بسم الله الرحمن الرحيم الجزء الثاني من المحاضرة
التاسعة هيكون اللي هو عبارة عن discussion أو مناقشة
لـ Section 6.2 و 6.3 اللي هو مناقشة لـ Main Value
Theorem and its Applications ومناقشة أيضًا لـ
L'Hopital's Rule نيجي الآن لـ 6.2 الأسئلة المطلوبة
هي كما يلي نبدأ في سؤال 6.2 ادخلنا على الكتاب
خلينا نشوف الـ الـ الـ المثال الـ السؤال من
الكتاب نبدأ الآن بسؤال 5 السؤال الخامس هو كما يلي
Let a أكبر من صفر و b أكبر من صفر و a strictly
أكبر من b طبعًا كل العلاقة strictly وبنفترض أن n
أكبر أو يساوي 2 prove that a أس واحد على n ناقص b
أس واحد على n أصغر من a - b أس واحد على n
لو جينا لاحظنا على اللي هو المطلوب عند خمسة بيقول لي
أن a أكبر من b أكبر من 0 أو n أكبر أو يساوي 2
بيقول لي prove that أن a أس واحد على n ناقص b أس واحد
على n أصغر من a - b الكل أس واحد على n نيجي
للبرهان لو جينا لاحظنا إنه عندي الـ نيجي للسؤال
بس كيف نفكر في السؤال هو ما أعطيني hint في الكتاب
لكن خلينا نشوف كيف كيف حصل على الـ hint لو أدينا
جسمنا الجهتين هذا مش من ضمن الحل طبعًا عندي a / b
الكل أس واحد على n ناقص جسمة على اللي هو b أس
واحد على n للجهتين طبعًا والـ b طبعًا موجبة ففيش شيء
بتغير بيصير a / b - 1 الكل أس واحد على n
لو نجلنا هذه a / b أس واحد على n ناقص الـ a /
b - 1 أس واحد على n أصغر من مين؟ من 1 الآن
عندي هذا الآن كله على بعضه هو نفسه الـ F ممكن
نستقل الدالة من خلاله أنه ناخد الـ F of X لـ F of X
وهتوصلنا بيساوي x أس واحد على n - x - 1
أس واحد على n وطبعًا هو الآن معطيني في السؤال a
أكبر من b أكبر من 0 لو طلعنا نلاقي الدالة هذه
ولاحظنا أوجدنا الـ f prime لها f prime of x خلينا
ناخد الـ x عنده الـ x أكبر أو يساوي 1 وهنشوف
اللي هو ليش عنده الـ x أكبر أو يساوي 1 برضه
بتظبط في حالتنا لأن اللي بنينا على أساسها اللي هي
الـ a / b نفسها أكبر strictly من مين؟ من 1
فالأمور متناسقة مع بعض ولو بدنا نطبق حللها جي جي
اللي هو تطبيق معقول اللي هنقف الـ prime of x بيساوي
1 / n في x أس 1 / n - 1 ناقص اللي
هو 1 / n في x - 1 أس 1 / n -
1 ويساوي 1 / n في x أس 1 / n - 1
ناقص اللي هو x - 1 اللي هو على 1 / n
ناقص 1 الآن لو طلعنا للي عندي هذا
لو طلعنا للمقدار اللي عندي الـ x أكبر أو يساوي إيش؟
1 يعني الآن الـ x أكبر يساوي 1 لذا لما عندي
الأس اللي هنا أس إيش؟ ماله بالسالب أو صفر على سوء
الظروف اللي هو بالسالب معناته اللي هو بده يصير
1 / x الـ 1 / x عبارة عن كسر، مظبوط؟ الآن
بيصير عندي المقدار اللي عندي العلاقة بين هذا وهذا
x أكيد أكبر من x - 1 صح ولا لأ؟ لكن لأن
مقلوبها هيصير إيش ماله؟ هيصير أصغر فهيصير المقدار
هذا أصغر من هذا المقدار ماشي فبيصير عندي المقدار
هذا كله على بعضه أصغر من مين؟ من صفر فالآن صارت عندي
f' أصغر strictly من مين؟ من صفر إذا صار عندي إذا f
is strictly
decreasing بدي استخدم الخاصية هذه مدام strictly
decreasing وأنا عندي a أكبر من b هسينا عندي a على
b أكبر من 1 والـ b طبعًا لا تساوي صفر إذا بما أن
f is strictly decreasing إذا f of a / b أكبر من
f of 1 f of a / b دلتنا بيجيب العوض فوق بيصير
عندي اللي هو آسف أصغر عندي f of a / b إيش
