بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين
والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد على
آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 22 في مساق
تحليل حقيقة نيل لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية قسم
الرياضيات في كلية العلوم عنوان المحاضرة اليوم
هنكمل chapter ثمانية هيكون في عندي اللي هو
applications على اللي هي ثمانية اللي هي واحد و
ثمانية اثنين المحاضرة اليوم اللي هي هنحكي عن the
exponential and the logarithmic functions هنحكي عن
اللي هو دالة ال E to the X ودالة ال ln أو دالة ال
log الآن هنثبت اللي هو من خلال .. في البداية هنحكي
عن اللي هو ال exponential function أو هنثبت اللي
هو وجود ال exponential function
احنا استخدمناها قبل هيك مجرد أمثلة بعيدا عن اللي
هو انه اللي هي مفترضنا انه معلومات موجودة مسبقا
ولا تناقض اللي هو انه نثبتها اليوم لإنه اثباتها
اليوم لا يعتمد على اللي حكيناه سابقا بما يخص
بأمثلة اللي ذكرت فيها ال exponential الآن ال
exponential function بدنا نثبت وجودها ايش اللي
بنقوله نشوف عبر ال theorem 8.3.1 theorem بقول there
exists a function U دالة E من R ل R إذا في عندنا
دالة اسمها E من R ل R such that الـ E prime of X
لها بساوي E of X لكل X element in R اثنين E of Zero
بساوي ايش واحد يعني الآن النظرية دي بتقولي إنه
يوجد عندنا دالة domainها كل ال R و rangeها بروح
بصوب في ال R هذه الدالة تحقق شرطين اللي هي E prime
of X بساوي E of X و E of Zero بساوي ايش واحد الآن
نجي اللي هو بدنا نثبت وجود هذه الدالة ايه التي
تحقق اللي هو الخواص اللي عندنا المذكورة فيه اللي
هي نظريا الآن خلينا عشان نروح باتجاه اثبات وجود
هذه الدالة خلينا ناخد we inductively define a
sequence of continuous functions as follows بدي
الآن اعرف اللي هو sequence of functions الأولى
اسمها E1 of X بتساوي واحد زائد X طبعا هذه الدالة
موجودة E1 of X بتساوي واحد زائد X هي دالة خطية
الآن بدي أعرف ال E2 ال E2 of X بساوي ال
integration واحد زائد ال integration من صفر لعند X
اللي هو E1 of X dT أو E1 of T dT إذاً الـ E2 بدي
أجيبها من مين؟ من الـ E1 طبعاً بتيجي الـ E و الـ E2
اللي هي عبارة عن واحد زائد هذه واحد زائد T اللي هو
تفاضلها زي ما انتوا عارفين تكملها اللي هي T زائد
اللي هي T تربيع على اثنين من صفر لعند X ويساوي واحد
زائد X زائد X تربيع على اثنين هذه الدالة من
هي E2 of X E3 of X بتعرفها بنفس الأسلوب بالساوي 1
زائد الـ integration من 0 ل X لدالة اللي وجدتها
قبلها اللي هي E2 of T dT بضل أساسي ساير في التعريف
بقول in general بتعرف ال E N زائد 1 of X بساوي الـ
1 زائد ال integration من 0 ل X E N of T dT إذن الآن
عرفت اللي هي ال E1 of X بساوي 1 زائد X ومنها عرفت
اللي هي E2 و E2 عرفت منها E3 و E3 عرفت منها E4 وهكذا
ال E N زائد 1 of X هتساوة 1 زائد ال integration من 0
ل X لل E N اللي جاب الها دي of T dT لكل N element
in N و لكل X element in M in R نيجي الآن نطلع على
الملاحظات اللي بدنا نحكيها عشان نستخدمها الآن 1
زائد X دالة متصلة مش متصلة أصلا بس هي أصلا قابلة
للتفاضل أيضا اللي هي differentiable الآن بناء عليه
مدام ال E1 is continuous هتكون اللي هي E2 E2 هي
الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1
هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ
E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1
الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ
E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش
للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي
الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1
هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 ال
الآن F.E.L
if f is continuous on R then it is integrable over any bounded
interval زي ما قلنا مدام هذا continuous اللي هي E
اللي هي 2 continuous ومن هنا هتطلع E 3 continuous
و E 4 continuous إذا صارت هذي دايما continuous وده
continuous وده integration exist و by fundamental
theorem هذا ال integration كله على بعض can be
differentiated وهتكون الهو ايش is differentiable
ومنه so E N زائد واحد is well defined by the above
formula moreover زي ما قلت it is from fundamental
theorem of calculus ال second form اللي هي سبعة
ثلاثة خمسة هيكون عند ال E N زائد واحد is
differentiable ومش هيك وتفاضل هذه زي ما احنا
عارفين بساوي بنشيل ال integration طبعا التفاضل بلغ
ال integration بيصير E N of X فبصير عندي ال E N زائد
واحد prime of X موجودة ويساوي E N X for all n
element in N إذن الآن عملنا sequence ال sequence
هذه طلعت sequence of differentiable functions و ال
derivative لل E N زائد واحد prime هي بترجع لمين
بتيجي اللي هي ال E N of X طيب الآن هذا كله و ده
خليني اسميها ثلاثة و خليني نحضر حالنا نصل للي بدنا
ياجولكم وين هنصل في الآخر هوصلكم انه اللي هو ال
limit لهذه ال sequence أو لهذه ال sequence هي ال E
of X اللي أنا بثبت وجودها وستكون اللي هي بتحقق
الشروط اللي حكيناها خلينا نشوف ما لاستعجلش نشوف
ايش اللي بدنا نصلله إذا اللي عملناه كوننا
sequence sequence زي ما قلنا اللي هي ال sequence
بدأت عشان يبقى لكم الذاكرين E1 of X بساوي واحد
