بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة رقم 12 في مساق
تحليل حقيقي 2 لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية
كلية العلوم قسم رياضيات وهي المحاضرة الثانية بعد
الطوارئ لمواجهة فيروس كورونا
السيكشن اليوم إن شاء الله اللي هنبدأ فيه اللي هو
سيكشن سبعة اثنين اللي هو عبارة عن الـ Properties of
the Riemann Integral أو اللي هو خواص الـ
ريمان انتيجرول هنبنيها على عدد من الأسئلة اليوم أنه
لو كانت عندي في عندي اللي هو two functions f و g
اللي هو عبارة عن integrable functions على some
bounded closed interval I هل مجموعهما هيكون
integrable ولا لأ؟ هل حاصل ضرب ثابت في الـ
F اللي هي الـ integrable function هيطلع الـ
KF is integrable؟ هل حاصل ضرب دالتين F و G is
integrable؟ هل لو أجينا كان في عندي two functions
F و G integrable؟ وكان اللي هو معرفة على أساس الـ
composition بينهما يكون معرف؟ وكان التنتين
integrable؟ هل الـ F composite G integrable
ولا لأ؟ أيضًا لو مش integrable طب إيش نحط condition
على واحدة منه عشان يصير integrable؟ هتجاوب عليه
نظرية اللي هو هنحكي عنها أنه لو كانت إحداهما اللي
هي continuous فهيكون عندي اللي هو أو إذا كانت الـ F
is continuous يكون F composite G is integrable
وهنشوف هذا الكلام إن شاء الله خلال الـ
section وهنوظف الـ نظرية الـ composition هذه في
إثبات اللي هو بعض الدوال كيف هتكون الـ
integrable نبدأ الآن في الـ النظرية الأولى
اللي هتجاوب لنا على اللي سألناه السؤال الأول أنه لو
كانت عندي الـ theorem 711 لو كانت I عبارة عن
closed bounded interval A وB الـ F والـ G عبارة
عن two functions من I لعند R وفرضنا إن الـ two functions
إيه شمال هنا؟ Are integrable يعني
نفترض let F and G be two integrable functions on I
الآن if K element in R عبارة عن .. عبارة عن ثابت
then the functions اللي هو الإجابة الآن K في F و K
في G يعني حاصل ضرب الثابت في الـ F هيطلع عند عبارة
عن integrable function وهيطلع f زائد g integrable
function يعني هيكون اللي هو اللي هي بدر دول f زائد
g is integrable وطبعًا لو أثبتنا هذا integrable
وهذا integrable على طول ال f ناقص g is integrable
ليش؟ لأن f is integrable و g is integrable هيعطيني
اللي هو f زائد f و K في g برضه integrable حسب اللي
هو مين اللي حاكيناها هذا في حالة إثباتهم دام اتكافى
g is integrable لكل K طبعًا element are من ضمنها
ناقص واحد يعني هيصير عندي اف وناقص g integrable
يعني هيصير عندي حسب الـ F زائد g بصير F زائد
ناقص g is integrable يعني F ناقص g برضه هيطلع إيه
شماله is integrable هذه ملاحظات سريعة أيضًا هيطلع
عندي حسب الـ نظرية هذه أنه in general F زائد K
في g هيكون integrable و لو كان في عندي constant
ثاني K prime هيطلع الـ linear combination بينهم K
prime f زائد g برضه is integrable هذا كله في حال
أثبتنا إن الـ KF والـ F زائد g is integrable عندما
تكون F و d is integrable خلينا نبدأ الآن اللي هو
نثبت الـ KF is integrable قبل ما نثبت خليني أذكركم
ببعض اللي هي الـ قوانين أو الـ
definitions اللي احنا حكيناها سابقًا عشان هستخدمها
اليوم اللي هو lower sum للـ partition P و G الـ
partition P هو عبارة عن الـ partition للـ interval I
اللي معرف عليها G هو عبارة عن summation MK في XK
ناقص XK ناقص 1 والـ MK زي ما أنتم عارفين هي عبارة
عن الـ infimum لقيمة الدالة على اللي هي الـ
Subinterval اللي بنحكي عنها XK-1 و XK والـ L of G
اللي هو الـ Lower Integral اللي هو عبارة عن الـ
Supremum لكل الـ P و G لكل P element in the set of
all partition P of I وأيضًا الـ UPG هي عبارة عن
summation نفس اللي فوق بس بدل اللي هي الـ infimum
بنحط M كابيتال K اللي هي عبارة عن اللي هي الـ
supremum لقيمة الدوال زي ما أنتم عارفين أو
زي ما شرحناها سابقًا و الـ U of G في هذه الحالة
اللي هو عبارة عن الـ upper integral هو عبارة عن الـ
infimum للّي هي كل الـ upper sums للـ partitions
بيه element in P of I هذا خليه على أساس أنه بدأ
نستخدمه بعد شوية في هذا البرهان للنظرية الآن بدأ
أبرهن الـ KF is integrable بالواحد وبعد هيك بدأ
أثبت لكم إن الـ integration لـ KFF بيساوي كيف الـ
integration لمين لـ LF الآن بدأ أخذ ثلاث حالات بدأ
أخذ طبعًا هذا كل K أملتنا ألهار بدأ أخذ حالة K بتساوي
صفر وحالة K أصغر من صفر وحالة K أكبر من إياش من
صفر كل حالة فيها بروحانها الحالة الأولى K بساوي
صفر حالة سهلة وحالة trivial لماذا؟ لأن إذا كانت KF
بساوي صفر هيصير الـ KF عبارة عن الـ zero function
والـ zero function is continuous يعني constant ما
دام continuous حسب النظرية المرة الماضية هتكون
اللي هو إيه شمالها is integrable إذا في حالة الـ K
بيساوي صفر trivial KF is integrable ومش هيك كمان
و K في الـ integration لل F هذا عبارة عن integrable
يعني قيمة عددية وهذا Zero بيصير بيساوي Zero والـ
integration للـ Zero function على الفترة A B اللي
هو عبارة عن الـ K في الـ F في هذه الحالة هيساوي صفر
إذا صار عندي من اللي هو الجهتين هذه لـ K في الـ
integration لل F بيساوي الـ integration للـ KF من A
لـ B من A لـ B بيساوي 0 in the case of ك بتساوي إياش
0 إذا زي ما قلنا فعلاً لحالة ك بتساوي صفر حالة سهلة
و trivial case نيجي الآن بدنا نحكي عن مين يا جماعة
عن الحالة الثانية اللي هو إذا كانت ك أصغر من 0 في
حالة الـ K أصغر من 0 إذا شغلنا الآن على الـ K أصغر
من 0 طيب لحظة
ما هي ليه؟ خلينا نركز على الحالة اللي هو K أصغر
من 0 عندي K أصغر من 0 عندي
بدي أوجد الـ L بي و K F الـ LBQF الـ B أشماله Any
Partition أخذت الـ B أشماله Any Partition بسوء X
نوت X1 لعند XN Any Partition of مين؟ Of the
interval I اللي بنحكي عنها إذا الـ BKF حسب التعريف
اللي كاتبه فوق إيش بيساوي الـ summation للـ M
لمين؟ للـ M للـ function الجديدة اللي هي اسمها
إيش؟ KF اللي هي عبارة عن مين؟ عن الـ infimum هذه
الـ K اللي هي إيش؟ الـ MK small اللي هي الـ
infimum لأ اللي هي الدالة تبعتنا KF of X لكل X وين
موجودة في الـ sub interval هذه بس بلاش عشان ما يصيرش
conflict بين الـ K اللي هنا والـ K اللي هنا خليني
أسميها بعد إذنكم اسمها اللي هي Ii اللي هي الـ sub
interval اللي هو Xi ناقص واحد لعند مين لعند Xi
هذه i من عند واحد لعند N مضروبة في مين؟ في طول
الفترة هذه اللي هي Xi ناقص Xi ناقص واحد هذه
اللي هي الـ LBK و F ياساوينك إيش يا جماعة احنا
بنشتغل ك أصغر من صفر بنشتغل على الحالة ك أشماله
أصغر من صفر إذا حيساوي الـ summation الـ K لما تطلع
برا الـ infimum وهي سالبة على طول بتجلب الـ infimum
إلى إيش؟ إلى supremum إذا بيصير ك في الـ supremum للـ
F of X such that X element in Ii من عند 1 لعند N
ومضروب هذا في Xi ناقص Xi ناقص 1 ويساوي الآن