هتساويك؟ قولوا معايا اللي هو a / b أس 1 / n
ناقص a / b - 1 كل أس 1 / n هذا إيش
ماله؟ أصغر من مين؟ من f of 1 f of 1 حسب لي f
of 1 هذه 1 وهذه 0 فبيصير عبارة عن أصغر من
1 طبعًا هذه اللي هو بنعمل عملية عكسية للي
عملناها فوق فبيصير عندي اضرب الجهتين في b أس 1
على n فبيصير a أس 1 على n ناقص a - b أس 1 على
n أصغر من مين؟ من b أس 1 على n ضربت كله في مين؟
في b أس 1 على n إن جلّي الآن بيصير عندي a أس
1 على n ناقص b أس 1 على n أصغر من a - b
الكل أس 1 على n وهو المطلوب وهذا اللي هو بده إياه
يلا إيه بعده؟ خلينا نيجي للسؤال اللي المطلوب الآخر
اللي هو use the mean value theorem سؤال 6 use the
mean value theorem to prove that sin x - sin y
أصغر أو يساوي x - y for all x, y in R هذا
السؤال حلينا زيه بالظبط اللي هو mean اللي هو الـ
cosine مظبوط؟
الآن ما أعرفش فيه داعي نحله ولا إن هو نفسه أو مصور
عملناه
ولا لأ؟ اللي هي الـ cosine عملناها بنفس الأسلوب ومش
هيختلف اللي هو الحل
أحله ولا خلصت؟ الآن عندي اللي هو سبعة use the mean
value theorem to prove that x - 1 / x أصغر من x
أصغر من x - 1 for x أكبر من 1 اللي هو عند
احنا حلينا واحد زائد x هذه الآن اللي هي عبارة عن
مين؟ عن اللي هو ln lx الدالة اللي هي f of x بيساوي ln
lx وبنستخدم الـ mean value theorem وبنفس الأسلوب فيه
داعي نحله؟ خلينا نحله خلينا نحله عشان بنصور
الآن سؤال سبعة الآن عندي بدأ أثبت أن ln lx أصغر من
x - 1 وأكبر من x - 1 عالميًا على x
solution العالمين value theorem العالمين value
theorem نحله العالمين value theorem لأنه لسه ما
خدناش اللي هو Taylor's theorem مش
فاهم
عليك بينفع نحلها باستخدام Taylor and x not
بيساويها يعني الـ mainly طيب آه احنا احنا عشان
لسه ما خدناش Taylor's theorem بدنا نحلها على مين؟
على الـ mean value theorem ليش؟ لأنه احنا لسه
ما خدناش Taylor's theorem طيب الآن let f of x
بتساوي ln الـ x وعندي الـ x أكبر من مين؟ أكبر أو
تساوي الـ 1 ولا لأ؟ عندي الـ x أكبر من 100 من 0
for
x أكبر من 0 مش عايز إنّي ماشي الحين نيجي اللي هو أن
نستخدم الـ mean value theorem continuous و closed و
differentiable وكل الأمور هذه شاملة متحققة إذا
there exist c element in a و b c عندي اللي هو
element معايا؟
طيب لأن let f of x بيساوي ln x و x أكبر من 0 وعندي
المطلوب في الـ inequality اللي هي x أكبر من 1 يعني
x سنتمي إلى الـ 1 وما لا نهاية معايا؟ إذا there
exists c لذًا بدي أطبق الآن we apply mean value
theorem on وين قول معايا on 1 و x there exists
c element 1 و x such that معايا such that اللي
هو f prime of c يساوي f of x ناقص f 1 على x ناقص
إيش ناقص 1 آه فالآن عندي f of x قد إيش؟ ويساوي ln
الـ x ناقص ln الـ 1 قد إيش؟ 0 على x - 1 وهذا
مين؟ هو f prime of c عبارة عن ln الـ 1 على c مظبوط
إذا صار عندي الآن بدأ أجيب لإن الـ x أصغر من مين؟ من
x - 1 صار عندي إذا ln الـ x بيساوي 1 على
c في x - 1 واللي عند c إيش ماله؟ بأخذه أنا
أكبر من 1 مدام أكبر من 1 إذا 1 / c اللي
هو أصغر من 1 مظبوط إذا هذا أكيد هذا أصغر من x
- 1 مظبوط؟ لأن الـ 1 / c إيش ماله؟ عبارة