زائد X E N زائد واحد of X بساوي الانتجرأت واحد
بساوي واحد زائد الـ integration من صفر لعدد X E N of
T dT خلينا هذولة أمامنا طبعا N element in N عندي
و X أي element وين in R طيب إذا الآن سار عندي اللي
هو ال .. ده اللي هذي is differential لان بقول لي
انه ابن الدعي ويمكن لو حد شاف قبل بشوية ما وصلنا ل
E2 E2 كانت عبارة عن واحد زائد X تربيع على اثنين
اللي هو اللي هي اثنين factorial لو كملنا هيكون E N
of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial X تربيع على 2
factorial زائد X أُس N على N factorial لكل
X element in R هذه الـ N صحيحة اللي هي لكل N
element in R اللي هو طبعا اثباتها سهل نثبتها by
induction خلينا نشوف كيفنا نثبت أربعة by induction
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة four is
a true four and بتساوي كتابة يعني صار عند الالالـ
E K of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial زائد X
تربيع على 2 factorial زائد X أُس K على K factorial
هذا لما نفرض إن اللي هي .. اللي هي الأربعة is true
for N بتساوي K بدنا نثبت إن E K زائد 1 هتطلع اللي
هي هذه زائد X أُس K على K زائد واحد factorial اللي
على ال net بتطلع أربعة صحيحة for K زائد واحد ده
نحسب خلينا نحسب الآن E K زائد واحد of X حسب اللي
احنا مفترضينه أو معرفين ال sequence على أساسه E K
زائد واحد of X ايش بتساوي واحد زائد ال integration
من صفر ل X E K of T dT مظبوط؟ طيب الآن بدي اعوض عن
E K of T احنا مفترضينها صحيحة ل K إذا E K of X
هيها إذا باجي بعوض بيصير Y يساوي واحد زائد ال
integration من صفر ل X E K of T اللي هي واحد زائد
T زائد T تربيع طبعا واحد factorial اللي هي واحد
على اثنين factorial زائد لما أصل X أو T أُس K على K
factorial الكل داخلها dT لأن اللي هي أكيد وضحت
الصورة بدل الفاضل نطلع قيمة التفاصيل الكامل و نطلع
قيمة التكامل و يساوي واحد هيوزايد ما هو جاعد زاد
هذا ال integration اللي هو عبارة عن T زائد T تربيع
على 2 في 1 يعني 2 factorial زائد T تكعيب على 3 في
2 factorial يعني 3 factorial زائد لما أصل لآخر 1 T
أُس K زائد 1 على K زائد 1 في K factorial هي K زائد
1 factorial هذا الكلام من 0 لمين؟ لعند X واضحة
الصورة ويساوي عبارة عن لما أعوض من 0 ل X بيصير 1
زائد X زائد X تربيع على 2 factorial لما أصل لأخر
واحد X أُس K زائد 1 على K زائد 1 factorial إذا فعلا
طلعت عندي E K زائد واحد بساوي هذا المقدار يعني
بمعنى آخر أربعة طلعت الـ true for n بتساوي k زائد
واحد إذاً من كل هذا الـ induction بنكون أثبتنا أن الـ e
n of x بتساوي هذا الكلام لكل x element in R لكل n
element in N إذاً هذه صورة اللي هي الـ EN of X صورة
غير الصورة اللي عرفناها فوق استنتجناها منها الآن
خلّينا نروح باتجاه إثبات إنه الـ limit للـ EN هذه أو
الـ EK أو الـ EN أو اللي هي is uniformly convergent
to some function هذه الـ some function هي اللي
بتدعي أنها هتكون الـ exponential طيب اللي بنسميها
exponential بعد شوية اللي هي بتحقق شرطين اللي
حكينا عنهم لسه احنا بنعرف الـ exponential احنا
بنعرف الدالة هذه لكن لأن معلوماتنا عارفين من أول
الـ exponential الآن احنا الدالة هذه اللي هنثبت
وجودها اليوم هي اللي بعد شوية بعد ما نثبت الـ
uniqueness لها بنسميها الـ exponential زي ما هنشوف
بعد شوية الآن إذا الـ sequence اللي عندي هذه
هيوضعها الآن قلنا E N of X هذه المعادلة الثانية هي
واحد زائد X زائد X تربيع على اثنين factorial زائد
X أس N على N factorial وهذا الشكل طبعًا أنتم مش
غريب عليكم بتعرفوه الآن خليني آخذ الآن let A أكبر
من صفر بـ given افترض أن A اللي هو real
number أكبر من مين من صفر بآخذه arbitrarily لكن
خليني نحكي عن A محددة الآن if absolute value of X
أصغر أو تساوي A يعني بتحكي الحديث هنا على الـ Xات
اللي في الـ R اللي من عند ناقص A لعند مين الـ A يعني
الـ absolute value لهن هذول أصغر أو تساوي الـ A
يعني في الفترة المغلقة اللي أمامي اللي بين ناقص الـ
A و الـ A بتتحدث شوف الآن احسب لي Em of X ناقص En of
X و يساوي و بدنا نفترض لكم أن الـ n ايه شمالها أكبر
من الـ n و الـ n أكبر من اثنين A اثنين A مكتوب
اثنين A لغرض الحسابات اللي جايين نشوفها بنفع
ثلاثة A، بنفع أربعة A، بنفع خمسة A، بنفع ستة
A، بنفع كلّه بنفع هذا الكلام على أساس أنك ما ينفعش
أقول نصف A أو ثلث A أو ربع A لأنها مش هتقدر
الغرض اللي بدي إياه الآن مين اخترت أنا اخترت اللي هو
الـ m والـ n اللي أكبر منين من اثنين في الـ A
اللي هي قيمة مين الـ A اللي هي نصف الفترة اللي عندي
أو طول نصف الفترة طيب، احسب لي ايه M of X ناقص Y of
X؟ E M of X اللي هي عبارة عن واحد زائد X زائد X
تربيع و هجابل في الطريق من الـ X M لأنه M أكبر من X
تربيع على M factorial زائد X M زائد واحد على M زائد
واحد factorial لما أصل الأخر واحد من X أس M على M
factorial يعني الآن هذي هيكون زي هيك لما أصل طبعًا X
M زائد واحد على M زائد واحد factorial زائد لمّا أصل
لعند X أس M على M factorial هذه مين هي هذه عبارة
عن الـ EM يعني الـ EM هتساوي اللي هي E of X E N of X
زائد المتبقي هذا الآن حاصل طرح الاثنتين هيكون
عبارة عن لإن المفترض الـ M أكبر من L زي ما قلنا
حاصل طرح اللي هيكون اللي هو المتبقي هذا X N زائد