خلينا نطلع الـ K هذه برا الـ summation بالمرة لأن
الـ K عبارة عن إيش يا شباب عبارة عن K عبارة عن ثابت
وبيطلع برا الـ summation عادي وكأنه عامل مشترك
بيصير K في الـ summation الآن لمين؟ للـ supremum للـ F
of X والـ x element in Ii في مضروب في مين؟ في الـ
Xi ناقص Xi ناقص واحد اللي هو طول الـ interval
و هذا الكلام I من عند واحد لعند N إلى إن هذا يا
شباب كله عبارة عن إيش؟ عبارة عن بالظبط تعريف الـ UP
ومين؟ والـ function اللي عندي هنا إيش هي اللي
بشتغل عليها هنا F إذا حيساوي K في الـ U لـ P ومين؟
و F إذا اللي وصلت له يا جماعة إن عندي الـ
L of K و P و F بيساوي K في الـ UP و F Similarly
وبنفس الطريقة بقدر أحصل على الـ U بنفس الطريقة الـ U
لأ الـ P و KF اللي هو هتساوي K في الـ LP و F هتساوي
بنفس الطريقة K في الـ L, P و F خلي
هذا في الذاكرة إن اللي حصلنا عليه اللي قلته هاي
هذا الكلام خليني أسجلها اللي حصلت عليها لإني بدي
أستخدمها بعد شوية اللي هو بيساوي K
في الـ U,B والـ F وزي ما قلنا similarly الـ U الـ U,B
والـ K والـ F بساوي K في الـ L,B والـ F ماشي الحال طبعا هذه لو
لو حد حابب يعرف التفاصيل التفاصيل سهلة خليني بس على
السريع أحكيها شفويا الـ U P Q F إيش هيصير هنا بيصير
الـ summation لأن الـ supremum بدل الـ M K capital
هذه بيصير اللي هي supremum لمين بدل الـ G K F فلما
... لما أطلع الـ K برة عامل مشترك بيصير الـ supremum
infimum بيصير اللي هو الـ K برة وهنا الـ infimum مع
هذه اللي هي بالضبط تعريف مين الـ L of B أو F ماشي
الحال؟ طيب، الآن بكون إحنا أثبتنا الجهتين أنا وين
رايح؟ أنا بدي أثبت إن الـ K في الـ F is integrable
in the case K أصغر من 100 من 0 طيب احسبولي يا
جماعة احسبولي الـ L of K F إيش بتساوي حسب تعريفنا
اللي فوق عبارة عن الـ supremum لمين للـ L of B و K F
حيث B element in the set of partitions B of I ماشي
الحال يا جماعة ويساوي الآن
الـ LBKF أنا حضرتله أصلا بيساوي K في الـ U ويساوي
بطلع الـ K برة هذه بيصير الـ supremum لـ K الـ U, B
والـ F such that B element in B of I ويساوي بطلع الـ K
برة بيصير K لأن K سالب يا شباب بيصير K في مين؟ في
الـ infimum للـ U بي والـ F واضح أه؟ such that B
element in B of I الآن الـ infimum للـ U للـ B والـ F
على الشغل عمين الآن عن الـ function F ديروا بالكم
إذاً هيساوي ك... في مين هذه تعريف؟ تعريف بالضبط
الـ infimum لهذه اللي هو عبارة عن الـ U of F الـ U
of F هاي واحد اثنين من جهة أخرى نعتمد على هذه اللي
هو الـ U of ب ... آسف الـ U of K F بدورها الـ U of K
والـ F إيش حييساوي؟ حييساوي الـ infimum له اللي هي الـ L
الـ U of B و K F such that B element in B of I
هتلاقوها بتشبه اللي فوق ويساوي هذه أثبتناها إيش
بتساوي K في الـ L ويساوي الـ infimum لأ بدل الـ U إيش
بده يصير عنده ك الـ B والـ F الآن such that B element
in B of I ويساوي الآن الـ K بضطلحها برة الـ M في
مامي الجماعة الـ K سالبة إذا إيش هتصير عبارة عن
إيش؟ عن K في الـ supremum إذا ويساوي K في الـ
supremum للـ L بي والـ F such that B element in B of I
الآن هذه الـ supremum هذه هي بالضبط تعريف من الـ L
of F إذا بيصير ويساوي K في L of F K في L of F إذا
صارت الآن بتصور الصورة جربت أوضح هاي عندي L of K
of F أثبتناها بتساوي K of U of F والـ U K of F
بتساوي K L of F خليني ألخصها يا شباب فوق ونقارن
بينها ونصل لنتيجة اللي بدنا إياها طيب صار عندي
يا جماعة اللي هي L of K F بتساوي K U of F وفي نفس
الجهة U of K F بتساوي اللي هو K L of F طيب ما إحنا
بنقول إيش إحنا مفترضين ما إحنا مفترضين إن F is
integrable ما دام F is integrable إذا إيش هيكون
عندي L of F هي نفس الـ U of F إذا الآن من هذه ومن
اللي فوق بيصير عندي Lof K F التي بتساوي K في U of
F التي بتساوي K
في U
of F إذن بين الجهتين طلع عندي L of K of F بيساوي U
K F وهذا يعني إذن K F is integrable إذن صار عندي
الـ K F is integrable طيب الآن اللي بعده سهل نشوف
إيش اللي بعده ضل إيش أثبت إنه ال integration الـ
integration للـ KF بيساوي KF ال integration لل F
اللي في الأول اللي هو اللي حكيناه في الأول يا شباب
تشوفوه حاضر أيوة
يا جماعة بدنا نثبت إنه ال جيت أثبتنا إن KF is
integrable دلوقتي أثبت هذه بتساوي هذه سهل الأمر طيب
إحنا الآن ما دام اللي هو KF is integrable إذا ال
integration من A لـ B للـ KF اللي هي صارت integrable
بيساوى اللي هو الـ L of K of F والـ U of K of F
بيساوى U of K F مثلا ويساوي الـ U K of F إيش هتساوي
من هنا اللي هتبتنعها ده K في الـ L of F أو الـ U of
F مش مشكلة كتير ويساوي ما هي الـ F is integrable
إذا الـ L of F هو عبارة عن إيش؟ عن ال integration من
A لـ B للـ F والـ K برة لأن الـ F هو من ال
integration من A لـ B لـ F لأن الـ F is integrable
إذا صار عند الآن ال integration من A لـ B ك F سواء
كيف ال integration من A لـ B لـ F الآن ظلت الحالة
الأخيرة يا شباب اللي هي حالة إن K اللي هو أكبر من
صفر K أكبر من صفر Similarly تماما زي الحالة اللي
هي مين هي اللي قبل بشوية K أصغر من صفر بس لما نطلع
الـ K برة الـ supremum بتظل الـ supremum supremum و
لما نطلع الـ K برة الـ infimum بتظل الـ infimum
infimum ما دام كله بظل زي بعضه بناء عليه اللي توه
قبل بشوية إحنا أثبتنا بيصير عندي الـ L الـ L الـ L of
F أو الـ L of B و KF حيصير عبارة عن K في الـ L، B
والـ F لأن كل الدنيا هتظلها ماشية طبيعية لأن الـ K
أكبر من 0 لما تطلع من ال Infant Mom بتظلها زي ما
هي Infant Mom ولما تطلع من الـ Supremum بتظلها زي
ما هي Supremum والـ U of K,B و K,F هتطلع بتساوي K في
الـ U,B والـ F وبناء عليه حيصير عندي الـ U of K,F
هيساوي K في U of F و Lof K F هي ساوي K في الـ L of
F ومن الجهتين بنحصل بما إنه زي اللي فوق بالضبط إنه
الـ F is integrable بيصير U of F بيساوي L of F وعلى
طول بتطلع هذه بتساوي هذه وبنكمل زي ما كملنا هنا
بالضبط إذا اللي تركينه إحنا exercise K أكبر من 0 هي
الحالة الأسهل وهي شرحت اللي هو الـ hint على كيف
تكون اللي هو نثبت ال integration للـ K F بيساوي كيف
ال integration لل F وبذلك بكون إن هنا هذا الجزء من
النظرية لكل K element in R طيب نيجي الآن يا شباب
نثبت اللي هو الجزء الثاني من النظرية اللي هو الـ
integration إنه لو كانت F و G are integrable هيطلع
عندي برضه F زائد G is integrable خلينا نشوف يا
جماعة مع بعض نفترض إنه F و G F و G من I لعند R are
integrable functions بدنا نثبت إنه اللي هو الـ F
زائد G is integrable وكأني بدي أثبت إن الـ L of F
زائد G بيساوي الـ U لمين للـ F زائد G ماشي يا جماعة
طيب بدي أثبت الآن زي ما قلنا إنه F زائد G is
integrable
بس في شغلتين هيك يعني ب... ب... بذكركم فيه إن اللي
هو من... من الـ real واحد هنستخدمهم بعد شوية عندي
الآن لو
