المستقيم وهذا المنحنى يبقى هذه المنطقة
المظللة المحصورة في ما بقيناهما هذه المنطقة بدها
دور وانحوالين محور X يبقى معنى هذا الكلام هذا
يعتبر تجويف فيما لو دارت هذه المنطقة تجويف موجود
داخل المجسم يبقى انا بدي وين ال outer radius وين
ال inner radius يبقى بالداخل ال outer radius بدي
ارسم خط يقطع المنطقة المظلة لو عمودي على محور
الدوران يبقى هذا يعتبر ميناوتر راديوس يبقى اوتر
راديوس
اللي هو capital R of X بدها تساوي أربع ناقص X
تربية بدنا ال inner radius ال inner radius هو
المسافة من هنا لهنا اللي هو منطقة الفراغ طب منطقة
الفراغ Y كده تساوي هنا؟يبقى هذه المنطقة فقط من هنا
لغاية هنا Y تساوي او R of X يبقى يساوي اتنين ناقص
X يبقى حددت ال outer radius و ال inner radius صار
شغل روتيني ده اللي عندى بدى حدد main حدود التكامل
أقل قيمة بتاخدها X اللي هو القيمة اللي عندنا هذه و
أكبر قيمة بتاخدها X اللي هو القيمة اللي عندنا هذه
هذه معروفة بقيت هذه مجهولة مشان أجيب هذه هي القيمة
بروح بحل المعادلتين مع بعض وبجيب قيمة X يبقى أنا
عندي أربع ناقص X تربيع يسوى اتنين ناقص Xبدي أنقل
هذه على الشجة التانية بصير X تربيع ناقص X ناقص 2
بيبقى Zero يبقى جثين بالشكل اللي عندنا هذا بيبقى
Zero يبقى هذه X وهذه X وهذه واحد اتنين ناقص زائد
من هذه بقدر أقوله يبقى X بيبقى سالب واحد وهنا X
بيبقى نقطة اتنينالاتنين الحمد لله هي موجودة بقيت
هذه اللي هي قداش ناقص واحد إذا انحددت حدود التكامل
الباقى الشغل كله روتيني يبقى الرسمة ضرورية لإن
بتسهلي عملية من الشغل فباجي بقوله ال volume دي بده
يساوي تكامل من عنده سالب واحد لغاية اتنين لل by
three
أربعة ناقص X تربيع لكل تربيع
-x لكل تربية كله بالنسبة لمين الى dx يبقى هذا
الكلام بده يساوي تكامل من سلب واحد لغاية اتنين لبي
فيه يبقى 16-8x
تربية زائد x أس أربعالربع التاني هي ناقص أربعة
وهنا ناقص أربعة X بالصير زائد أربعة X وزايد X
تربية بالصير ناقص X تربية DX يعني فكته الجوس ودخلت
إشارة سالب على المقدار اللي جوايبقى هذا الكلام بده
يسوي high by برة تكمل من سلب واحد إلى اتنين اتطلع
لي هنا عندك سلب اربعة و عندك ستاشر بيظل كده؟
اتناشر عندك هنا سلب تمانية اكس تربية و ناقص اكس
تربية بسلب تسعة اكس تربية عندك زائد اربعة اكس
مافيش غيرهاوعندك هنا زائد X أُص أربعة مافيش غيرها
كل هذا الكلام من نسبة إلى مين إلى DX يبقى هذا بدل
يساوي باي بدنا كامليبقى هذا 12x ناقص 3x تكيب على 3
مع 9 بيظل 3 زائد 2x تربيع زائد x أس خمسة على خمسة
الكلام هذا من سالب واحد لغاية اتنين يبقى النتيجة
تساوي high by برة وبنعوض اتنين في اتناشر اربعة
وعشريننقص تلاتة في تمانية بارضه باربعة وعشرين وهنا
زائد اربعة في اتنين بتمانية وهنا زائد اتنين
وتلاتين على خمسة خلصنا القيمة اللي فوق ناقص القيمة
اللي تحت يبقى هاي ناقص بدي أشيل كل X و أحط مكانها
ناقص واحد يبقى ناقص اتناشرزائد تلاتة زائد اتنين
ناقص كمز هذا
الكلام ممكن يسوي هذه و هذه و هذه و هذه معاكم سلامة
بالتمانية زائد اتنين و تلاتين على خمسة زائد اتناشر
ناقص ثلاثة يبقى ناقص ثلاثةو عندك هنا ناقص اتنين و
هنا زائد خمس شكل اللي عندنا هذا يبقى هذا الكلام