عن كسر الآن من جهة أخرى عندي اللي هو ln الـ x بيساوي
1 / c في x - 1 لكن الـ x أنا c إيش
معناها بين الـ 1 والـ x يعني c أصغر من مين؟ c أصغر
من x يعني الـ 1 / x اللي هو أصغر من مين الآن؟ c
أصغر من x إذا 1 / c أكبر من 1 / x فبيصير
عند هذا أكبر من 1 / x في x - 1 يعني بمعنى آخر
صار عند ln الـ x اللي هو أكبر من x - 1 على الـ x
هي عند الـ inequality الثانية وهي عند الـ
inequality الأولى من التنتين إذا ln الـ x إيش ماله؟
أصغر من x - 1 مظبوط اللي بعمله وأكبر من x
- 1 عالميًا على x وهو المطلوب إيش السؤال اللي
بعده؟ الآن سؤال ثمانية let f من a لعند b
سؤال ثمانية let
f من a و b لعند r إيش ماله؟ continuous أو
differentiable on
mean on open interval a و b show
that if limit f prime of x عندي limit f prime of x
لما x تروح للـ a بساوي a capital then اللي هي f
prime of a F prime of A exists and equals A
solution أو proof ما أعطيني
F is differentiable على اللي هي الفترة من A وB أو
continuous طبعًا open أو continuous على closed من A
و عندي limit f prime of x معطينيها لما x تروح إلى
الـ a إيش بساوي؟ بساوي اللي هو a capital اطلع
لفوق الآن عندي الآن الـ f prime of a تعريفها اللي هي
limit F of X ناقص F of A على X minus A لما X تروح
للـA ماشي الحال هذا اللي هو إذا كان الـ limit هذا
exist إذا أثبتنا إن الـ limit هذا exist بتكون الـ F
prime of A أشمالها اللي هي exist ماشي الحال الآن
هو ما أعطيني limit F prime of X لما X تروح لـA
أشمالها هي الـ exist واضح أه؟ لأن بدي أطبق الـ Mean
Value Theorem لأن في البداية على أي X وين في
الفترة A وB في الفترة A وB لو أخدنا X في الـ A وB
بالـ Mean Value Theorem بين على الـ A والـ X على
الفترة الـ A والـ X there exists CX ما لها
between X and A such that F of X ناقص F of A بساوي
F prime C of X في X minus A هذه اللي هي تطبيق الـ
Mean Value Theorem على الفترة A و B and so و منه
اللي هي بنقول F prime C of X بساوي اللي هو F of X
ناقص F of A على X minus A الآن عندي
.. خلّينا نيجي ناخد هذه المنطقة أه عشان لسه بدأت
بين F prime of A أشمالها موجودة بساوي limit الـ F
prime CX لما X تروح لمين؟ للـ A، ماشي الحال، هذه
الآن لو exist بتكون F prime of A أشمالها exist الآن
لاحظ احنا طبقنا اللي هي الـ mean value theorem على
مين؟ على الفترة من a لعند مين؟ لعند x لجينا الـ cx
وين موجودة؟ بين الـ a والـ x الآن لما cx تروح للـ a
أكيد الـ x هتروح لمين؟ للـ a ماشي الحال طيب الآن
بيصير عندي هو ما أعطيني أصلا limit f prime of x لما x
تروح للـ a exist ماشي فبيصير عندي لأن limit f prime
of CX لما الـ X تروح للـ A هي نفسها as X goes to A
CX وين هتروح لما X تروح للـ A أتوماتيك CX هتروح للـ
A فبيصير عندي لقى limit F prime of CX لما X تروح للـ
A هو نفس limit F prime of CX لما A CX تروح للـ A
وهذا هو ما أعطيني إيش اسمه إن existence هو إيه، إذا
صار هذا الـ limit exist يعني هذا اللي هو اللي مساوي
للـ limit هذا اللي بنين عليه إذا حيكون الـ F prime
of A exist وبرضه حيساوي مين؟ حيساوي إيه؟ اطلع على
لدك اللي بالك نخلص نعم لا اطلع على اللي بعده أيوة