كان عندي two functions وبده أشوف اللي هو ال
supremum للـ F of X زائد G of X such that X element
in some interval اللي بدكم إياها اسمها I I زي ما
هم سميها هيكون أصغر أو يساوي الـ supremum للـ F of X
such that X element in I I زائد الـ supremum لـ g of
x such that x element in I I هذه معلومة سابقة من
اللي هو تحليل واحد نذكركم فيها الـ infimum برضه
شيء مشابه بس بعكس اللي موجود زائد g of x طبعا كله
... كله... هذا إيه الإثبات وكله أسباب أخذناها في
تحليل واحد x element in I I أكبر أو يساوي اللي هو
الـ infimum ل اللي هو f of x such that x element in
I I زائد الـ infimum ل g of x such that x element
in I I هدول الآن بدي اللي هي استخدمهم عشان اللي
هو أصل اللي بدي إياه الآن لو أجينا حسبنا اللي هو
الـ U لـ L of B of F زائد G عشان نصل لـ L F زي الـ G
بسوء الـ U F زي الـ G اعتمادا على إن الـ F والـ G
انتجربل يعني اعتماده على إن القلة الـ F هي الـ U
الـ F والقلة الـ G هي الـ U G شوفوا معايا تبقوا
معايا هذا حسب التعريف أشهر سبب هو يسوي الـ
summation الآن ال... ال... ال... ال... ال... M
small K بس لمين هذه لمين للـ F زائد G هذه لمين يا
جماعة للـ F زائد G مضروبة في XI minus XI minus 1 أو
XK زي ما هو نسميها زي ما بدكم نسميها سميناها فوق I
خلينا نسميها I I minus 1 I من عند 1 لعند N الـ M I
هذه إيه يا شباب؟ الـ F زائد G هي عبارة على جهة
عشان منها هننطلق الـ M I F زائد G يعني الـ M I هذه
لمين؟ للـ function الجديدة اللي اسمها F زائد G
بيساوى الـ infimum للـ F زائد G of X such that X
element in I, I وهذه من اللي كتبته الآن هنا اللي
قدمته لكم يا جماعة الانفمام اللي هنا أكبر يساوي
الانفمام لهذه زائد الانفمام لهذه الـ infimum لهذه
اللي هو اللي إحنا بنسميها M K Small للـ function F
وهذه اللي بنسميها مين الـ M K Small للـ function
مين؟ للـ function G معلش الرموز لكن واضح إنه
اللي هو إحنا بنحكي عن إيش عشان نميز بين الـ M K
أو الـ M I سنة مسمينها I الـ M I هنا والـ M I للـ
فـ للـ J و للـ F زائد J للـ F زائد J هيها وهي من
اللي فوق هذه أكبر أو يساوي الـ infimum على الأولى
للـ F زائد الـ infimum على الـ M على الـ J يعني
هذا بمعنى آخر لأن هذا قيمة موجبة بقى صار أكبر أو
يساوي الـ summation اللي هو لمين؟ للـ MI F زائد M I
J هذا أكبر أو يساوي من ال equality اللي فوق في X I
ناقص X I ناقص واحد I من عند واحد لعند N نوزع ال N
هذا بالظبط بيساوي summation للـ M I F في xi-xi-1 i من
عند 1 لعند n زائد ال summation نفسه على مين الآن؟
mij في xi-xi-1 i من 1 لعند n واضح يا شباب؟ اه
المفروض أن الكلام واضح، صرنا عيدنا الفكرة عدة مرات
وكلنا... كله بندور حول اللي هو فعلاً التعريف للـ
upper thumb وال lower thumb وال upper integral
وال lower integral بس الواحد يستذكر التعريف هيلاقي
الأمور سهلة بإذن الله هذه بتساوي... هذه مين هي؟
بالظبط يا شباب؟ هي عبارة عن الللـ Partition B اللي
بدأنا فيه الـ Arbitrary بالنسبة لمين الآن؟ للـ
Function F زائد هذا بين هذا الـ L of B وبالنسبة
لمين؟ لـ G صار عند الـ LB و F زائد G أصغر أو يساوي
آسف، أكبر يساوي ال B و F زائد مين؟ ال B of G خلينا
نخزن هذه المعلومة يا شباب، وخلّيني أكتبها بعد
إذنكم، هان أخزن المعلومة لأن بعد بشوية هاجي
أستعملها أنا وصلت لل L B F زائد G هيكون أكبر أو
يساوي ال LP و F زائد ال L D و G هذه المعلومة
حصلناها، هأحصلك على إيش؟ مشابه جداً لل U هتصير ال U P
و F زائد G أصغر أو يساوي تبعاً للخاصية هذه اللي
اعتمدنا عليها في البرهان، هنعتمد عليها الآن برهان في
ال U إيش اللي بقوله؟ بقول ما يليه، عارفين؟ بدي اشتغل
على هذه أو أرجوكم جدّاً الأمور سهلة، شيل هذه و احكي
عن مين؟ عن ال U لأن مدام حكيت عن ال U إذا بدي يصير
بدل ما هي M small مين بحكي؟ بدل ال infinite بدي
يصير مين؟ M I اللي هي ال supremum اللي هي الـ
supremum إذا M I هذه لل F زائد G هي عبارة عن الـ
supremum لل F of X زائد G of X X element in I لأن
ال supremum للمجموع اللي هو هذه للـ F زائد G بدل ما
هيكون أكبر، إيش هيساوي يا شباب؟ أصغر أو يساوي الـ
supremum هذا اللي هو عبارة عن M I F وهذا مين هو يا
شباب؟ ال M I G إذا صار الموضوع واضح هيصير أصغر أو
يساوي اللي هو MI F و M I J ونفسه بظله زي ما هو، و
هنا مساواة حقيقية M I بغير M I وزعت زي ما وزعت قبل
هذا عبارة عن مين صار يا شباب؟ مدام ال M I capital
إذا صار U B F وهذا صار مين؟ عبارة عن U B J إذا
اللي حصلنا الآن ال U B F زائد G أصغر أو يساوي UBF
زائد UBJ وهي كما نكون حصلنا أو بدنا نخزن المعلومة
الثانية UBF زائد G أصغر أو يساوي UBF زائد UBG هذا
الآن بيكون احنا حصلنا اللي هي الـ ال two
inequalities هدولة اللي هم هم هم هم هم هم هم هم هم
هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم
هم هم هم هم هم هم هم هم هم
عبارة عن على كل Partition بيه، لكل Partition بيه في
الدنيا الآن أنا عشان أصل لل Integrability ياما
بأثبت ال U of اف زائد جي بيساوي الال بيقل اف زائد
جي وهذه يمكن شوية سنة بتغلب أو أن أستخدم اللي هو
Integrability criteria ان اوصل انه لكل أبسلون أكبر من
صفر there exist a partition بإبسلون بحيث أن U
بإبسلون و F زائد G ناقص ال L بإبسلون و F زائد G يكون
أصغر من إبسلون، إذا حصلت هيك بكون على طول أثبتت أن
ال F زائد G is integrable واضح؟ طيب، وحروح بهذا
الاتجاه، طيب، شوفوا معايا الآن إحنا فرضين أن F is
integrable إذن، مدام F is integrable إذن، by
Integrability criterion there exist لكل إبسلون
طبعاً أخدت الآن إبسلون أكبر من صفر given أنا إبسلون
ماشي، مدام F is integrable فانحارس بالـ
Integrability criterion there exist B F و إبسلون
partition B F و إبسلون such that U B F و إبسلون
والـ Function F ناقص... ناقص ال... معايا شباب؟
تذكرتوا هالنظرية؟ F و Epsilon و F أصغر من مين؟
أصغر من Epsilon على 2 للحسابات الـ Epsilon على 2
ماشي... الآن خليني بس عشان أسهل عملية الحسابات
إليه، بتنقل هذه هنا بعد إذنكم، وأقول هذا الكلام
أصغر من اللي هو هذا زائد هذا، واضح إيش اللي بعمله؟
اللي صار عندي الآن بما أنه F is integrable إذا
بلاقي partition F إبسلون بحيث أنه هذا أصغر من هذا
زائد هذا، واضح؟ Similarly for G G is integrable
Similarly for G G is integrable بيعطيني
for every ε أكبر من 0 there exists بي ابسلون خاص
بال G خليني أسميه بعد ذلك بي جي ابسلون such that
طبعاً partition of نفس ال interval اللي بنشتغل عليها
لإن ال F وال G دير بالكم معرفة على نفس الـ
interval such that اللي هو ال U بي G و ابسلون و G
الآن ال function اللي بحكي عنها أصغر من L بجي
وإبسلون أو الـ function ash جي زائد برضه مين؟
إبسلون على اتنين، واضح يا جماعة؟ إذا من الـ
integrability للـ F لجي تلها partition ومن الـ
integrability للـ G لجي تلها partition الآن زي ما