واحد على N زائد واحد factorial لما أصل ل X M على M
ايش factorial ماشي الحال إذا الآن أوصلنا لحاصل طرح
دول بتساوي هذا المقدار نيجي نكمل الآن عندي
عند الـ absolute value للـ X أصغر من 100 من A
زائد absolute value زائد xn زائد اثنين على n زائد
اثنين factorial زائد لما أصل لأخر واحد x أسم m على
m factorial ماشي الحال طيب الآن إن إن كل x من
هدول الـ absolute value هي أصغر يساوي منين A إذا
صار هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار اللي هنا
أصغر أو يساوي M زائد واحد على N آسف A أس N زائد
واحد لأن الـ absolute value X أصغر تساوي A إذا X N
زائد واحد أصغر أو ساوي الـ A أس N زائد واحد على N
زائد واحد factorial زائد الثاني اللي هو A N زائد
اثنين على n زائد 2 factorial زائد لما أصل لآخر واحد
اللي هو عبارة عن a أس m على m factorial ماشي الحال
طيب الآن خليني آخذ من هدول الـ a n زائد واحد على الـ
n زائد واحد factorial عامل مشترك قبل ما اصلح هذه
الخطوة لسه اه خليني آخذ عامل مشترك بيصير عندي a n
زائد واحد على n زائد واحد factorial فاش اللي بيضل
هنا فيه اللي بيضل هنا واحد زائد هنا بيضل a على n
زائد اثنين أكيد زائد اللي بعدها a تربيع على n زائد
اثنين فان زائد ثلاثة زائد لما أصل لآخر واحد مين
آخر واحد بشيل منه n زائد واحد بيصير a أس m ناقص
n ناقص واحد على اللي بيضل من n زائد اثنين مضروب
لعند n m ناقص n ناقص واحد هذول الأنماشي الحال
هذا أخذ تمين يا جماعة معليش دخل الكلام مع بعضه بس
أكيد أنتم مستوعبين ايش بقول طلعت الـ a n زائد واحد
على n زائد واحد factorial العام المشترك طلع عندي
هذا المقدار الآن عندي أكيد الـ n زائد اثنين أكبر من
مين من الـ n فمقلوبه أصغر أه فبيصير عندي اللي هو
عندي اللي هي هذا المقدار a n على l زائد 2 أصغر أو
ساوي a على n و اللي بعده a تربيع أصغر أو ساوي a
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا
أكبر من أنه وهذه أكبر من أنه فمقلوبهم بيصير هذا
المقدار أصغر اللي هو أو يساوي المقدار اللي بعده
بيصير عندي هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا زي ما هو و
هذه واحد هذه a على n لأنها هتكون أكبر a تربيع على
n تربيع n تربيع هتكبر لما أصل ل a m minus n نقص
واحد على m minus n نقص واحد لأن هنا دول عددهم من
نقص واحد من الـ n هيكون n طبعًا استبدلت كل واحدة
بـ n فهيطلع بالشكل هذا وبتظل الـ inequality صحيحة
خلصنا من هذا طيب دعونا نشوف كيف أضبح لكم هذا دعونا
نخلص منه نجي الآن اللي هو نرجع نكمل الحسبة هذا
الآن المقدار عندي اللي هو المقدار هذا هيه اتطلعوا
عندي الـ a الـ a على n ايش أنا ماخذ الـ n ماخذ الـ n
أكبر من مين من اثنين a يعني الـ a أصغر من n على مين
على اثنين مظبوط الـ A أصغر من N على اثنين واضحة الجسم
الـ N على اثنين و N على اثنين صارت N على اثنين أكبر
من مين من A بدي استخدمها الآن هذه الـ N بيصير أصغر
أو يساوي هذا المقدار بيصير أصغر أو يساوي هذا بحكي
عن هذا بيصير أصغر أو يساوي اللي هو A أس n زائد
واحد على n زائد واحد الكل factorial فيه اللي هو
واحد زائد a على n زائد a تربيع على n تربيع زائد
a اللي هو a تكعيب على n تكعيب زائد مش بتصل لهذا
زائد و بتظل ماشيها شمالها إلى ما لا نهاية يعني
بتضيف عليها a على n أس m ناقص n a على n أس m
ناقص n زائد واحد وهكذا تظلها إلى ما لا نهاية يعني
بتحولها لمين لـ infinite series طيب احنا قلنا الـ a
أصغر من n على 2 يعني الـ a n على n أصغر من مين؟ من
نصف عرفته الآن ايش بدأ أسأل صار عندي هذا المقدار
أصغر أو يساوي a أس n زائد واحد على n زائد واحد لكل
factorial مضروب في مين؟ اللي هو واحد زائد نصف زائد
نصف تربيع اه لأن a على n أصغر من مين يا جماعة؟ من
نصف زائد تربيع زائد نصف تتعيد زائد الآخرين لأن هذه صارت
عبارة عن geometric series مجموعها هذه بتساوي مجموع
هذه عبارة عن واحد على واحد ناقصّه اللي هو نصف وهي
ساوي جدّاش اثنين ماشي إذا هذا المقدار اللي هو صار
عبارة عن اثنين في هذا المقدار اللي هو وصلنا له
أصغر أو يساوي a n زائد واحد على n زائد واحد
factorial مضروب في مين؟ في اثنين يعني حسابات هذه
طيب إذا صار عندي الآن هاي اللي بدي أوصل له و اللي
كاتبّه باختصار هو لإنه بيعتبر أن الباقية حساباتي
بتعرفوا تحسبوها em-n of x of x أصغر أو يساوي هذا
المقدار على مين؟ على اثنين الآن شوف ما يليه الآن as
n goes to infinity هذا المقدار هذا المقدار as n
goes to infinity الـ limit بتروح للصفر لأن a n زائد
واحد على n زائد واحد كل factorial as n goes to
infinity ايش بدّه يروح للصفر يعني بمعنى آخر مدام
بدّه يروح للصفر طبعًا وذا كبرت الـ n بتكبر مين برضه
مباشرة m لأن m أكبر منها إذا for
for large n و m we get
E M of X ناقص E N of X اللي هي أصغر أو يساوي من
هذه هذه أصلاً for large N as N goes to infinity هذا
المقدار بيصير أصغر من أي ε في الدنيا اللي هي بيصير
أصغر من مين من ε أو أصغر أو يساوي ε as N و M
become very very large ماشي الحال لإنه الـ limit لل
إن على n فكتوره ليش بيساوي بيساوي صفر إذا صار
عندي الآن اللي هي E m of X E n of X أصغر أو شوي من Y
لكل X وين موجودة في الفترة من ناقص A إلى A ماشي
الحال الآن بناء عليه الآن لكل X بغض النظر عن ال X
اللي هو بيكون عندي أنه I'm very large وبيعطيني هذا
أصغر أو شوي من إبسلون وهذه اللي سميناها Cauchy's
criterion for uniform اللي هو convergence في ال ..