السؤال اللي بعده
كبر هذا السؤال اللي سألتني عنه يا محمد
قبل هيك اطلع لي .. خليه بس اطلع لي على الكتاب على
628 النظرية 628 انزل انزل 628 اطلع لي عليها النظرية
عشان نقول لك إيش هو السؤال عليه لأنه مهم نعرف عن إيش،
الآن إذا بتتذكروا أخذنا اللي هو الـ first
derivative test for extrema بتقول إذا كان لجينا
neighborhood Hannah subset من I such that F double
prime أكبر ساعة وسفر وX ال .. ال .. ال .. لو F
double prime أكبر ساعة وسفر مرة ع اليمين ومرة ع
اليسار إذا F has إيش مالها relative إيش مالها
maximum اللي هو اللي بتغير شرطها من موجب إلى سالب
فبتكون عندي relative maximum، الآن هل العكس صحيح؟
يعني لو كان في عندنا relative maximum، هل شرط إنها
تغير إشارتها في اللي دا؟ اطلع لفوق شوية عشان أورجيك
السؤال وين كان موجود هان remark the converse of
the first derivative test is not true مهم الكلام
هذا for example there exists a differentiable
function f من R لـR with absolute minimum at x
بالساوية صفر but such that f prime takes on both
positive and negative values on both sides of اللي
هي x بتساوي عياش بساوي صفر ماشي الحال إذا هذا الآن
هذا الحديث هو سؤالنا اللي عندنا اللي بدنا نحكي فيه
اللي هو exercise قداش؟ تسعة ارجع لي على exercise
تسعة إذا الـ exercise تسعة هو عبارة عن إيش؟ بيقول ليه
إن الـ converts of this theorem need not to be true
in general بالظبط إيش بيقول؟ بيقول لـ F من R لـ R بي
define by F of X بيساوي 2 X plus 4 زائد X plus 4
Sine 1 على X For X لا تساوي صفر عند F of 0 إيش
بيساوي Zero إذا أنا معرفت دالة الـ F بهذه الطريقة
بهذه لما X لا تساوي صفر وعند X بيساوي صفر عرفها F
of 0 بيساوي أيش؟ Zero بيقول لشهدات أول شيء F has an
absolute minimum when عند الـ 0 but that its
derivative has both positive and negative values
everywhere اللي هو إيش؟ في neighborhood حوالين مين؟
حوالين الصفر واضح طيب، نشوف الآن، عملية فيه
absolute minimum مش صعبة، اللي هي بس خلينا نتطلع
على الحسابات، لأن الحسابات بتاخد وجه، فخلينا نتطلع
على اللي عندنا محسوبة وخلاص لأن لأي x الـ ينتن ار
أكيد الـ x الاربعة إيه أشمالها أكبر أو يساوي صفر والـ
sign الواحد على x أكبر اكيد أكبر أو يساوي مين؟ ناقص
واحد اضرب الجهتين في x الاربعة فبيصير x الاربعة في
هذا أكبر أو يساوي ناقص إيش؟ x الاربعة أضيف للجهتين
اتنين x الاربعة فبيصير 2x أس 4 زائد هذا أكبر أو
يساوي اللي ضفت 2x أس 4 زائد اللي هو يا عاش ناقص اللي
هي x أس 4 اللي هو بيطلع قداش x أس 4 اللي هو أكيد
أكبر أو يساوي 0 صارت عند قيمة الـ function f of x
اللي احنا بنحكي عنها دائما أكبر أو يساوي 0 اللي هو
مين؟ بيساوي اللي عرفناه F0 إذا صار في عندي F has
absolute minimum at mean at zero لكن عندي لطبيعة
الـ sine وطبيعة الـ cosine لو جيت الآن أخدت أي
neighborhood حوالين ناقص delta وdelta بدي أثبت لك
إن F prime مرة ممكن تسوي لي أصغر من صفر ومرة تكون
أشمالها أكبر من صفر واضح؟ إذا تعال شوف عندي خد لأي
neighborhood حوالين اللي هو الـ Zero خده من ناقص
Delta وDelta لأي Delta في الدنيا أو لأي مثلون في