عملنا المرة الفاتة بدي أخد partition عشان أستخدم
هذه وأستخدم هذه فبقول let بإبسلون وهذا بقول اللي
بتدعي ان اللي حلقيه اللي يثبت الـ Integrability أو
اللي هي criterion Integrability خدوا مين هو؟ أكيد
كلكم حتقوله خد F و E اتحاد B G و E عشان يصير
بإبسلون refinement لهذه للأولى و refinement للثانية
وتظبط معانا أن ال refinement تحسين بيصير ال lower
للتحسين يكبر عشان يروح للاش... لنساحة تحت المنحنى
بالظبط في حالة الموجبة بقى، والتحسين اللي يصير ال U
يصغر فبلتجن مع بعض فبعملنا بعملنا الـ الـ
integrability ماشي الحال سيانا عادينا كثير هذا
الكلام، طيب صلى على النبي عليه الصلاة والسلام، صلى
عليه الصلاة والسلام، الآن عندي صار هذا عندي موجود
وهذا عندي إيش موجود؟ أنا غرض مين؟ غرض هيه لهذه، اه
عندي U الآن، بدأ، أبدأ أجهز أن أصل U بإبسلون وافذائت
G اللي هو ناقص الـ P Y و F زائد G أصغر من إبسلون
بيكون خلصت بيصير عندي ال F زائد G is integrable
إذا خلينا نقول U بي إبسلون و F زائد G ماشي شباب؟
طيب هذه الآن أكيد أصغر أو يساوي من اللي أثبت هذا
أثبتنا لمين يا جماعة؟ في الأول اللي حضرناه وقلنا
اتعبنا عليه هذا قلنا صحيح لكل Partition في الدنيا
من ضمنه مين؟ الـ BY اللي جاته إذن هذا بيصير أصغر أو
يساوي U BY و F زائد U BY و G ماشي يا أبو حسن؟ منيح
هيك بيكون أصغر أو يساوي هذه، زي أن أصغر أو يساوي
اللي هي الثانية، طيب الآن ال... ال U P Y الآن ال P
Y refinement لمين؟ لل P F Y و refinement لمين برضه
يا جماعة؟ ل P G Y مدام refinement إذن اللي هو
التحسين... التحسين للـ U بصغر، إذا هيصير عندي هذا
التحسين أكيد أصغر أو يساوي من الـ U بـ F وإبسلون
اللي هو هذا تحسين لهذا و F زائد برضه التحسين هذا
هيكون أصغر من اللي اتحسنله اللي هو الـ U بـ G
وإبسلون أو G ماشي الحال، طيب نفس الأشياء عندنا احنا
بنعرف أن هذا المقدار U بإبسلون و F F و إبسلون
طلعوا على هنا هيو، أصغر يساوي هذه زائد إبسلون على
اتنين وهذه هيها أصلاً بالعمد أن احنا عملنا الأسرع
عشان نعوض بيصير من هذه ومن هذه بيصير أصغر من ال of
B F و Epsilon مع ال F زائد Epsilon على 2 زائد بدل
هذه اللي هي هيها منها نقل L B G و Epsilon و G زائد
Epsilon على 2 إن شاء الله ما خرب، 12 لأ، ما خرب 12 الآن
صار عندي هذي y على اتنين و y على اتنين واتنين
واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين و
اتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين و
اتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين
واتنين واتنين واتنين وامن أو يساوي الـ
refinement للـ L of B ε و F زائد اللي هو L أو B ε
OG سبحان الله، كل الأمور متناسقة عشان في الآخر برضه
هذه الخاصية نستخدم اللي فوق وهذا تناسق في الخلق
ما بين ما ينتجه العقل وما تنتجه الطبيعة اللي هو
هذا الآن المقدار ال بيبسلون، ال بيبسلون هي هذا
المقدار تطلع عليه من هنا، أصغر أو يساوي ال بي أف
زائد إيش؟ جي، فبيصير هذا أصغر أو يساوي، عوضت من هنا يا
شباب الـ B و F زائد G يعني إبسلون طبعاً لأن هذا
الكلام صحيح لكل partition زي ما قلنا من ضمن إن الـ
B إبسلون زائد إيش إبسلون؟ صار عندي الآن اللي بديها
الـ U بيبسلون F زائد G أصغر أو يساوي L بيبسلون F
زائد G زائد Y يعني عشان اللي وصلت له أخدت Y
arbitrary لجهة partition بيبسلون بحيث أن الـ U
بيبسلون F زائد G ناقص القلبي Y F زائد G أصغر من Y
وهذا يعني أنه احنا حققنا الـ Integrable criterion
بمعنى أنه صارت الـ F زائد G is integrable إذن الآن
أثبتنا أن الـ F زائد G is integrable نيجي الآن
نحاول نخلي بس هدول اللي هستخدمهن بعد شوية هنخليه
الموجودات وده يعني مسحناها نضطرنا مسحناها نرجع
للتلخيص ركزوا معايا إيش اللي بقوله إيش اللي بحكيه
عندي
الآن بدي أثبت أن ال integration لل F زي ال G يا
شباب سواء ال integration لل F زي ال integration لل
G يعني الخطوة الأولى احنا أثبتنا أن F زي ال G
integrable الآن بدي أثبت أن ال integration لل F زي
ال G سواء ال integration لل F زي ال integration لل
G شوفوا عليها نيجي الآن ال integration من A ل B لل
F زي ال G ماهي الحالة ال integration لل F زي ال G
بتساوي الـ U of F زائد G صح ولا لأ؟ آه لأن الـ
Sort of زائد G is integrable إذا بتساوي الـ U of F
زائد G الـ U of F زائد G هي عبارة عن إيش يا جماعة؟
هي عبارة عن الـ infimum لكل الـ U of زائد G مع
الpartition B إذن أي واحدة من اللي بموجود عليهم الـ
infimum هتكون هذا أصغر منها، هيصير عندي هذه أصغر
أو يساوي الـ U بيبسلون الـ F زائد D، آه أكيد،
عارفين ليش؟ لأن هذه الـ infimum لكل الـ U زلة زي
هيك حيث الـ PY عبارة عن الـ partition وين موجودة في
P of I هذه الـ U عبارة عن الـ infimum إلهم إذا
الواحد منهم أكبر أو يساوي اللي هو هذا الـ infimum
اللي هو الرابع .. ال grades اللي هو الرابع طيب هذا
U PY F زائد G U PY F زائد G لجناه أصغر أو يساوي
اللي هو ال بي أبسلون و F و بي أبسلون جي زائد
إبسلون شايفين هو من هنا يا شباب هاي اللي بدأ
استخدمه الآن هاي اللي بدأ تلزمني هنا هاي هذه هاي
هذه أثبتناها أصغر أو يساوي هذه خليني الآن أستخدمها
فوق فده ننجلها فوق هذه أصغر أو يساوي اللي بالأزرق
هذه أصغر أو يساوي الجيت بتعرفي أشي بتسوي ال بي
أبسلون و F
معايا شباب طيب ما هو ال F is integrable إذا ال
integration لل F بيساوي L و F أكيد بيساوي U و F لأن هذه
الـ L of F هي عبارة عن الـ Supremum لهذه كلها إذن
أكيد هذا أصغر أو يساوي الـ L of F زائد و L of G
برضه أكبر أو يساوي هذه لأن هذه عبارة عن الـ
Supremum لكل الأشكال اللي زي هذه و L of F هي عبارة
عن الـ Supremum لكل الـ B's و F لكل اللي هو ال
partitions اللي في set of all partitions
partitions B of I زائد مين؟ زائد أبسلون ولأن F is
integrable إذا هذا بيساوي بالظبط ال integration من
A ل B لل F زائد ال integration لأن G is integrable
ماعطينايها أصلاً G من A ل B زائد H زائد أبسلون صار
عندي الآن ال integration اللي حصلته يا شباب اللي
حصلته مالي اللي حصلته أنه صار عندي ال integration
لل F زائد G من a ل b أشماله أصغر أو يساوي ال
integration لل F من a ل عند b زائد ال integration
لل g من a ل b زائد ابسلون هذا لكل ابسلون في الدنيا
لكل ابسلون في الدنيا هذا صحيح إذا المدام صحيح لكل
إبسلون إذا أكيد هيطلع لل integration لل F زائد G
من A ل B أصغر أو يساوي ال integration لل F زائد ال
integration لل G من A ل B من A ل B لأن اللي فوق
صحيح لمين؟ لأي إبسلون في الدنيا اللي بتستشكل عليه
الاب أنه يفهمها عن طريق أنه since إبسلون was
arbitrary then هذا أصغر أو يساوي هذا يأخذ الحالة
الخاصة للإبسلونات لأن لكل إبسلون هذا صحيح من ضمنها
الإبسلونات اللي بيساوي 1 على N لكل N بيظل هذا ال
integration لل F زائد G أصغر إذا كان ال
integration لل F زائد ال integration لل G زائد 1
على N لكل N في الدنيا لأن هذا صحيح على كل إبسلون