اللي هو section 81 بناء عليها بطلع عندي E and اللي
هو converges uniformly to some function مش
عارفينها اللي هي .. اللي هي converges uniformly on
mean ناقص a أو a ماشي الحالة الآن عندي it
follows the sequence من ناقص a إلى a converge uniformly on
the interval ناقص a و a where a أكبر من 0 لكن a
أكبر من 0 was a شمالها arbitrarily يعني اللي وصلنا
له ما ياليا يا جماعة اللي وصلنا له أنه عندي اللي هي
الـ sequence هذه لو جيت أخدت for every a element
in R و a أكبر من صفر لو وصلنا له اللي كانت a
arbitrarily وجدنا أنه هيكون عند الـ E L converges
uniformly on ناقص a و مين و a ماشي الحال طيب بناء
عليه لو أنت جيت أخدت خد الآن let X element in R، أي
X element in R، مدام X في R، إذا أكيد الـ X عشرة،
عشرين، ثلاثين، مليون، ممكن ما تكون، بقدر ألاقي A
بحيث أن X تنتمي إلى الفترة من ناقص A لعند مين لعند
A يعني مثلا ال X لجيتها 100 باخد ال A 110 بصير
ال X بين اللي هي ناقص 110 و 100 إيش ما تيجي X بلاقي
لها A إذا there exists a such that x element in ناقص a
من ناقص a إلى a أكبر من صفر طبعا من ناقص a ومين أو a أكيد طب
ما هو احنا قد أثبتنا أنه لكل a element in R
Converge uniformly للـ a اللي لاجناها هذه On ناقص
a و a لهذه الـ a يعني بمعنى معناه مدام Converge
uniformly إلى إذا E N of X اللي هو converges point
-wise to some function عند مين؟ عند الـ X اللي
أخدتها هنا هذه إذا الآن for any X element in R
for any X element in R هنلاقي E N of X converges ما
دام ال E N of X is convergent for every X element
in R إذا صارت عندي limit ال E N of X as N goes to
infinity exists for every X element in R ما دام
exist حسب اللي قلناها إذا الآن شرعت لتعريف الدالة
التالية الآن أنا بقول إنه احنا صار عندنا اللي هو
مشروع أن نقول we define E من R إلى R by limit E N of
X اللي هي موجودة سميتها إيش اسمها E of X for X
element of R وجود اللي هو دالة اسمها E أنا سميتها E
من R إلى R بحيث أن E of X هي limit ال E N of X
اللي أثبتت وجوده بدي أثبت لك الآن أن E of X هذه هي
الدالة المبتغة اللي بتحقق الشروط اللي طلبها في
النظرية نشوف كيف طيب صلوا على النبي عليه الصلاة
والسلام
الآن عندي ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال ..
converge such that x element من ناقص a إلى a كلها هذه
الـ en converged uniformly الآن لمن؟ للـ e معايا
converged uniformly للـ e for every أو on من ناقص a إلى
a لأنه سميناها إيش اللي هي ال limit بتروح لها اسمها
إيه الآن en اتفجنا إنه أثبتناها إنها إيش معها
continuous مدام continuous و en اللي هو طبعا
continuous مش بس على ناقص a و a continuous وين
مكان احنا الآن هنحكي عن ناقص a و a continuous صارت
ال en continuous sequence converts uniformly to e
على ناقص a و a إذا صارت ال e هذه حسب نظريتنا هتكون
continuous نظرية الأولى في سيكشن 8 اللي هو 2 هتكون
الـ E is continuous على ناقص a و a قولنا if E N is
a sequence of continuous functions that converge
uniformly to some function then this function or
some function is continuous on من ناقص a إلى a إذا صارت
ال E continuous على من ناقص a إلى a يعني ال E continuous
عند من؟ عند ال X و since X was arbitrary in R then
E هتكون is continuous على كل ال R إذا صارت عندي E
is continuous at any X element in R الآن لو جينا
حسبنا ال E N of 0 و E 1 of 0 و E 1 of 0 أشو
بالساوية؟ هي واحد E اللي هو N زائد واحد of Zero
اللي هو بيساوي من صفر إلى صفر هيطلع صفر وهذا واحد يعني
دايما ال E N of Zero هتطلع إيش؟ Zero مدام E N of
Zero Zero وبما أنه E is continuous إذن limit ال E N
of zero as n goes to infinity بيساوي اللي هو E of
zero أو E of X أسف E of X as n goes to infinity
بيساوى E of X وبما أنه اللي هو ال ال ال ال ال
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال
ال أنا كنت بخلطها أنا بقول E n of 0 بيساوي 1
limit E n of X بيساوي E of X وال E is continuous
إذا الحيكون ال E of 0 هذه هتساوي إيش؟ هيساوي 1
لأنه limit E n of 0 point twice بيساوي E of 0 اللي
هي 0 الآن e n of zero بتساوي واحد for all n infim
therefore e of zero بتساوي واحد لأن اللي هي e
نفسها is continuous إذا حصلنا على اللي هو الجزء
الأول أذكركم في النظرية على اللي هو المطلوب أو
الخاصية الأولى الخاصية الأولى هي الخاصية الأولى هي
عندي أثبتنا .. الثاني أسف أثبتنا E اللي هي E of
Zero بالساوية واحد بدي أثبت لك الآن E prime of X
هتساوي E of X عشان أثبتها بدنا نذكركم في نظرية
أخدناها المرة الماضية اللي هي بتقول ما يلي أذكركم
يا جماعة بالنظرية اللي بستخدمها كانت أن عندي لو في
عندي fn sequence of functions و هذه fn ال
differentiable لأن fn برايم بتروح ل g uniformly
ماشي on some interval on some j وكان عندي fn of x
not converge
converges to f of x not مثلا on j اه for x not
element in j then بقول لي اللي هو ال f هذه f prime
exists و FN converts uniformly to this F أو FN
converges uniformly to this F and F' هي مين؟ هي الـ
G هذا حكيناه المرة الماضية طيب، بدأ استخدمها الآن
شوف عنده، إن شوف عنده الـ N أثبتنا أو الـ N
interval من ناقص a إلى a we have the uniform
convergence of the sequence EN اللي هو هتكون EN