الدنيا عندي هي الـ neighborhood اللي بحكي فيه
النقطة الداخلية اللي احنا مستهدفين فيها اللي هي الصفر
خد أي neighbor حواليه ناقص دلتا أو دلتا تقدر تلاقي
n أكبر أو يساوي اتنين very large اللي
بيكون n أشمالها very close to zero ماشي يعني مهما
زغرت لي الـ delta براجيلك n كبيرة كفاية إنها تضلها
في هذا الجوار وتحقق ما يلي إيش أخذتها؟ أخدت النقطة
واحد على اتنين and by طبعا الآن هذا بزغرها جدًا ما
بده بتكبير الآن ونفس الشيء 2 على 4 n زائد واحد في
باقي طبعا ليش أخدت هيك؟ عشان واحدة تخلي لي الـ sign
صفر وواحدة تخلي لي الـ cosine إيه؟ عشان صفر واضح وفي
نفس الوجه بتخلي لي الـ sign واحد والـ cosine واحد
بشكل معاكس ده فنشوف الشيء اللي بقوله الآن هذه الآن وهذه
الآن اخترت الآن اللي تخليني إياها موجودة في
ناقص delta وdelta هذول النقطتين في وين؟ في الجوار
اللي أعطيتني إياه أي جوار بتعطيني يا بدأ جيلك الآن
المناسبة إليه احسب لي الآن F prime F prime of X
بتعرف .. نعرف نحسبها خلينا نحسب F prime of X على
جهتها لأنه مش هحسبها عشان تكون قدامكم F prime of X
أف برايم of x إيش بتساوي؟ تمانية x تكعيب زائد أربعة
x تكعيب sign واحد على x ناقص اللي هو ليش
زائد ناقص x أصبح أربعة بيصير x تربيع sign واحد على
x صحيح؟ هذه اليومين f prime of x بدي الآن نعوض على
f عند النقطة أول شيء النقطة الأولى عبارة عن واحد
على اتنين and by عوضنا عنها في تمانية x سكعيب هي
ثمانية في x سكعيب زائد أربعة هي x سكعيب وهي sin
واحد على x بيصير sin اتنين and by عشان هيك الاختيار
زائد واحد على اتنين and by أس أربعة اللي هي ..
اللي هي .. بحها دي بيصير أس اتنين أه وهاي الناقص
فاهمين؟ x تربيع ها دي محادي اللي هي بيصير x تربيع
بالسالب واضح هه في cosine من اللي هو 2 unbi الآن
هذا المقدار اللي في النص كله إيش حباله؟ هيصير صفر
لأنه sin 2 unbi صفر هذا المقدار عبارة عن اللي هو
ثمانية بتروح مع ثمانية اللي هم يصير واحد على unbi
كل تكعيب هذا الـ cosine إيش بيساوي؟ واحد إذا بيظل من
عنده اللي هو هذا سالب تربيع إيه الآن ناخد 1 على
unbi عام المشترك تربيع بيظل عندي اللي هنا عبارة عن
اللي هي 4 unbi لأنه ماخد هنا اللي هي 1 على 2 unbi
لكل تربيع اللي هو عام المشترك بيظل 4 على unbi ناقص
إيه؟ اش واحد واضح الـ 4 على n by للـ n أكبر أو يساوي
2 إن هذا المقدار بيصير يصغر لدرجة أنه أصغر من
الواحد للـ n أكبر يساوي 2 إذا صار هذا المقدار عبارة
عن سالب في موجة بيطلع أصغر من 0 إذا F برايم طلعت
أصغر من 0 في نفس الوقت أف برايم ل 2 على كذا على 4n
زائد 1 في π أضربها أحسبها بيصير تمانية وعوض وعوض
وعوض الآن مش ال sign اللي هتت cancel هتت cancel
مين ال cosine فهيطلع عندي هذا المقدار هي وهيه هذا
المقدارين، المقدارين موجبات، إذا هيكون أكبر من
مين؟ من صفر، إذا في كل المنطقة، في كل المنطقة،
هتلاقي اللي هو جانب بعض، جانب بعض، مرة أكبر من
صفر، مرة أصغر من صفر، مرة أكبر من صفر، مرة أصغر من
صفر، ففيش عندك اللي هو تغير إشارتها من موجب إلى
سالب، لا، هم جانب بعض، هذول تنفج يا واحدة تنساش في
جهة واحدة من الـ neighborhood مش على الجهتين هو ال
test اللي بنعرفه أشمل بيقول لك لو اتغير من قبل ال ..