من ضمنها ال 1 على N مات ال N every N يعني الآن مدام
هذه صحيحة بناء على هذه صحيحة خد ال limit للجهتين
as n goes to infinity ال limit للجهتين as n goes
to infinity هذا independent of n وهذا independent
of n وهذا as n goes to infinity بتروح للصفر بيصير
عنده اللي هو ال integration لل F زائد G هيكون أصغر
السهولة integration لل F زائد integration لمن؟ لل
G هذا فهم آخر اللي بشوية بتغلب من قصة since Y هو
الواضع الاربتردن كذا كده طيب إذا صار عندي الآن
إثباتة ال integration ل F زي ال G ظهر سواء ال
integration ل F زي ال integration ل G اللي هان بده
يأثبت المساواة بده يثبت العكس بده ياخد الـ
integration للـ F زي الـ integration للـ G و أصل
للي بديه شوف كيف اتفجنا الآن إيش أثبتنا يا شباب
خليني أسجلها هان أخزنها ال integration للـ F زي
الـ G من A ل B أصغر أو يساوي ال integration للـ F من A
ل B زي ال integration للـ G من A ل B وهذا أثبتناه
بالدفت بت اللي هو conversely برضه اعتمادا على
الحديث الأولاني خليني
اكتب بالأسود هنا عشان أتميز بين الجهتين عند الآن
ال integration لل F من A ل B زائد ال integration لل
G من A ل B ماشي الحال هذا اللي هو أصغر أو يساوي
اللي هو نفس المنطق الأولاني هذا اللي هو عبارة عن
اللي بالظبط بيساوي ال U of F زائد ال U of G و ال U
of F هذه عبارة عن ال infimum على كل ال U's اللي هي
ال lower ال upper sums اللي هي أصغر أو يساوي ال U
لل بي إبسلون و F زائد ال U لل بي إبسلون و جي مظبوط
ولا لأ؟ أكيد مظبوط لأن هذا عبارة عن الام في مملكة
كل هذول وهذه عبارة عن ال supreme مملكة لكل هذول
ماشي الآن عندي هذا نفسه ال U بي إبسلن و أف و ال U
بي أل إبسلن و أف أثبتناها نتطلع عليها نستخدم حاجة
هنا يو بي إبسل و أف و يو بي إبسل و أف أصغر يساوي
مين؟ هايها ال بي إبسلون و أف زائد جي صحيح؟ واضح
عشان بابا يعني بدت أستخدم الآن هاي هذي يو بي
إبسلون شايفينها؟ هي اللي بحكي بشويش عشان تتركزوا
معايا اللي بالأزرق هذا اللي بالأصفر آسف معها دي
هذا كله أثبتناه إذا مين ده؟ استخدمه إذا هذا أصفر
أو يساوي اللي هي L بي أبسلون و F زائد G زائد 100
زائد أبسلون معايا يا شباب أكيد اللي هو وضحت إيش
بدي أسوي هذا نفسه اللي هو أصغر أو يساوي L of F زي
الـ G زي الـ Epsilon لأن L of F مين زي الـ G
يقولونها كتير إيش هي دي؟ عبارة عن الـ Supremum لكل
دولة آه على كل ال partitions إذا أكيد ال L of F هو
أكبر أو يساوي هذا المقدر ال L of F زائد G عبارة عن
ال sobremom لكل اللي هي lower sums اللي إنصار عندي
و هذا لأن F زائد G أثبتناها inintegrable بيساوي ال
integration من A ل B لل F زائد G لكل أشماله زائد Y
إذا حصلنا الـ F زائد الـ integration للـ A للـ F
من A إلى B زائد الـ integration للـ G من A إلى B
أصغر أو يساوي ال integration من A إلى B للـ F زائد
G زائد مين؟ زائد إبسنون مظبوط يا شباب الآن نفس
القصة الأولى بما أن إبسلون كان مخصصًا وبنفس المنطق
اللي حكيته قبل بشوية إذا ال integration لل F من A
لعند B زائد ال integration لل G من A لعند B هيكون
أصغر أو يساوي ال integration لل F زائد G هذه الآن
اللي بالأصفر مع هذه اللي بالأحمر يعطينا أن ال
integration للـ F زائد G من A لعند B يساوي بالظبط
integration من A لB للF زائد integration من A لB
للG وهو المطلوب
و بكون احنا هي كأثبتنا الجزء الثاني من النظرية
اللي هي الأولى اللي هو ال integration لل F زي ال G
بسبب ال integration لل F زائد ال integration لمين؟
لل G فيكم تصلوا علينا بيه؟ عليه الصلاة والسلام وصلى
الله عليه وسلم يا حمد طيب يا شباب شوفوا النظرية
اللي عندي كما يلي نظريتنا بقول لو كانت F من الـ
closed bounded interval A وB لعند الـ R بـ
Integrable function On I اللي هي دالة قابلة
للتكامل بالنسبة للرمان وكانت الدالة F of X أكبر أو
يساوي صفر يعني المنحنى وين؟ فوق اللي هو محور
السينات إذا حيكون ال integration للـ F نفسه برضه
أشماله أكبر أو يساوي صفر يعني الآن بقولي F of X
أكبر أو يساوي صفر on I اللي بيعطيني ال integration
على ال I من A ل B لل F أكبر أو يساوي أيش برضه صفر
و proof سهل الأمر و ما أعطيك F integrable كمان
ما أعطيك F أشماله is integrable معايا مدام ال F is
integrable إذا أكيد ال integrationللـ F من عند A ل
B بساوي L of F مثلا أو بساوي U of F زي ما بدك
بساوي L of F الـ L of F أكيد أكبر أو يساوي لإنه الـ L of
F عبارة عن إيش يا شباب عبارة عن طبعا الـ L of F هنا
بتظبط معنا الـ L of F عبارة عن إيش عبارة عن الـ
Supremumلمين؟ لكل ال partitions إذا أكيد هي أكبر
أو يساوي الـ L of P أو P أو F إيش الـ L of P أو F؟
some partition أنا بديها Partition مين؟ للفترة A و B
اللي هي الفترة مين؟ I اللي هي A و B هذا فترة نهار
الآن أنا بقول الـ L of F اللي هو الـ supremum على كل
ال partitions دولة للـ L على كل ال partitions دولة
أكيد هيكون أكبر أو يساوي طيب هذا إيش معنى هذا
اخترته هل جيت بتشوفوا إيش معنى اخترته؟ إيش ال
partition هذا B A و B؟ هذا ال partition هو B A و B
هو بس ال partition اللي في نقطتين أول نقطة و آخر
نقطة يعني ما .. ما جزأت الـ interval إلا لحالها هي
.. هي التجزئة هي الـ interval a و b بصحيح اللي هو
طبعا I partition للـ a و الـ b طيب إيش تعريفه هذا ..
هذا .. هذا .. إيش تعريفه هذا بساوي اللي هو الـ
summation مش هنحتاج الـ summation لأنه بس إيش مالها
ما فيش تغير صفر الـ interval واحدة إذا بساوي اللي هو
الـ M summation للـ M Kأه في إيش في xk-xk-1 لكن أصلا
أنا باخد بس اللي هو ما فيش غير sub interval واحدة
اللي هي الـ a و الـ b يعني هذه بمعنى آخر b minus
a minus a و ال mk هنا واحدة بس مين هي ال
maximum اللي هي خلينا نسميها m a و b هذه MAP ماذا
بتساوي حسب التعريف الـ infimum للـ F of X حيث الـ X
موجودة في الـ sub interval هذه اللي هي I نفسه الآن
هيك باخد الـ .. الـ .. الـ .. ال partition صار عندي
الآن هذا أكبر يساوي m of P في مين؟ ف أنا هذه
infimum من الـ F of X و أحنا فرضين إن الـ F of X أكبر
يساوي صفر يعني الـ infimum غصب بين عنا هيطلع F أكبر
يساوي صفر إذا هذه أكبر أو يساوي صفر و هذه أكبر أو
يساوي صفر إذا مع بعض التنتين إيش شماله؟ أكبر أو
يساوي صفر إذا ال integration من A ل B لل F أكبر أو
يساوي صفر
هذه هي النظرية 722 نجي الآن للـ remark اللي بعدها و
الـ remark اللي بعدها يعني على اللي هي النظرية
الفهم النظرية هذه على طول بنستوعبها إن شاء الله و
بنفهمها
ما هي النظرية اللي تريد أن تقولها؟ إذا كانت f من I
a و b لعند R is integrable لكل x element in I
لجينا أن f of x بين مين؟ بين قيمتين بين M و بين
مين؟ بين M capital دائما الـ f of x يعني كأنه
دلتنا دلتنا هي ها هي عنا ال function أي إن كانت
و هي الفترة a و b عندنا من هنا a و b و B و هاي اللي
هو M small و هاي M capital يعني الدالة بين ..