converge uniformly ماشي الحال of you of me of
ثلاثة اللي هو ثلاثة اللي حكيناها قبل بشوية خليني
بس نذكركم فيها اللي هي ثلاثة هي عندي اللي هي ثلاثة
عندي الآن conversion formally to some function E
سميناها الآن بناء عليه بدلا من n زائد واحد هي
صفراً الآن إذا صارت n زائد واحد prime برضه
conversion هادي هادي أصلا conversion formally to
مين؟ to ال E اللي عندي الآن وضحت الصورة الآن صارت
الصورة واضحة الآن اللي حصلنا عليه انتبه عليا، on any
interval من ناقص a إلى a, we have the inferred
convergence of E n وفي ضوء اللي هو ثلاثة, we also
have the inferred convergence E n prime of the
derivatives الآن من ال theorem 8.2.3 اللي حكيتها
هنا، مدام F n prime converges إلى G ماشي الحال و ال
.. أو ال Fn X0 بتروح ل F of X0 for X0 اللي بتنجح
اللي هو أكثر من النقطة و أصلا على أساس عرفنا أن Fn
of X بيساوي اللي هو مين E of X بتروح لمين؟ إلى E of
X إذا أكيد هذه متحققة كمان بالنسبة لمين؟ لل E N
صارت هذه متحققة و هذه متحققة من تحقق هذه هذه يا
عزيزي التحقق هذه إذا إذا هيكون عنده الـ F N بتروح
للـ F اللي هي الـ E N بتروح للـ E ثبتناها بس
إيش المهم أنه الـ F prime لهذه اللي بتروح لها هذه
اللي هي الـ E prime هي مين اللي هي اللي بتروح لها الـ
E N الـ F الـ F N prime عند الـ E N زائد واحد prime
بتروح للـ E
إذا من نظرية إيان ستذهب إلى الـ E برضه وليس كذلك
الـ E' لهذه هي هذه يعني بمعنى آخر E N زي دول prime
prime limitها الـ E prime زي ما هي مين الـ E يعني
مدام الـ limitها هي الـ E و هي نفسها limitها من
النظرية اللي بنستنتجها E prime إذا صارت الـ E هي
مين الـ E prime أو بطريقة أخرى limit الـ E N prime
حسب النظرية بتساوي الـ E prime ومن جهة أخرى limit en
prime هو نفسه limit en نفسها و limit en اللي هي طبعا
أنا مسميها n و n نقص واحد احنا مسميينها n و n زاد
واحد طبيعي en prime هي limit من limit en نقص واحد
لحالها لأن هذه بتساوي هذه و هذه أصلاً limit احنا
أثبتنا إيش بتساوي الـ E إذا صارت عند الـ E prime هي
إيش بتساوي الـ E يعني هذه الـ E prime استنتاجا من
النظرية و هذه اللي هو من اللي أثبتنا في البداية و
أيضاً نقدر نستخدم .. لسه نتجه من النظرية لكن احنا
أثبتنا فيها قبل ما نستعمل المظلة طيب هذا الكلام
صحيح وين لكل x وين موجودة في ناقص a و a لكن a احنا
أخدناها إجمالها arbitrary يعني الآن بيصير عندي
اللي هو لكل x بلقي لواحدة زي هيك بتحقق الكلام هذا
الآن فبيصير عندي a prime of x بساوي e of x لكل x
element in R وهيك بيكون احنا أثبتنا وجود اللي هو
الـ E of X أثبتنا وجود دالة أثبتنا
وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة بتحقق شرطين اللي
هو E prime of X بساوي E of X وبتحقق الشرط الثاني E
of 0 بساوي 1 السؤال الآن هل في غيرها؟ هل في غيرها
ولا لأ؟ طبعاً لحظة الحظ أنه لا يوجد دالة غير هذه
الدالة اللي بتحقق هذا الكلام بس قبل ما نثبت الـ
uniqueness خلّينا ناخد بعض النتائج بشكل سريع و
نتائج سهلة واللي هي إن شاء الله ما تاخدش وقتها
شوفوا يا جماعة صلوا على النبي عليه الصلاة والسلام
الـ function E has a derivative of every order and
E N of X بيساوي E of X for all N element in N و X
element in R يعني الآن لو فضلناها كمان مرة و مرتين
و تلاتة و أربعة هتطلع إيش نفس الدالة طبعا هذا
الكلام سهل و by induction زي ما أنتم عارفين أول
حاجة ما أثبتناها فور n بالساوية 1 فور n بالساوية
واحد ما احنا أثبتنا E prime of X إيش بالساوية E of X
إذا هذه is true فور n بالساوية 1 طيب لان افترض
أنها هذه صحيحة في n بيساوي K بيصير E K of X
بيساوي E of X لما ان اتبتها ل K زائد واحد طيب ل K
زائد واحد خد A K زائد واحد of X إيش هذه؟ هذه اللي
هي A K of X الكل اشمالها إبراهيم الآن a k of x
فرضناها إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه
بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية
إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه
بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية
إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه
بالساوية إيه بالساوية إيه بالسا
وضلك فاضل إلى ما لا نهاية حيظل تطلع نفس الدالة نجي
الآن لـ Corollary أو الخاصية اللي بعدها لهذه
الدالة هذه الدالة Fx أكبر من 0 بقول لك دائماً حيكون
الواحد زائد X strictly أصغر من مين من E of X من E
of X إن إن عندي اللي هي أربعة أربعة عشان تشوف إيش
أربعة الأربعة اللي هي الـ E prime of X أظن هيك كنا
حاكين الـ E الناس في الـ E of X عندي
E
أنا of X أقبى أو أصغر strictly من E N زائد واحد of
X لكل X أكبر من مين من صفر ليه؟ لأن هذه هيزيد
عليها term اللي هو X أسوان زائد واحد على N زائد
واحد فكتوريا وهذا ال term الاكساتي اللي أكبر من
صفر أشماله اللي هو مودة إذا صارت الـ sequence اللي
عندي يا جماعة هذه عبارة عن strictly increasing
sequence strictly increasing sequence بناءً عليه
هيكون عند E1 of X أصغر strictly من E2 of X وهذا
أصغر strictly من E N of X لكل N أكبر أو يساوي
تلاتة والـ X أشمالها أكبر من سفر ماشي الحال طيب E1
of X مين هي؟ واحد زاد X وهذا أصغر من E2 of X وهذا
أصغر من E N of X إذا ناخد الـ limit لكل الجهات as N
goes to infinity وهذا independent of N وهذا
independent of N إذا سيصبح أصغر أو يساوي limit E N
of X as N goes to infinity و limit E n of X as n