بده يساوي by فيه تمانية و اتناشر عشرين عشرين شيل
منهم خمسة بيضل كده خمسة استاشر و عندك هنا اتنين و
تلاتين و واحد بتلاتة و تلاتين على خمسةيبقى هذا
الكلام بده يساوي باي في خمسة في خمستاشر بخمسة
وسبعين خمسة وسبعين بيضيف عليهم تلاتين بيصير مية و
تمانية مية و تمانية على خمسة باي هذا هو حجم المجسم
اللي موجود عندنا
بناخد كمان مثال تبقى
example two will
find the volume of
هذا صليت ان حجم المجسم generated by revolving
generated by revolving
generated by revolving ماتخليش اطرد اطردكوا برا
ماتخليش اضطرر لهذا الاسلوب احترم نفسك و بديش كلام
يبقى generated by revolving the
region bounded by
the parabola y
تساوي x تربيع below
by the x axis ومن أسفل بمحور x and on the right on
the right من جهة اليمين by the line بالخط
المستقيم x يساوي واحد
X يساوي اتنين
نرجع لسؤالنا مرة ثانية السؤال بيقول فات لحجم
المجسم المتولد من دوران المنطقة المحدودة بالبرابله
Y تساوي X تربيع و من أسفل بمحور X و من جهة اليمين
بالخط Y أو ال X تساوي واحد حوالين محور Yوالتانية
حوالينا الخط X يساوي 2 يبقى ده مش سؤال واحد وانما
سؤالين في آلة واحد يبقى بدنا نيجي نشوف كيف ننهل
هدين السؤالين ونبدأ بالنقطة A مشان نيجي للنقطة A
بدنا نروح نرسم المنطقة مشان نحدد حدود التكامليبقى
انا لو جيت قلت هاي المحاور هذا محور X هذا محور Y
هذا نقطة الأصل اللي هي Zero Y تساوي X تربيع بجيلي
بالشكل اللي عنها يبقى هذا Y تساوي X تربيعتمام؟
جالي ومن أسفل بمحور X تحت بمحور X ومن الشجرة اللي
قمت بالخط X تساوي واحد يبقى لو جيت قلت هذا ال line
له X يساوي واحد يبقى المنطقة اللي عندنا هذه هي
المنطقة اللي محصورة عندنا هذه المنطقة بدها دور في
الحالة الأولى حوالي المين؟ حوالي المحور Yيبقى
معناه هذا الكلام بدي أكمل بالنسبة ل Y ولا بالنسبة
ل X؟ ل Y مادة بالنسبة ل Y إذا بدي أرسم خط يقطع
منطقة التكامل و عمودي على محور الدوران يبقى لو جيت
قلت هذا الخط اللي هو يقطع منطقة التكامل و عمودي
على محور الدوران بدي أعرف كده طول من هنا لغاية هنا
يبقى هذا يعتبر ال outer radius وهذا يعتبر inner
radius تمام تمام تمام
تمام تمام تمام تمام تمام تمام
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام
تمام تمام تمام تماميبقى المسافة هذه كلها شباب قداش
يبقى هذا X يساوي جذر ال Y و المسافة من هنا لهنا
جداش واحد صحيح اللي المسافة من هنا يبقى ال outer
radius يساوي واحد و ال inner radius اللي هو جداش
جذر ال Y يبقى أصبح عند هنا ال outer radiusالـ X
يساوي قداش واحد وال inner radius نصف القطر الداخلي
الـ X يساوي جانر ال Y يبقى الفرق في ما بينهما
يعطيني الحجم المجسم الناتج من الدوران دلوقتي بدي
أعرف Y تتغير من أين إلى أينيبقى Y هتتغير من هنا
لغاية هنا هذه أقل قيمة بتاخدها Y وهذه أكبر قيمة
بتاخدها Y مشان أطل أعرف قداش القيمة هذه بدروح أحل
المعادلتين هدول مالهم مع بعض يبقى احنا عندنا جذر
ال Y بده يسوى واحد هذا معناته ان Y تسوى قداش واحد
يبقى هذا النقطة لو كانت ال Y بواحد يبقى X بقداش
بواحد كذلك إذا نحدث النقطة هذه واحد وواحد يبقى ال
Y تتغير من Zero لغاية واحد يبقى بالداجي لل volume