قبل .. في ال neighborhood قبل النقطة ال X note من
موجب إلى سالب بيصير maximum من سالب إلى موجب بيصير
موجب بيصير minimum الآن نحن لجينا relative minimum
أو absolute minimum لكن في النقاط من ناقص ذلت
العين دلت هاين اختارت لك هنا وهنا جان بعض وجرب
كمان بلا جيلك كمان اللي هو بحيث أن تكون موجبة و
سالبة وموجبة وسالبة يعني فش derivative هنا تكون
موجبة كلها وهنا سالبة كلها عشان تحكم max .. تقول
اللي هو .. اللي هي ال .. و .. و .. و فقط اللي هي
the converse in and the converse need not to
be true in general واضح؟ في الجوارين
.. هذا .. هذا من هنا .. من هنا لعين دلها فش إشارة
واحدة ومن هنا لعين دلها فش إشارة واحدة إذا the
converse need not to be true in general واضح و
الله واضح وأعيد واضح يا محمد اه طيب اللي بعده
برضه في ال .. في ال .. في ال .. في المثال ارجع لي
للكتاب عشان أقول لك هذا برضه بخدمين السؤال قبلها
انزل اطلع قبل النظرية قبل النظرية قبل النظرية في
عندي مثال هيو أو لا .. ايوه ال remark ال remark
أيوه اطلع ال remark هذه الآن إذا بتتذكروا سؤال عشر
اللي بناحكيها الجد حكيها أن احنا قولنا it is
reasonable to define a function to be increasing
at a point إذا كانت هناك مقارنة للمقارنة في
المقارنة اللي حوالها، إذا
كانت هناك مقارنة في المقارنة اللي حوالها، إذا كانت
هناك مقارنة في المقارنة اللي حوالها،
من الممكن أن يكون الـ derivative صحيح بشكل صحيح في
نقطة فالعمل يزيد في هذه النقطة ولكن هذا الوضع غير
صحيح يعني هذا الكلام إيش ماله ليس شرط أن يكون صحيح أن
عندي اللي هنلاقي اللي هو الـ derivative صحيح بشكل
صحيح لكن مافيش .. ما نقدرش نقول عنها إيش مالها is
increasing at this point هذا في الـ Interval صحيح
لكن في الـ Point إيش ماله need not to be true in
general وهي مثال G of X هي اللي هو بحيث أن G'
للـ 0 بساوي 1 لكن الـ G is not increasing in any
neighbourhood حوالين مين الصفر، هذا مثال على G' of
0 بساوي 1 اللي هو strictly أكبر من 0 but اللي هو في
هذا ال .. عند هذه النقطة اللي هو في الجوار تبعها
لا يمكن أن تكون اللي هي increasing في أي جوار
حواليها هذا مثلنا يلّا خلّيني نحل السؤال الآن هاي
سؤالنا let g من R لR be defined by g of X بيساوي X
زي 2 X ثانوية صين واحدة ل X for X تتساوي صفر and g
of 0 بيساوي 0 show that g prime of 0 إيش بيساوي
واحد but in every neighborhood of zero, the
derivative g prime takes on both positive and
negative values. Thus, g is not monotonic in any
neighborhood. هنلاقي في المنطقة هذه، وين ما كان،
هنلاقي الـ g prime اللي هي أكبر من صفر وأصغر من صفر
يعني مش هنلاقي في أي neighborhood أن الـ G' أكبر
من صفر لحالها أو الـ G' للـ X هي أكبر من حالها أو
أصغر من حالها في كل .. من صفر في كل الجوار G' مش
هتكون أصغر من صفر في كل الجوار ولا أكبر من صفر في
كل الجوار هنلاقي إلها متذبذبة في الإشارة كيف؟
الحل شبهه صحيح الحل شبهه بس هذا الآن موظف لمين؟ لا
اللي هي اللي هو counter example على اللي هي ال
remark اللي عندنا وده counter example على اللي هي
النظرية هذك بوضح أن ال theorem need not to be true
in general وهنا اللي هو بوضح أنه اللي هو ال
strictly increasing عند نقطة لا .. لا .. لا .. لا
.. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا ..
لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا
.. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا
.. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا
..
لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا
.. لا .. لا
.. لا إيش بعمل قاعد بدي أحاول أثبت أن g prime of 0
اللي هو بيساوي واحد هاي التعريف هاي عنده y ساوي
جسمنا عليه بيصير واحد زائد اثنين limit x sin واحد
على x اللي هو هذا ايه شماله؟ بساوي صفر لأن الـ
absolute value للـ X sin واحد على X أكبر بساوي صفر
وأصغر أو يساوي الـ absolute value للـ X اللي هو
by Sandwich theorem اللي هو ال limit هذا إيش بساوي
صفر إذا ال limit على بعض وكله إيش بساوي واحد إذا
D prime of zero بساوي واحد اطلع لفوق
عندي for x تتساوي 0 الـ g prime سهل أن أنا أجدها
عبارة عن واحد زائد تفاضل قاعد أربع x sin واحد على
x ناقص اثنين cosine واحد على x لأن بالظبط as above
for any neighborhood زي اللي حكينا قبل شوية for
any neighborhood ناقص دلتا ودلتا حول الصفر بقدر
ألاقي اد أكبر سواء واحد بحيث أن هذا وهذا يكون في
الجوار لكن جي برايم عند الأولى أصغر من صفر وجي
برايم عند الثانية شماله أكبر من صفر بحسابات
مشابهة أي سؤال؟
طيب نيجي لسؤال 12 سؤال 12 بيقول إذا كانت h of x
بيساوي 0 إذا كانت x أصغر من 0 و1 إذا كانت x أكبر
بيساوي 0 prove that there does not exist a
function f من R لR such that f prime of x شماله
بيساوي h of x هذا حلنا زيه برضه اللي هو درابوكس
theorem using إيش درابوكس theorem إيش بنقول
suppose not مظبوط طبق الآن هي عند H of X هيابقول
لأثبت أنه فيش ولا function F لو فضلناها بتطلع مين؟
H of X بدنا نفترض العكس، نفترض أنه في function
اسمها F بحيث أن F' إيش بتساوي H صارت H نفسها
differentiable، ماشي آسف، F إيش ما لا؟
differentiable، مظبوط؟ مدام F differentiable، إذا
by مين؟ By Daraboux's theorem اللي هو there exist و
طبعا وإحنا عارفين النص بين مين؟ بين الـ 0 والـ 1
إذا by Daraboux's theorem there exist اللي هو ..
اللي هي C بين الـ X1 و X2 بحيث أن G of C بسوء أفه
prime of C ويساوي نص which is impossible أسرعت
عليكم، مظبوط؟ الآن يا جماعة بدي أفترض أن العكس صحيح
يعني بدي أفترض أن F من R ل R بحيث أن F prime of X
إيش بتساوي؟ X لكل X element in R ماشي الحال اتفجن
الهن إذا F نفسها بناء على هذا الحديث F is
differentiable على R من جهة أخرى أخرى لاحظ إن النص
بين الـ 0 والـ 1، مين هو الـ 0 والـ 1؟ الـ 0 والـ
1 هي قيم الـ function هذه اللي بحكي عنها، يعني الـ
0 والـ 1 هتكون الـ 0 عبارة عن أشوف X1 والـ A1
أشوف X2، مين X1 و X2؟ اخترت الـ X1 أصغر من 0؟ و X2
أكبر من 0 صار عند نقطتين X1 و X2 واحد أصغر من 0
واحد أكبر من 0 يعني التمتين عاملين لفترة إذا صار
عند نص في الفترة بين 0 و 1 اللي هو عبارة عن بين H
of X1 و H of X2 لكن H of X1 و H of X2 من هم؟ F' of
X1 و F' of X2 إذا صارت اللي هي درابوكس theorem
محققة F is differentiable ونص تنتمي للفترة بيه
اللي هي F' of X1 و F' of X2 of X2 إذا حسب اللي هي
درابوكس theorem أي حاجة بينهم لازم يكون لها أصل
إذا there exists C بين الـ x1 والـ x2 بحيث أنه
اللي هو f prime للـ c هذه اللي اللي جاتها بين x1 و
x2 هي مين النص يعني زي بمسح كل القيم اللي بين f of
x1 و f of x2 مش هيك تدربت في تستيرون بتقول إذا صارت
عندي في c بين هذه وهذه بحيث أن f prime of c بساوي
نص يعني g of c بساوي نص طب هذا مستحيل لأن أصلا g
.. h طبعا هذا مش g .. h of c .. هذا مستحيل ليش
مستحيل؟ لأن h أصلا ما تأخذ رقم ثاني، يا صفر يا
واحد إذا contradiction، مدام contradiction إذا
there is no function f من R لR بحيث أن f prime of
x يساوي f of x for every x
في ضياع سؤالين خلنا نمر عليهم هذا
حلنا زيها اللي هو let I be an interval and let F
من I لR be differentiable on I مفترضين أن F عبارة
عن اللي هو differentiable function على an interval
I وقول لي show that إذا كانت F prime is positive
on I لو F prime أكبر من 0 على I هتكون الـ F أشمالها