goes to infinity هو عبارة عن مين قلنا عنه E of X
إذا صارت 1 زائد X strictly أصغر من E of X أو E of
X أكبر strictly من 1 زائد X طيب نيجي اللي هو نثبت
الـ uniqueness للدالة اللي أثبتنا وجودها الآن إذا
أثبتنا وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة تحقق
الشرطين اللي قلناهن اللي هو E of E primeof X بساوي
E of X لكل X element in R الشرط الأول والشرط
الثاني اللي هو E of Zero بتساوي إيش واحد الآن هذه
الشرط ده اللي أكبرنا وجودها لنتبت إنها إيش وحيدة
الآن الـ function E من R لـ R that satisfies I and
I I هكذا of theorem 8.3.1 is unique إذا ما لها هذه
الدالة وحيدة ونشوف كيف نثبت وحيدة طبعا أنتم
عارفين الـ .. الاستراتيجية تثبت إنها وحيدة ونفترض
إن في دالتين وفي الآخر يا بنسأل لتناقض أو بنسأل
لإن الدالتين أشمالهم متساويتين خلينا نشوف
لأن let E1 and E2 be two functions on R ماشي الحال
E1 و E2 عبارة عن دالتين من R ل R تحقيقان البرو بارتز
I and I I of T والمتمنى هو تلاتة واحد اللي كتبه إن
أنا على الجنب هناك الآن وخلّينا نسمي E1 - E2 يتساوي
F رايحكم باتجاهة F يتساوي 0 إذا أثبتنا F يتساوي 0
إذا سيصبح E1 يتساوي E2 يكون خلصنا طيب then فضلي هذه
.. فضلي هذه لأن هذا قبل التفاضل وهذا قبل التفاضل
إذا F prime of X بيساوي E1 prime of X ناقص E2
prime of X E1 prime of X إيش هتساوي اللي هو نفسها
لأن مفترضين احنا و E2 prime of X برضه هتساوي نفسها
إذا E1 ناقص E2 يعني مين بيساوي F يعني صارت F prime
تبعتنا مين هي بيساوي F of X لكل X element المين
إنا احسب اللي دي إيش يا جماعة احسب لولي F في صفر أف
اف صفر بيساوي ا واحد اف صفر ناقص اتنين اف صفر ا
واحد اف صفر واحد و اتنين اف صفر برضه إيش بتساوي
واحد لأن مفترضين ا واحد و اتنين بتحقق اللي هي
الشرط الامامنا إذا بيساوي واحد ناقص واحد و أي ساوي
إيش صفر
by induction f double prime هتساوي f نفسها f
triple بتساوي f نفسها fn of x بيساوي f of x وعملت
قبل بشوية واحدة زيها إذا by induction fn of x
بيساوي f of x لكل x element in R إذا حققت الآن f
of 0 بيساوي 0 و fn of x بيساوي مين؟ f of x شوف
الآن إذا صار عندي F of Zero بساوي Zero أو F
بساوة 0 طب إيش علاقتنا أبوها الجيت بتشوف عشان بدنا
نطبق اللي هو taylor's theorem تبعت ال derivative
نص اللي اللي بدنا يعني برهان حلو let x element in
R be arbitrary أخدنا إذا x element in R arbitrary
x اللي يعني let I x be the closed interval with
end point 0 x يعني I x هناخدها بتساوي 0 و X أو اللي
هي X و 0 على .. على اللي هو اللي هي حسب X اللي هي
سالبة أو موجبة إذا أخدنا ال I X عبارة عن اللي هي ال
closed interval اللي within point 0 X الآن F is
continuous on I X على الـ closed interval مدام
continuous على closed interval and function that
is continuous على closed interval then it is
bounded on this interval يعني بمعنى آخر there
exist k بحيث أن absolute value of f of t أصغر أو
يساوي k for all t element in I X يعني f is bounded
on this interval الآن بدنا نطبق if we apply
taylor's theorem 6 4 1 to F بدنا نطبقها على
النقطتين النقطة الأولى اللي هي ال X X و X naught 0
يعني بنطبقها على مين اللي هي X X اللي هي طبعاً
أنتم متذكرين F of X أف of X تيلر سيوريم there
exists C in اللي هي ال interval مثلاً X not و X
such that F of X بيساوي اللي هو F of X not زائد F
prime of X not على واحد factorial في X minus X not
زائد زائد Fn of x0 على n factorial في x minus x0
الكلوس n زائد ال remainder اللي هو fn زائد واحد of
اللي هي ال c اللي لاجيناها there exists c اللي هي
of c طبعا ال c هنا هتعتمد على ال n اللي احنا
اختارناها واشتغلنا عليها هو مسميها cn على اللي هو
n زائد واحد factorial في x
الـ N هو
ما أخذها لعند مين بدل ما هو remainder N زائد واحد
نسميه remainder N نفس الشيء ما في مشكلة احنا
كملناها يعني بدل ما اشتغل على N زي ما اشتغل على N
زائد واحد اشتغل على ال N هو أما هي ال Taylor's
theorem طيب المهم انتبهوا عن ديلنبن Taylor's
theorem على ال interval Ix اللي X0 بيساوي 0
وخلينا نستخدم Fk of 0 اللي كتبتها هناك اللي هو
هتساوي Fk of 0 هتساوي 0 دائماً اللي هو و لكل k
element n it follows that for each n unlimited on
there exist a point cn unlimited on x هذه اللي هي
ال cn بتعتمد على مين على n يعني الأن لو أخدت ببدل
اللي هنا على اللي هي on بتساوي مثلاً اتنين أخد on
بتساوي ثلاثة أخد بتساوي on بتساوي أربعة ده هتختلف
من ال cn اللي بنلاقيها such that f of x بيساوي f
of zero زائد f prime of zero على واحد factorial في
x طبعاً ناقص صفر X هتظلها زائد FN ناقص واحد لأن ناقص
واحد factorial في X minus X note اللي هي صفر طبعاً
هتصير X ناقص واحد زائد FN of CN على N factorial X
اثنين يعني هنا نأخذ ال remainder اللي هو RN مش RN
زائد واحد زي ما نعمله طبعاً ما تفرجش بتزيده وبتشتغل
عليه نفس الشيء الآن بس ال cn اللي بتختلف من n زائد
واحد بصير cn زائد واحد مثلاً لأنه حاجة ثانية ممكن
تيجي غير ال cn اللي لاجيناها حسب النظرية ويساوي
لأن كل هدول التاريج زي شمال هي الصفار لإنه fk of
00 إذا هذا صفر وهذا صفر طبعا هذا عند مين محسب عند
الصفر وهذا عند الصفر إلى آخره إذا كل هذول هيكون
الصفار هيظل عندي بس القيمة هذه ايش القيمة هذه اللي