V يساوي تكامل من Zero إلى واحد ال outer radius I
by I ال outer radius اتفجنا من هنا لهنا اللي هو
قداشواحد تربيع ناقص ال inner radius اللى هو من هنا
لغاية هنا اللى هو ال gathering ال y لكل تربيع و
التكامل كله بالنسبة لمين الى dy يبقى اشتغلت شغل
سليم مائة بالمائة يبقى النتيجة جد ما تطلع تطلع
ماتفرجش عننايبقى هذه بدها تساوي Hy برا و Hy تكمل
من zero لواحد لواحد ناقص Y كله Dy طبعا النتيجة
تساوي Hy برا و Hy ناقص Y تربيه على اتنين كله من
عند ال zero لغاية واحديبقى هذا بدي يعطيك باي وهنا
واحد ناقص نص والباقي كله بناقص زيرو ويسوي باي في
نص يعني باي على اتنين هذا هي الحجم المطلوب باي على
اتنين تمام فضل لو دار
حوالين محور Xبطل يصير في عندي washer يبقى برجع لل
desk تمام و هذا الفرق ما بين الاتنين هنا نظرا لإنه
ضرح حوالين محور wine يعني بالعربي لو حبيت أبينها
لك بده أقولك هنا هذه بدها توصل وهذه بدها تصير هيك
وهذه هيك وهذه من هنا هيك وهذه هيكطبعا؟ يبقى هذا
ايش؟ هاي الصارع عندك تجيب في هذا بدي أجيلك هيك
بالشكل اللي عندي او هذا بدي أجيلك هيك و هيك هذا
الشكل طبعا؟ يبقى هذه ال washer اللي عندي هذه ال
washer اللي عندي طبعا؟
واضحيت؟
يبقى كأنه ايش؟ قص طوانة وجوفناها بالتجويف الداخلي،
اه يبقى good سمعتش
قولنا له مش ممكن تكون نفس الحاجة ده؟ ليش؟ هو
المجسم بيطلع نفسه يعني؟المجسم بصير نفسه جرب احنا
حسبناها حوالي المحور Y وانت جربها حوالي المحور X
وهي اللي بقولك ال X ستتغير من عند ال zero لغاية
واحد و ال Y تساوي X تربيع هي موجودة عندك احسب
المساحة بالله و قل لجدكنرجع الان لنمر بيه من
المثلة يبقى لو جيت لنمر بيه من المثلة يبقى هذه
المحاولة وهذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل
اللي هي Zeroوالملحنة اللى عندنا رسمناها فكان بهذا
الشكل هذا y تساوي x تربيع و هذا الخط له x يساوي
واحد و هاي المساحة اللى موجودة عندنا اللى هي
المساحة اللى عندنا هذه واحداثيات النقطة هذه واحد
واحدجل الحالة التانية لو المساحة اللى ضارة حوالنا
الخط Y او X يسوى مين؟ اتنين يبقى X يسوى اتنين بدي
يجيلك هذا ال X يسوى قداش اتنين هذا الشكل تمام؟
يبقى هذا الخط اللى هو X يسوى اتنينطيب مدام هيكي
بيكي عندي outer radius و inner radius إذا بدي أرسم
خط يقطع منطقة التكمل و عمودي على محور الدوران
بالشكل اللي عندنا هذا مثلا هذا الخط الأحمر هذا
يعتبر main outer radiusهذا من هنا لهنا يعتبر من ال
inner radius يبقى مشان اميزك فيما بيننا هذا ال
inner radius هو القط الأسود والقط الأحمر هو ال
outer radius السؤال هو المسافة من هنا لهنا كده؟
اتنين بدي اشيل منها المسافة هذه يبقى لو جيت
المسافة هذه
يبقى المسافة هذه x يساوي جذر ال yطيب إذا ال volume
V بدي تساوي تشامل ل PY بدي اجيل ال outer radius ال
outer radius يصلهم من هنا لهنا يعني ال اتنين بدي
اشيل منها جذر ال Y يبقى ال اتنين ناقص جذر ال Y لكل
تربيع ناقص ال inner radius ال inner radius
المستفادة دي كلها باتنين بدي اشيل منها واحديبجى 2
ناقص واحد لكل تربية كله بالنسبة الى مين الى dy
بقية حدود التكمل هل تغيرت؟لأ يبقى زي ما هي من صفر