دايما و اجعة بين هدول النغطين اللي هو بين M small و
بين M capital إذا ال integration تبعها من A ل B لل
F أكبر يساوي M في B minus A و أصغر من M في B minus
A capital واضح؟ طيب شوف
الآن أول حاجة مدام F is integrable إذا بدك تلاحظ أن
الـ L of F بساوي الـ U of F بساوي قيمة ال
integration من A ل B لل F of X DX، مظبوط؟ هذا من
تعريف أن الـ F أشماله F is integrable تعالي الـ L
of F زي ما عملنا قبل بشوية L of F اللي هي أشماله
أكبر أو يساوي لإن الـ supremum على كل مين على ال
partitions اللي لها إذا أكبر أو يساوي اللي هو ال
الـ L of P أو P و F اللي قبل شوية عملته ماشي اللي
هو L أو P و F بساوي اللي هو الـ infimum للـ F of X
such that X element in the interval A و B هذا الـ
sub interval في الشغل هي واحدة اللي هو مضروب في
مين؟ في طول الـ interval اللي هي مين طول ال
interval في هذه الحالة؟ أو الـ sub interval B minus
A هي سماشي لكن أنا أصلا ما عنديش غير sub interval
واحدة هيك مجزقة أنا الفترة إلى جزء واحد بس الآن ال
infimum هذا عمالي بقول أنا الـ F of X أكبر يساوي
مين؟ M إذاً، حيكون عند الـ infimum له أكيد هيكون
أكبر أو يساوي الـ M هذه في مين؟ في الـ B minus A
كمان مرة الـ F of X أكبر أو يساوي M إذاً، الـ
infimum تبعه أكيد هيظل أكبر أو يساوي مين؟ أكبر أو
يساوي M هذه من جهة الآن، صار عندي الآن اللي عملته
L of F هذا أتبعته أكبر أو يساوي M في B minus A
Similarly الآن بدي أشتغل على مين يا شباب بدي أشتغل
على الـ U عشان أسيب أجيب اللي هي أصغر أو يساوي شوف
كيف بدي أعملها الـ U of F إيش بيساوي؟ طبعا الـ U في
F إيش ماله؟ هو الـ infimum على كل ال other sums
إذن هيكون أصغر أو يساوي الـ U على الـ B .. الـ B A و
B نفس ال partition بتاخده و مين و الـ F الـ U of F هو
عبارة عن الـ infimum على كل ال other sums هذا الأن
إيش بيساوي؟ بيساوي اللي هو بس الـ sub interval
واحدة مين هي؟ أنا باخدها اللي بردش إن أنا بس
نقطتين إذا الـ sub interval واحدة اللي هي B minus
A بيصير عند الـ supremum لم K Capital لأ الـ F of X
such that X element in A و B هو مضروب في مين في طول
الفترة اللي هي الـ sub interval عند بي minus ايه
الآن و يساوي هذا الـ supremum معلقها يا شباب أكيد
مدامة الـ F of X أصغر أو يساوي M إذاً هيكون الـ
Supremum لأن هذا الـ Supremum إيش شماله؟ الـ Least
Upper Bound مدامة الـ M عبارة عن Upper Bound للـ F
of X لأنها أكبر يساوي F of X إذاً هيكون عند الـ
Least Upper Bound اللي هو الـ Supremum أصغر أو
يساوي الـ Upper Bound M في الـ B minus A إذاً صار
Luv F أصغر أو يساوي B M في B minus A هذا صار عندي
اللي هو أصغر أو يساوي الـ M في B minus A اللي هو
بيساوي هذا طبعا معطى بيصير أصغر أو يساوي M في B
minus A فبيصير فعلا ال integration تبعها بين M في B
minus A و بين M في B minus A capital M اللي
ما أوضحت لهوش هذه بنفس الطريقة اللي هنا عند الـ M صارت
lower bound لهذه و الـ infimum هذه عبارة عن
greatest lower bound مدام greatest lower bound ده
الأكبر أو يساوي واحد من الـ lower bound اللي هو مين
اللي هو الـ M ماشي الحالة و الباقي زي ما هو هيك
بيكون أثبتنا اللي هي الـ remark اللي عندي
إن ييجي إلى الـ Corollary للنظرية اللي قبل بشوية
برضه
الإثبات إن شاء الله سهل شوفوا
يا شباب عندي الآن الـ Corollary بتقول ما يلي F F و
G من I لعند R ر انتيجرابل on I فعندي F و G
انتيجرابل و F of X أصغر يساوي G of X لكل X element
on I ده ال integration من A لB للF أصغر ال
integration من A لB لمن لل G ماشي الحال فبيصير عندي
الآن ال integration أنه لو كانت الـ F of X أصغر
يساوي G of X on I بيعطيني ال integration للـ F على
الـ I اللي هو من A و لا B نظرها لتعرف ال
integration من A لB لمن لـ G طيب عندي F و G
integrable صح ولا لأ إذا أكيد زي ما حكيت في أول
المحاضرة حسب اللي هو إنه F integrable و G
integrable إذا مجموعهم انتجرابل أو حاصل طرح الـ
Integrable بناء على إنه K في F انتجرابل أو K في G
انتجرابل أو بناء على إنه بيصير ناقص G is
integrable بيطلع عندي الـ F ناقص G أشماله is
integrable مش الحال طيب و مش هيك كمان و قلنا ال
integration للـ F ناقص G أو الـ G - F تلزمني أنا الـ
G - F فهن الـ G - F is integrable مدام G - F is
integrable إذا الـ G - F حسب اللي .. النظرية قبل
بشوية الـ G minus F من هنا بصير G ناقص F of X أكبر
أو يساوي صفر من I إذا حيكون الـ G minus F على من A
ل B أكبر أو يساوي صفر حسب النظرية اللي هاد
الـ Corollary إلها طيب و من جهة أخرى بالنظرية اللي
حكيناها في الأول اللي هو مجموع دالتين أو حاصل طرحين
بساوي ال integration إن الـ G من A لB زائد ال
integration من A إلى B للـ
G ناقص ال integration من A إلى B للـ F اعتمدت هنا
في التوزيع و في إخراج النقص على الـ K F Integrable
و الـ K في ال integration بيساوي ال integration
للـ K و اللي هو اعتمادا على ال integration للـ F زي
الـ G بيساوي ال integration للـ F زي ال integration
للـ G من هنا صار عندي أنقل هذا بس على الجهة الثانية
بيصير ال integration للـ G من A لـ B لما انقل هذا
على الجهة الثانية أكبر أو يساوي ال integration للـ
F من A لـ B وهو المطلوب. طيب يا شباب نيجي للنظرية
اللي بعدها. خلونا نركز شوية لأنه البرهان يعني طويل
شوية لكن إن شاء الله بتستوعبوه. نشوف إيش النظرية
بتقول النظرية
تقول ما يلي: let I عبارة عن فترة من A لعند B، هاي
الفترة اللي عندي. هاي الفترة من A لعند B، وعندي ماخد
أنا C نقطة في داخل الفترة A و B. طبعا النظرية
هتلاقوها مش غريبة عليكم. مرة تلاقوكم الكلكولات ولكن
البرهان اللي بده شغل. let I بيساوي من A لعند B and
let C be an element in A و B and let F من كل I
لعند R be a bounded function. يعني ال function اللي
بنشتغل عليها bounded جاهزة يعني. and then النتيجة
بقولي F is integrable on I. هتكون الـ F integrable
على كل الفترة اللي هي I من A و B إذا و فقط إذا F
is integrable على مين؟ على on both I واحد من A لـ C و
I2 من C لعند B. ومش هيك بقولك وكمان هيكون عند الـ
integration من A لـ B لـ F سوى ال integration من A لـ
C لـ F زائد ال integration من C لـ عند B لـ F اللي هي
الشيء المعود عندنا. إذا الأن بقولي الإعلان اللي
بقوله مالي إذا كانت F is a bounded function on the
interval كلها I اللي سمينها من A لـ عند B، I. أه إذا
كانت F is bounded function عليها إذا F is
integrable on I if and only if F is integrable on
I1 and F is integrable on I2. وفي هذه الحالة سيكون
عنده ال integration من A لعند B سوى ال integration
من A لـ C زائد ال integration من C لعند B. بدنا نفترض
في الأول أن F is integrable على I1 و I2 ونصل أنه
اللي هو إيه شماله؟ اللي هو ال function is
integrable عالميا على كل الفترة اللي هي I. إذا الأن
أول حاجة بدنا نفترضها انتبهوا عندي إيش بنسوي، صبوز
that F is integrable on I1 and I2. ستجدون أننا
نعتمد كثير على الـ Integrable criterion. ستجدون كم
هي مهمة في إثبات هذه النظريات. مادام F is
integrable على I1 خلّينا ناخد Y أكبر من صفر
arbitrary. for every Y أكبر من صفر بما أن F is
integrable on I1 then there exists B1Y. هذا
partition عالميا على I1 such that لأن F is
integrable على I1 such that الـ UB1 و Epsilon و
الـ function F ناقص الـ LB1 و Epsilon و الـ
function F أصغر من مين؟ من Epsilon على 2 للحسابات
ماشي الحال. هذا
استخداما للـ integrability للـ function F عالمين
على الـ I1. Similarly, There exist B2
و Epsilon بما أن F Integra بالعالم I2 إذاً there
exist B2 و Epsilon such that U B2 و Epsilon هذا
partition لمين؟ للفترة التانية I2 اللي هي من C
لعند B و F ناقص الـ LB2 و Epsilon و F أصغر من مين
يا جماعة أصغر برضه من Epsilon على اتنين. ماشي الحال
الآن أنا غرضي أن أثبت أن F is Integra بالعالمين
على كل الفترة I من A لعند مين؟ لعند B. الان let ما
دام بده .. بده اللي هو أثبت الـ Integrability للـ
F يا شباب على كل الـ I. إذا بدي partition على كل
الـ I، ال partition المؤهل ليكون الـ I الـ B1 و Y
جزء هذه و الـ B2 و Y جزء هذه. إذا حاكيد عند let B
اللي هو بيساوي أو بي اللي هو .. امسميه بي إبسلون
بيساوي B1 و Epsilon اتحاد B2 و Epsilon. واضحة؟
وهذا هيكون إشمال و partition. partition لمين؟ لكل
الـ I معايا يا شباب، اه؟ إذا صار عندي الآن اخترت أنا
الـ بي إبسلون عبارة عن B1 إبسلون اتحاد B2
إبسلون وبدأ أصل للـ UB إبسلون نال أقل الـ LB
إبسلون أصغر من إبسلون. واضح اه؟ عشان أثبت أنه الـ
function F is integrable على كل الـ I. هذا إيش ماله؟
صار let BY بسوا كده which هذا المهم is a partition
of I كلها لأن الأولان جزء هذا العندلهان والتاني
جزء هذا العندلهان إذا إتحادا هيجزء كل المنطقة
المطلوبة. طيب شوف الآن احسبلي الآن U,B,Y,F-L,B,Y,F
ويساوي الـ
U,B,Y,F عبارة عن إيش يا جماعة؟ الـ U,B,Y,F خلينا
نقول U,B,Y,F اللي هو عبارة عن some U بتحت عشان
تشوفوا إيش اللي بعمله. U,B,Y,F عبارة
عن summation لأ الـ MK الـ N و Xk minus Xk minus
واحد. K مثلا من واحد لعند مين؟ لعند N. هذه اللي
بتجزئلي من عند A لعند مين؟ لعند B. و أكيد هتمر في C
ليش؟ أكيد C هتكون نقطة من النقاط، ليش هتكون نقطة من
النقاط؟ لأنه أنا أخدت بي إبسلون هي اتحاد هذه مع
هذه. و آخر نقطة في هذه هي الـ C و أول نقطة في هذه
هي الـ C. كيف هذه partition لهذه و هذه partition
لهذه؟ مش لما نعمل partition لكل الفترة بيكون أول
نقطة و أخر نقطة من ضمن ال partition؟ أكيد. و إذن الـ
partition للفترة الصغيرة هتكون اللي هي من عند A
لعند C إذا الـ C هنا و الـ C هنا. إذا مضمون الـ C
واحدة من هدول. ماشي الحال. إذا هذا الآن باجي الـ Mk
هي عبارة عن نفترض أنه من عند X Note لعند XN وهنا
الـ XL اللي هي الـ C واحدة من عناصر اللي هي ال ..