هي fn of cn طبيعي هتكون f of min of cn لأنه احنا
عرفنا أنه ال derivative f prime أف دابل برايم أف
تريبل كل نياش بيساوي الأف إذا حيكون أف of CN على N
فيكتوريال في X أس N إذا وصلنا له الآن أنه بعد ما
طبقنا Taylor's theorem طلع عندي الآن F of X هذه
اللي بنصبه إلى أن نثبتها بتساوي صفر طلعت عندي F of
X بيساوي F of CN على N فيكتوريال في X أس N الآن خذ
لل absolute value لها absolute value لل F of X
هيصير أصغر أو يساوي ال absolute value أو بيساوي
بالضبط absolute value F of C N فال absolute value
للـ X أس N على N فكتوريال، مظبوط؟ لكن F of C N
هذه is .. الـ F is bounded على الفترة اللي لجيناها
اللي هي الفترة اليمين اللي قلت عنها اللي هي الـ I
X مدان bounded قلنا هذه أصغر أو يساوي الـ K إذا
هذه بيصير أصغر أو يساوي الـ K في ال absolute value
X أس N على N فكتوريال نيجي الآن هذه as n goes to
infinity هذه independent of n هذه أكبره يساوي صفر
و أصغره يساوي هذه as n goes to infinity هذه بتروح
للصفر إذا هذه بتروح شمالها بدها تصير f of x تساوي
الصفر ومنه ال E1 بتساوي ال E2 لأن f بتساوي E1 ناقص
E إثنين وهو المطلوب وهذا الكلام صحيح لكل X element
in R لأن X اللي أخذناها arbitrary element in R هيك
بنكون أثبتنا وجود ال E واحد ال E التي تحقق الشرطين
اللي عندنا وفي نفس الوقت أثبتنا أن هذه الدالة اللي
بتحقق الشرطين هي دالة وحيدة مدام الدالة واحدة إذن
الآن يعني شرّعنا إنه نعطيها اسم إنه نقدر نعرف
الدالة اللي بتحقق هذول الشرطين إنها اسمها كذا the
unique definition ثمانية ثلاثة خمسة the unique
function E من R لR such that E prime of X بساوي E
of X for all X elements in R وتحقق ال E زيرو
بساوي واحد موجودة ووحيدة إذا بحق اللي أقول is
called the exponential function وهي الـ
exponential اللي أنتو مبسوطين عليها وبتستخدموها
أثبتنا الآن من خلال اللي هو اللي هي الترتيب اللي
رتبناه في المادة differentiability integrability و
بعدين اللي هو sequences of functions وصلنا إلى
اللي هو ال exponential هذه function exists التي
سميناها الـ Exponential Function
بدنا نسمي الـ E of واحد قيمة الدالة القيمة الدالة
الـ E هذه عند الواحد بدنا نسميها E E و هذا اللي
بنسميه Ehlers number و احنا يعني بعد هيك هيصير
عندي اللي هو الرمز E of X إن هو ال exponential X
أو أسهلنا في الاستخدام ال E of X ايش هتساوي الـ E X
هذا الـ E واحد قيمة الدالة عند مين عند اللي هو
الرقم واحد سمناها E ماشي الحالة الآن E of X
بساوي E to the X هذه عبارة عن اللي هي الدالة E
of X بساوي X notation لها لكن بعد شوية هنلاقي ال
notation consistent of اللي هو مع مين مع اللي هو
ال exponent يعني هيصير الـ E to the exponent X هو
عبارة عن بالضبط اللي هو قيمة الـ E of X لأن الـ E
of X بيساوي E to the X و ال E of واحد بيساوي E
واحد بيصير عندي E لما أرفعها للقوة X يطلع قيمتها
هي عبارة عن اللي هي قيمة دل E of X حسب اللي احنا
معرفينه هنا يعني من الإحسابات ومن تعريفنا للدالة
هيكون فيه consistent it is consistent في الحالتين
طيب نيجي الآن لما الكلام هذا ال number E can be
obtained as a limit and thereby approximated in
several different ways طبعا احنا مادام عنده اللي
هو عبارة عن limit لل E N of X اللي هي بتطلع عندي
limit عند ال .. ال .. ال .. ال end of واحد لأنها
continuous بصير عندي مدام limit إذا بصير أقدر أقرب
هذه القيمة اللي هي و نحصل على قيمة تقريبية بال E و
هذا مش شغلنا شغل تبعين اللي هو numerical analysis
أو الناس اللي بدأت .. اللي هي تشتغل في التقريب أو
مش شغل نهاني يعني بصدي إلى أن الـ use of notation E
و X of E X زي ما قلنا كله تمام تمام consistent إلى
أن يجي اللي هو لبعض الخواص الأخرى لهذه اللي هي
الدالة إلى أن الـ exponential function satisfies
the following properties
أول حاجة أن الـ E of X لا تساوي صفر لكل X element
in R هي أول حاجة أن هذه الدالة دائماً لا تساوي صفر
طبعا شغالة على R E of X زي Y بساوي E of X في E of Y
for all X element .. Y element in R الآن E of R
هنا اللي هي E of R قيمة الـ function هذه هتطلع لنا
بالضبط هي عبارة عن الـ E اللي قلنا عنها الرقم اللي
قبل و شوية لما نرفع للقوة R فبصير الآن consistency
between the definition of the exponential and the
exponent of E to the power R بس هذي الـ R ايش اللي
من الين؟ NQ لأن ماشي الحالة ده نشوف نبرهن اللي هو
الأولى by contradiction بدي أفترض إنه في عندي E of
α for some α element in R والـ E of α ايش تساوي
تساوي صفر ونوصل لcontradiction لان suppose that
there exists α element in R such that E of α ايش
بساوي بساوي صفر الآن and let G α be the closed
interval with endpoints mean α و 0 يعني الـ G of α
زي اللي فوق يا بساوي اللي هو 0 ألفة أو ألف و زيرو
حسب قيمة الألف موجبة أو سالبة طيب الآن زي ما قلت
قبل بشوية بما أن E is continuous on a closed
interval Iα او Jα اللي هو مسميها then there exist
case such that اللي هو ال absolute value E of D
صفر بساوي K لكل T element in G الآن مشابه للي قبل دي
ربالكم الآن بدنا نستخدم mean taylor theorem اللي
هو على اللي هي ال function اللي عندي هذه اللي هو
بس في مين الآن في ال end points ألف ومين ألف وصفر
إذا there exist cn element in dn such that مسرع
لأنه قاعد بعيد نفس البرهان اللي قبله شوية such