لغاية واحد يبقى من صفر لغاية واحد كما هي يبقى
النتيجة تساوي high by برة و تكمل من صفر لغاية واحد
بده افكر قوس هذا اربع ناقص اتنين جدر ال Y والله
ناقص اربع جدر ال Y يبقى ناقص اربع جدر ال Y
يبقى النتيجة تساوي باى شكامه من صفر لغاية واحد
عندك ناقص واحد وزاد اربعة بيضل قداش تلاتةوهنا زائد
Y وهنا ناقص اربع Y اص نص كل هذا الكلام نسبة الى
مين الى BY يبقى اصبح ال volume V اللى عندنا بده
يسوي Hi Bye برا وبدنا نكامل يبقى تلاتة Y زائد Y
تربيه على اتنين ناقص اربعوالثالثة على اتنين على
ثلاثة على اتنين كله من صفر لغاية واحديبقى هذا
الكلام بده يساوي Pi في تلاتة Y زائد Y تربيع على
اتنين ناقص تمانية على تلاتة Y اقصى تلاتة على اتنين
كله من صفر لغاية واحد يبقى بده يساوي Pi في تلاتة
نقص تمانية على تلاتة والباقي كله نقص نقص نقص نقص
نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص
نقص نقص نقص نقص نقص
المثال الأخير في هذا ال section يبقى example تلاتة
بيقول ما يأتي find volume
of the solid generated
generated
by revolving the
region by
revolving the region bounded
by y تساوي x تربيع and y تساوي أربعة above the
line y
تساوي خمسة حولنا الخط y تساوي خمسة
نرجع لأسوالنا مرة تانية قولي هاتلي حجم المجسم
المتولد تعالى يا ابنيا تعالى كيف حالك انت من وقتاش
احنا بنرد على الجولات في المحاضراتتعالى عوضى وقعد
وإلا بخليك تاخد دفاعك ومتعودش على القعب المرة يا
جوال يا محاضرة
مرة تانية يبقى find the volume of the solid هاتلي
حجم المجسم المتولد بدوران المنطقة المحدودة
بالمنحنى Y تساوي X تربية وY تساوي أربع حوالين الخط
Y تساوي خمسة يبقى لو روحت رسمت المنطقة هذهيبقى هاي
المحاور هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الاصل
اللي هي Zero Y تساوي X تربيع الكل بيعرفه برابولة
بالشكل اللي عندنا هذا هيك يبقى هذا Y تساوي X تربيع
التاني الخط Y تساوي 4 يبقى هذا الخط Y تساوي 4
المساحة اللي بينهم اللي هي المساحة المظلة لهذه
دهرت حوالين الخط Y تساوي خمسة يبقى محور الدوران
وان فوق يبقى لو جيت قلت هذا الخط الأحمر اللي عندما
اديته على استقامته بالشكل اللي عندنا هنا قلنا هذا
Y تساوي خمسة
يبقى هذا النقطة اللي هي أربعة و هذا النقطة اللي هي
قداشر خمسة لحدات صادلة المنطقة المظللة دارت حولنا
الخط Y تساوي خمسةيبقى انا بدى ال outer radius و
بدى ال inner radius طبعا ال outer radius بنجى على
منطقة التكامل و بنرسم خط عمودي على محور الدوران
يبقى هذا هو ال outer radius حد فيكوا بقدر يقولي
قداش الطول تبع هذا الخط هاي واحد اتنين تلات اه يا
ابنيخمسة ناقص جاذر ال Y جاذر ال Y جابها من وين؟ من
هذه تمام صح كلامه خمسة ناقص جاذر ال Y وفكرته صح بس
غلط غلط صغيرة بسيطة بتعرفي تصحيحها ايه؟ اربع ناقص
جاذر ال Y يا راجل مسافة لحد هنا
خمسة ناقص X تربية هذا هو الصحيحة تعالى نشوف
المسافة من هنا لهنا لو كمل هذه كلها المسافة ليه
ملحانة هذا يبقى المسافة هذه لو كانت هذه المسافة من
هنا لهنا X يبقى هذا بصير X تربيةيبقى الخط الأسود
هذا اللي عندك هذا كله بيصير main اللي هو خمسة
المسافة من هنا لهنا ناقص هذه اللي هو ناقص X تربيع
وهذا هو ال outer radius اللي هو main ال R of Xعن