ال .. ال .. ال partition. إذن الآن بقدر أجزء هذا
لجزئين. Mk في Xk minus Xk minus 1 من كام؟ من عند 1 لعند
اللي هي النقطة الـ K اللي خلّيني أسميها M حيث الـ
XM هي الـ C زائد الـ summation للـ MK الـ Xk minus
Xk minus 1 كام؟ من
عند واحد، آسف، كام؟ من عند مين؟ اللي بعدها اللي هي الـ M
اللي عند الـ M عند الـ N. هذه اللي هي مين؟ XM بيساوي
الـ C. إذا في الحالتين هنا عند هذا زائد هذا الـ
summation هو الـ summation هذا على ال intervals
بضلي أجزء أجزء لمن أصل عند هذه بكون اللي هو
التجزئة الأولى وبعدين التجزئة الثانية بكمل من هنا
و بضلي طالعة و بوجد الـ MK للنهانة و الـ MK للنهانة
المجموع النهانة هو عبارة عن هيعمله اللي هو الـ UB
إبسلون طبعا MK capital، آسف، هذه و هذا MK capital
لأنه بحكي عن الـ other اللي مهم الفكرة الـ UB
إبسلون واحد F اللي هي الـ partition الأول اللي بنيت
عليه مين؟ اللي هو partition بي إبسلون سميته واحد و
إبسلون زائد اللي هو mean المتبقي اللي هو U بي تنين
و إبسلون و F. هذا كله mean الـ UB إبسلون و F
similarly mean الآن
Similarly mean الـ L of B, Epsilon و F برضه هذا
بجزء المنطقة ككل وهو مبني على أساس تجزئة اللي هو
B1 و Epsilon اتحاد B2 و Epsilon. إذا بالظبط هذا
برضه بيساوي ناقص اللي هو الـ LB1 و Epsilon و F
زائد L الجزء الثاني B2 Epsilon و F و يساوي الان
هذا ناقص هذا U B1 Epsilon و F ناقص الـ LB1 Epsilon و
F. أخدت هذا يا جماعة مع هذا خلصنا منه زائد اللي هو
اللي متبقي اللي هو هذا ناقص هذا اللي هو U B2 و
Epsilon و F ناقص L B2 و Epsilon و F. هذا الآن
هيه من فوق اللي حضرناله أصغر من Epsilon على اتنين و
هذا حضرناله برضه أصغر من Epsilon على اتنين. إذا صار
هذا الطرح بينهم أصغر من مين؟ من Epsilon. صرنا مثل تين
لكل Epsilon أكبر من صفر there exist B2, there exist
بإبسلون such that U بإبسلون و F ناقصها L إبسلون و F
أصغر من مين؟ من إبسلون. إذا صارت عندي F is
integrable on I اللي لجينا ال partition لها هذا
الجزء الأول من النظرية. الآن بدنا نثبت اللي هو
conversely. بدنا نفترض أنه F is integrable على كل
الفترة ومن ثم نثبت أنه integrable على كل
subinterval من التنتين اللي موجودة. إذا الآن الجزء
الثاني بنقول suppose
that F is integrable on I لها بتساوي A و B و بدنا
نثبت أنها integrable عالميا على الفترة الأولى A و
C و الفترة الثانية C. طيب خلّينا نكمل اللي هو نقول
conversely.
مادام اللي هي F is integrable إذا بالـ Cauchy
criterion لكل ي أكبر من صفر there exists B اللي هو
partition اللي هو مسميه B ممكن نسميه احنا بي
إبسلون element in B of I. هذا طبعا ال partition
بيعتمد على مين؟ على إبسلون such that U, B و F ناقص L, B و F أصغر من مين؟ من إبسلون.
الـ U of F أصغر من مين من إبسلون هذا لأن F is
integrable اللي هي by Cauchy .. by .. by
integrability criterion حصلنا على هذه الآن لمين
رايح بدي أثبت الـ Integrability لعالفترة A وC و
Integrability لفترة B وC فانا بدي في الـ partition
اللي أصل له بدي أصل للـ U لل partition B مثلا معينة
B' و F- L B' و F بدي أصل أصغر من مين أصل أصغر من
إبسلون وهذه تكون الـ B' partition لمين للفترة
الأولى فعشان تكون للفترة الأولى لازم تكون الـ C
موجودة فيها فبناء عليه أنا مش عارف الـ B' الـ B اللي
لجيت فيه الـ C ولا لأ إذا بتاخدوا بعين الاعتبار
عشان أصل لمين للـ B' اللي تكون فيها الـ C عشان هيك
أنا إيش جيت قلنا لما لجينا الـ B هذه وفقا للـ F is
integrable وبتحقق هذه جيت خليني وقلت خليني ناخد
B' إيش بتساوي يا شباب بتساوي B اتحاد الـ C يعني
ضفت للـ partition اللي لجيت من الـ C وهو هذا الـ
B' برضه هيحقق للي بدي اه اللي هو A شماله صار B'
refinement للـ B ما دام الـ Refinement للـ B إذا
UB' و F أكيد الـ Refinement هذا هيصغر عن الأصل
اللي هو الـ UBF بينما الـ B' of F هيكبر عن مين؟ عن
الأصل فلمّا أضربه في سالب هيصغر إذا حيصير عند U B'
F ناقص الـ B' F أصغر يساوي U B و F ناقص الـ B و F
وهذا أصلا أصغر من مين؟ من Epsilon إذا طلع عند ال
B' اللي أنا احتجته اللي في الأصل هو الـ B الأصلية
اللي لجيت اتحاد الـ C طلع برضه الـ U B' F ناقص
الـ B' F أصغر من إبسلون اللي أنا بعد شوية هحتاجه
في عملية إثبات أنه اللي هو الـ F is integrable على
الجزء الأول اللي هو I1 و F is integrable على الجزء
الثاني اللي هو I2 طب كيف بده يحصل هنا؟ شوف كيف بده
يحصل الـ Partition الأولاني B1 براين مثلا B1 براين
اللي بيخللي هذا أصغر من إبسلون وهذا partition
للجزء الأول مما يؤدي لو وجدته هذا أن الـ F is
integrable على الفترة الأولى و similarly حلاجة على
الفترة الثانية وبكون خلصت النظرية هيك نشوف كيف الآن
وجدنا الـ B' أو اللي هو B اتحاد الـ C يحقق هذه
اللي هي المعادلة أو هذه المتباينة أصغر من مين من
Epsilon شوف الآن كيف دي بارتشني للجزء الأول من A
لعين C بكل بساطة قطع للـ B' هذا مع مين؟ مع A و C
أكيد هذا في C أكيد وفي A إذا النقطة الأولى موجودة
والنقطة C موجودة إذا هو فعلا partition لمين؟ هيكون
B' partition للـ A والـ C وبنفس الطريقة and let B
T2' بيساوي B' تقاطع الـC والـB إذا الـC موجودة هنا
والـB موجودة هنا إذا صار هذا بحتوي الـ partition
على الـC وعلى الـB إذا فعلا هو partition لمين
للفترة الثانية is a partition of C وB so that إذا
الآن بحضر إن لجيت اللي هو B1' وB2' واحد partition
للـA والـC والتاني للـC والـB وبدّعي إن هما ال
partitions اللي هوصلني على هذه و similarly زيها
للتانية اللي بتعطيني ال integrability للـF على
الأولى و integrability للـF على الثانية نشوف إيش
اللي بيقوله يلا صلوا علينا يا شباب صلاة والسلام عندي
أحسبني الآن بس خليني بس عشان تكون واضحة قدامك اللي
هي واحد اللي بدي أستخدمها بعد شوية طيب شوفوا يا
جماعة أحسبني الآن U بي برايم و F اللي هو بتساوي U
بي برايم واحد و F زي U بي اتنين برايم و F اللي قبل
بشوية عملناها هو الـ partition هذا بي برايم هو
عبارة عن اتحاد هذا اتحاد هذا ماشي الحال ماشي الآن و
نفس الشيء عملتها قبل هيك الـ b prime of f سواء الـ b
prime واحد أو الـ b2 prime حيث بي اتنين برايم بي
واحد برايم بيساوي اتحاد هنا شماله هو بي برايم إذا
زي ما عملنا قبل بشوية هذه اللي هي ال equality
الثانية الآن من واحد ومن اتنين بدي أصل للي بدي اه
إيش اللي بدي اه احسب لي الآن UB1' F زي UB2' F ناقص ال
B1' F زي ال B2' of F اللي هو من وين هذا جبت اللي
هو عند هي من واحد هي هذه اتقوط عنها بالقيمة هذه من
وين هذه من الآن من هنا شيلت اللي هو .. هاي من هذول
يا جماعة من اللي حاطط عليهم أحمر أنا ثلاثة ..