strictly increasing on I طبعا اللي هو على السريع
لنفترض F prime أكبر من 0 لكل X element on I ماشي
هو نفسه؟ خلاص اللي بده السؤال موجود في الشريحة اللي
هو الـ main value theorem اتكل الله خليني أقوله
عنه الآن let I be an interval and let F من I لعند R
سواء الـ 14 بيه differentiable on I show that if
the derivative F' is never zero on I يعني إذا كانت
F' أكبر من صفر اللي هي تساوي صفر on I then either
F' أكبر من صفر for all X limited on I أو F' أصغر
من صفر لكل X جمالهايعني بيقول لي إذا كانت الـ F
differentiable على ال interval I وكانت الـ F'
بتساويش 0 في هذه الحالة الـ F' يا هتكون كلها موجبة
على ال I يا كلها سالبة عالميا على ال I مدامت ما غيرتش
شرطها بالمرة يعني بمعنى آخر يعني مش هتغير شرطها
بالمرة مدامت الـ F' مش 0 على الفترة إذا إشارتها
واحدة يا F أكبر من 0، يا F أكبر من .. أصغر من 0،
هذا في ضوء أن F is differentiable، بدنا نفترض
العكس ونصل لـ contradiction، suppose on the contrary
نفترض أن F prime of X أكبر من 0 لنقاط ... لبعض
النقط في I، و F prime of X أكبر من .. أصغر من 0
لبعض النقاط في I، يعني مخلوطة و بدنا نصلّ لمين لـ
contradiction طيب then there exist a و b element
in I such that أف برايم of a أشمالها أكبر من صفر و
أف برايم b أصغر من صفر لإن أنا مفترض الآن افترضت
أنه في نقاط اللي هي أكبر من صفر عندها ال
derivative وفي نقاط أصغر من صفر عندها ال
derivative ماشي الحال إذا بنلاقي a و b بالحقق هذه
الآن أكيد مدام هذا أكبر من صفر وهذا أصغر من صفر،
إذا الصفر بين الـ F'A و الـ F'B لأنها واحدة موجبة
بواحدة مين، مدام الصفر بينهم، إذا حسب Darabowski's
theorem، هي بتمسح كل المنطقة اللي بين الصور، لازم
كلها يكون اللي هي أصولها إذن by Daraboux's theorem
there exists c element in I such that f prime of c
يساوي صفر وهذا اللي هو بناقض الفرضية اللي احنا
فرضناها أن f prime لا تساوي صفر على كل ال I إذن f
prime لا تساوي صفر على كل ال I معناته و
differentiable طبعا معناته يا إما كلهن ال f prime
موجبات يا إما كلهن إيه أشمالها سالبة يعني يا
increasing strictly increasing يا strictly يا
أشمالها decreasing مافيش أي تغيير للرسم والشكل طيب
نيجي لآخر السؤال let I Be An Interval Prove That If
F Is Differentiable On I And The Derivative Of F'
Is Bounded On I، Then F Satisfies Lipschitz
Condition On I، ماشي الحل، بتقول لي، بتقول لي
السؤال ما يعني، Lipschitz Condition
خلينا نشوف إيش اللي بنقوله إذا كانت F
differentiable on I و F' bounded on I اثبت إن F
satisfies Lipschitz conditions ماشي؟ إيش Lipschitz
condition؟ إنه there exists K أكبر من 0 such that F
of X ناقص F of Y أصغر أو يساوي لبس اليود فيها ل X
minus Y في مين؟ في K اللي كنا نقول عنها على طول
هذي بتعطي إيش ما لها uniformly continuous لكل X و
Y لكل X و Y في الفترة اللي بنحكي عنها اللي بشت
غل condition إيش ما لها متحققة إذا الـ Absolute هذا
معناه اللي بش تسكندشه نيجي نحققها هذه نيجي نحقق
اللي هو
الـ Lipschitz condition لت x و y element in I بيه
such that x strictly أصغر من 100 من y
إذا منها ناخذ الـ absolute value للجهتين بتطلع عندي
اللي أماني واضح لكن F' is bounded مدام bounded F'
إذا there exist K بحيث أن F' of C أصغر يساوي K لكل C
إيه أشمالها من ضمن الـ C اللي فوقها لأن أف برايم is
bounded على كل ال I و هذه الـ K بتنفع لكل مين لكل
الـ C's اللي في ال I إذا صارت أف برايم في C أصغر أو
شويه K بنعود فوق بيصير أف of X ناقص أف of Y أصغر
أو شويه K في X minus Y و ال X و ال Y كانت نقش
مالهين arbitrary إذا صار هذه أصغر أو شويه K في X
minus Y ودخلت المتساوية لأن في حالة ال X بتساوي Y
اللي هو it is trivial therefore I satisfy اللي هو
Lipschitz condition و الله يعطيكوا العافية