طريق التجويف
من الاربعة لغاية كده خمسة
واحد ضالت عند ال X بدها تتغير من أقل قيمة لها الى
أكبر قيمة لها هيها لذلك سنحل المعادلات مع بعض
يبقى احنا عندنا y تساوي x تربيع يبقى هذه هي من ال
x تربيع وهنا عندنا y تساوي كده؟ اربعة معناه هذا
الكلام ان ال x بدأ تساوي زائد او ناقص يبقى هنا
بيصير ال x بسالب اتنين وهنا ال x بقدر؟ اتنينإذا
أصبح ال volume V متساوي تكامل من سالب اتنين إلى
اتنين إلى باي لل outer radius الكل تربيع الخمسة
ناقص X تربيع الخمسة ناقص X تربيع الكل تربيع ناقص
ال small radius اللي هو واحد لكل تربيع كله بالنسبة
إلى ماميعني صار هذا تكامل من سالب اتنين الى اتنين
لبي بده فك الجزء يبقى هاي خمسة وعشرين ناقص عشرة X
تربيع زائد X أس أربع ناقص واحد في DX اظن ناقص واحد
وزائد خمسة وعشرين بيظل جداش
عشرة اكس تربيع زائد اكس اص اربعة ناقص واحد في DX
أظن ناقص واحد وزائد خمسة وعشرين بيظل جداش اربع
وعشرين يبقى تكمل من سالب اتنين الى اتنين لبي في
الاربع وعشرين ناقص عشرة x تربية زائد x أس اربع كله
بالنسبة لمام الى dx الدالة دي even function
هيكفينيهذا اتنين وتكامل من صفر للاتنين وهي البي
برا يبقى اتنين باي وضل عندك هنا للاربع وعشرين ناقص
عشرة X تربيع زائد X أُس أربعة كله بالنسبة إلى من؟
إلى DX عملنا ليش؟ لأن هذه الدالةEvent Function
يبقى نظرة لإنها دالة زوجية والـ Symmetric Interval
من سالب اتنين إلى اتنين X تربية و X أُس أربعة يبقى
ماعنديش أسس فردية يبقى هذه Evil Function على طول
الخط يبقى النتيجة يساوي هي اتنين باي برا يبقى اربع
وعشرين اكس عشرة على تلاتة اكس تكيب زي اكس وخمسة
على خمسة من صفر لغاية اتنين يبقى هذا اتنين باي في
اتنين في اربع وعشرين بتمانية واربعين ناقص تمانية
في عشرة بتمانينعلى تلاتة زائد اتنين اقصد خمسة التي
هي اتنين و تلاتين على خمسة والباقي كله ب zero
ماعنا مشكلة في هذه الحالة يبقى نتيجته ساوي اتنين
by هذا بقدر اقول كله على خمستاشر يبقى بيننا نيجي
نضرب تمانية و اربعين في خمستاشرخمسة في تمانية اب
اربعين خمسة في اربع وعشرين اربع وعشرين تمانية
واربعين اتناشر سبعمية وعشرين يبقى هذه السبعمية
وعشرين ناقص خمستاشر ع تلاتة فيها الخمسة اربعمية
زائد تلاتة اللي هو ستة وتسعينيبقى هنا ستة وتسعين
بصير عندي ستة وتسعة واثنين احداشر يبقى تمانمية
وستاش بده اشيل منها اربعمية بيظل اربعمية وستاش
تمام؟يبقى هذه يساوي اتنين باى اربعمية وست عشر كله
على كدهش على خمستاشر يبقى تمانميةو 32 باي على 15
هذا مقدار الحجم الجسم المتكون من الدوران وصلنا الى
نهاية ال section بدنا أرقام المسائل ل exercises
ستة واحدة يبقى هنا بنجي بنقول exercisesستة واحد
المثال من خمستاشر لغاية تسعة واربعين الاد من اللي
بده يسأل ايه اتفضل ماعرفتش كيف يبقى تعالي ارسم
الرسم هذي لفوق وشوف هذا بصير صدوف ولا لايبقى لو
جينا رسمنا هذه بده يصير هيك مظبوط يا سيدي؟ و هذا
الخط .. الخط هي جانبك و هذا الخط التاني بده يصير
هيك يبقى هذا مصمد بالشكل اللي عندك كده لأن هذه
عملتلك دائرةالشكل هذا و هذه عملتلك دارة بالشكل
اللي عندك كان، مظبوط هيك؟ عرفته ولا ماعرفتش؟ حد
بدي يسأل تاني؟ انا بيعطيك العافية