التنتين هذول عند شيلت هذول .. هذه وحطيت هذه
مكانها طلعت هذه .. هيها .. رايحة؟ وشيلت هذه وحطيت هذه
مكانها
صارت هذه مكانها إذا هذه ناقص هذه اللي هي هذه ناقص
هذه اللي كانت أصغر من إبسلون هتصير أصغر من إبسلون
إذا صار عندي هذا اللي هو الـ U أوضح لكي أنا U بواحد
برايم و F زائد U بيتنين برايم و F ناقص الـ of بواحد
برايم و F زائد الـ B2 prime و F هذا كله أصغر من
إبسلون لأن هذا أصلا كله .. ليش هذا صح؟ لأن هذا
أصلا هو عبارة عن U B prime و F وهذا الـ B prime و
F اللي هو في الأصل هذا من عندي من هنا أصغر من إيش
من إبسلون إذاً هذا صار أصغر من إبسلون خلّي هذا
الكلام في الذاكرة أصغر من إبسلون لأنه هيفيدني بعد
بشوية شوف الآن فوزع خلّيني بس أمسح اللي على اللوح
ووزع الآن عندي هذا بيصير إيش هو هذا بيصير U ب U
ب1 برايم و F ناقص
الـ ب واحد برايم و F كل هذا مع بعضه زائد U ب اتنين
برايم و F ناقص الـ ب اتنين برايم و F هذا كله أصغر
من مين يا جماعة من إبسلون هذول الكميتين هذه زائد
هذه أصغر من إبسلون وهذه موجبة وهذه موجبة إذا
الكمية هذه أكيد لحالها أصغر من إبسلون والكمية هذه
لحالها إيش أصغر من إبسلون هذه أصغر من إبسلون تعني
أن لكل إبسلون لجينا partition بي واحد برايم بحيث
أن هذا ناقص هذا أصغر من إبسلون يعني F is
integrable on I واحد اللي هي من A لـ C لجينا
partition B2' بحيث أنه هذا ناقص B2' لمين لـ I2 هيكون
هذا ناقص هذا أصغر من إبسلون وهذا يعني أن F is
integrable on I2 كده نكون هي كإحنا وصلنا للي
بدي من ناحية إثبات أن F is integrable on I if and
only if F is integrable on I واحد and on I اتنين
دل على الجزء الأخير اللي أثبته أن عندي اللي هو الـ
integration من A إلى B أصغر أو يساوي بالبساوي ال
integration من A إلى C زائد ال integration من C
لعند B ركزوا معايا عشان نختصر الوقت شبيه باللي
شرحته قبل بشوية في النظرية اللي قبلها ال
integration من A لـ B للـ F مدام إن F is Integra
بالفرض إحنا إذا هذا بيساوي عبارة عن الـ U of F و
الـ U of F أكيد اللي هي M في مملة كل هذول إذا أظهر
يساوي U B prime و F B prime partition من A لعند مين
لعند B وهذا قبل بشوية إيش قلنا عنه بيساوي UB1 of F
زائد UB2 of F هذا أكيد أصغر يساوي الأل تبعه وهذا
أكيد أصغر يساوي الأل اللي إله زائد 2 إبسلون من وين
جبته هذا قلنا بما أن F is integrable إذا U ناقص
هذا أصغر من إبسلون و U ناقص هذا أصغر من إبسلون إذا
صار عندي U زائد هذا أصغر من هذا زائد هذا زائد مين
2 إبسلون من وين جبت هذا يا جماعة من اللي هي
الـ integrability criterion for مين for F on the
interval I واحد حيكون الـ U بواحد برايم و F ناقص الـ
بواحد برايم و F أصغر من إبسلون أو بمعنى آخر الـ U
بواحد
أصغر من L بي واحد إبراهيم و F زائد إبسلون هذا جبته
من سببه أن الـ F is integrable on I واحد كلها
Similarly since F is integrable on I واحد كلها I2
كلها إذا بيلاقي بي اتنين برايم بحيث إن U بي اتنين
برايم و F أصغر من L بي اتنين برايم و F زائد إبسلون
مع بعض صار هذا زائد هذا زائد إيش 2 إبسلون بنفس
الطريقة اللي حكيتها قبل بشوية F is Integrable وهذا
أقله في F فالأقل في F هو ال supremum لها دول إذا
هذا أكبر وشوية هذا وهذا أكبر وشوية هذا إذا صار
عندي هذا المقدار أكبر أصغر وشوية هذا زائد هذا زائد
إيه شماله 2 إبسلون وزي ما حكينا قبل بشوية since
إبسلون was arbitrary وبنفس التوضيح الأولاني بطلع
عند ال integration من LB لـ LF آخر شهر ال
integration للأول زائد ال integration للتاني بدون
الإبسلون وقلنا ليش هذا الكلام صحيح الآن الاتجاه
الثاني similarly برضه هتلاقي اللي هو البرهان
متشابه الآن بنفس المنطق وبنفس الطريقة و similarly
طبعا عارفين إيه رايح أنا؟ أنا راح أثبت إن هذا
المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار عند ال
integration هذا زائد ال integration هذا F is
integrable إذا هي بساوي الـ U الـ U of F الـ U of F
هي ال infimum إذا أكيد أصغر أو يساوي الـ U واحدة
منهم وهذه برضه الـ U of F على الفترة هذه برضه أصغر
أو ساويّة واحدة منها إذا أصغر أو ساويّة الـ U هذه
زائد الـ U هذه في مقابله قبل قليل أثبتنا أنه .. قلنا
أنه مدام تفز integrable إذا بالـ .. integrability
criterion الفرق بين هذه وهذه أصغر من إبسلون إذا
صار هذه أصغر من هذه زائد إبسلون وهذه نفس الشيء
للأفز integrable على الفترة التانية نفس اللي قلته
أصغر من هذه زائد إبسلون إذا صار المقدار هذا كله
على بعضه أصغر من هذه زائد هذه زائد اثنين إبسلون
لكن هذولا الثنتين اللي هنابساوين اللي هو LB'F في
هنا إيش مالها مساواة بساوين هذا المقدار لأن الـ LB
'F إيش مالها عبارة عن هذه اتحاد هذه عملناها قبل
شويّة و هذا المقدار عندي اللي هو أصغر أو ساوي هذا
لأن هذا عبارة عن LF و LF على هذه الفترة اللي هو
عبارة عن الـ supreme أو أكبر أو ساوي هذه إذا صار
فيه عندي هذا المقدار أصغر أو يساوي الـ integration
زائد اثنين إبسلون إذا حصلنا على هذا المقدار أكبر أو
يساوي هذا for every إبسلون بنفس المنطق since
إبسلون was arbitrary إذا الـ integration هذا زائد
الـ integration هذا أصغر أو يساوي من هذه ومن اللي
جابلها هذه بيطلع عندي المساواة وهو المطلوب وهيك
بنكون احنا برهنا هذه النظرية أيضا بشكل كامل في
ملاحظة أخيرة على النظرية النظرية بتقول إنه عندي لو
كانت c1 أصغر من c2 أصغر من cn حيث و c1 و c2 و cn
في الفترة a و b اللي هو هيكون اللي هو بنقدر اللي
هي نطبق النظرية هذه عدة مرات فعندي هي a و هي b و
هي c1 هذه C2 وهذه C3 لعند Cn مثلا بيصير أو خلّيني
أقول C1 من هنا وهنا Cn من هنا بيصير الـ integration
من A لـ B بيساوي الـ integration من A لـ C1 زيادة الـ
integration من C1 لـ C2 زيادة المقصر اللي عند أخر
واحدة الـ integration من Cn لعند B للـ function وهذه
اللي هو الملاحظة معهودة الآن في عندي اللي هي
النظرية اللي .. ال .. ال .. ال .. المشهورة اللي هي
composition theorem إن لو كان عندي F is a function
من I لعند R وفي function من اللي هو domain الـ I من
range الـ I .. الـ F كاسف لعند الـ .. لعند الـ R
و كانت had integrable و كانت had integrable هل الـ
composition بينهم integrable طبعا هذا الكلام need
not to be true in general هنشوف مثال بعد شويّة لكن
لو كانت الـ Phi continuous يعني قوّينا الشرط الآن
شويّة هيصير عندي الـ Phi composite ف F is integrable
يعني بمعنى آخر لو كانت F is integrable الـ Phi is
continuous حيكون الـ Phi composition أفضل لما يكون
الـ composition معرف عبارة عن integrable function
و احنا إن شاء الله المرة القادمة بنكمل وإلى لقاء