that اللي هو E of صفربطبق عند e of 0 بساوي e of
alpha زائد e prime of alpha على واحد factorial في
ناقص alpha اللي هي zero ناقص alpha زائد e n ناقص
واحد على ناقص واحد factorial alpha ناقص alpha أس
n ناقص واحد لما أصل لعند ال remainder e n of alpha
على n factorial في ناقص alpha أس n الآن أخذ هذه
مش e alpha هذه الـCn هذه الـ C أنا مخربط بصراحة الله
ماشي الحالة الآن E of Zero طبيعي ايش يساوي واحد
ما احنا عارفين إن خلاص عرضناها الدالة هذه E of Zero
بتساوي واحد تساوي واحد يساوي E of Zero ويساوي
الآن E of Alpha فرضناها إيش بالساوية صفر هيك
مفترضينها E prime of Alpha اللي هي نفس E of Alpha
إذا صفر برضه وهذا نفس الشيء إذا كلنا دول صفر مع
الحدين الأخيرة إذا هتساوي E of Cn على N factorial
ناقص Alpha أس N وزي ما قلنا إنه احنا الآن هذا
المقدار عندي صار .. نوضح لكم هذه نشوف كيف نصل لـ
contradiction هالحد صار عند مايا ليه يا جماعة
صارت عند الواحد هذه اللي بيساوي E to the zero
بيساوي E to the zero اللي هي أصغر أو يساوي ال
absolute value لهذه بيساويها بعد إنه أصغر أو يساوي
بيساوي ال absolute value E of CL على N factorial في
absolute value ناقص Alpha أُس N وهذه زي ما قلنا E
of C N إيش ما اللي قلنا قبل بشوية هذه أصغر أو يساوي و
ساوي K إذا K على N factorial في ناقص Alpha أُس N
ماشي الآن هذا المقدار as n goes to infinity بيروح
لـ0 هذا independent of n وهذا independent of n
صار عندي الآن هذا الآن هي الواحد أصغر أو يساوي
اللي هو هذا المقدار خد ال limit as n goes to
infinity بيصير الواحد أصغر أو يساوي صفر وهذا إيش
ماله contradiction إذا صار في عندي الفرضية الأولى
خاطئة إذا there is no such Alpha اللي هو بتكون
عندها ال K of Alpha بتساوي صفر إذا ال K of Alpha
بتساوي أكبر لا تساوي صفر دائما إذا صار عندي اللي
هو قيمة اللي هي E to the X لا تساوي صفر أبدا نيجي
الآن إن بدنا نثبت أنه نثبت الخاصية اللي بعدها اللي
هي عبارة عن E of X زائد Y بساوي E of X في E of Y
لكل X و Y element in R هذه الخاصية اللي بدنا
نثبتها شوف طريقته حلوة في الإثبات بيقول ليه نفترض
Y fixed arbitrary لكن ليهاش fixed بنحكي عن Y محددة
arbitrary لكن نحكي عن Y محددة الآن مادام Y اللي هي
ال E of Y أكيد يشملها لا تساوي صفر اتفقنا عليها
الآن عرف لي الآن function G من R لR عرفها كيف؟ G of
X المتغير X الآن Y اللي هي عبارة عن شيء Fix ثابت
بنحكي عنه لكن كان arbitrary اللي هي G of X بيساوي E
of X زائد Y على E of Y for X element in R أخذنا
هذه الدالة الآن شوف هذه الدالة اعمل G prime لها G
prime of X بالفضل بالنسبة لي XY ثابتة اللي هي بيصير
هذه E prime of X زائد Y على E of Y عدد ما لاش
علاقة فيه Y ساوي الـ E' هي نفس مين؟ الـ E of X زي Y
على E of Y ماشي؟ طيب، الآن صار هذا الـ E X زي Y
على E of Y هو مين؟ رجع G إذا رجعت إن الـ G' مش
بيساوي الـ G الآن and احسب لي g of 0 بساوي e of 0
زائد y على e of y يعني بساوي واحد إذا الدالة
اللي عرفناها هذه g of x طلعت لي g prime لها نفسها
وطلعت لي g of 0 واحد وعلمنا قبل قليل عمال بيقول
ما فيش غير واحد في الدنيا بتهبها الخاصيتين اللي
هي مين ال E of X إذا هذه غصب عننا لازم تطلع مين ال
E of X because of the uniqueness of E إذا صحيح أنا
عندي E of X بساوي E X زائد Y على E of Y يعني E X زائد
Y بساوي E of Y في ال E of X وهو المطلوب طيب نيجي
الآن نثبت اللي بعدها اللي هي بدنا نثبت E of R
بساوي E to the R R المنتنين LQ اللي هو rational
number طيب جماعة فيكم تصلوا على النبي عليه الصلاة
والسلام لنشوف كيف نيجي
للبرهان اللي هو الجزء الثالث أو هذا جزء من النظرية
أول
حاجة هذه صحيحة لكل أنهي المتناوبة كيف؟ by induction
E of X بساوي E of X أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكE
of K في X زائد X ويساوي من الخاصية اللي احنا لسه
ما خلصناهاش هذه بساوي E للأول زائد في E للتاني اللي
هي E للأول اللي هو KX في E للتاني اللي هي EX
ويساوي EKX اللي هو E of X أُس K لأنه فرضنا أنا
صحيحة اللي هي K بيصير عندي E of X أُس K في E of X و
يساوي E of X الكل أُس K زائد واحد إذا صارت
هذه is true for all N element in N طيب .. الآن شوف
ما يليه نلاحظ ما يليه
Let x بتساوي إيش؟ واحد على N ناخذ الـ x إيش
بتساوي واحد على N؟ بتصير هذا E of واحد لأن N في
واحد على N واحد ال E of واحد رمزناها من رمز إيش
يا جماعة؟ E وهذا اللي بدأ أصله هذا رمزناها من رمز
E وال E عبارة عن رقم ال E of واحد هي قيمة الدالة
اللي تبعتنا عند اللي هي الواحد سميناها E الآن E of N
في 1 على N تساوي اللي هي عبارة عن ال X هذه اللي هي
عبارة عن 1 على N E of 1 على N الكل اسمه أُس N يعني
الآن عندي هذه ال X E N X بساوي E X أُس N X مين 1
على N E of 1 على N أُس N إذا صار عندي الآن هي هذا
القيمة بساوي هذا إذا بمعنى آخر E of واحدة الآن
بساوي E العدد أس واحد على N هذا الآن E of واحدة
الآن بساوي E أس واحد على N الآن من جهة أخرى لو
جيت E أس minus M هتساوي واحد على E أُس M خد
ال
E of M ناقص M اللي هي بيساوي E of Zero اللي هي
بيساوي واحد صح وإيه يساوي E of M في E of ناقص M حسب
الخاصية اللي هي زائد ناقص M هذه X وهذه ال Y E
الأولى في E التانية الآن صار عندي هذا المقدار
بساوي واحد يعني إذا E of ناقص M بساوي بنقل هدهان
واحد على E of M إذا صارت عندي E of ناقص M بساوي
واحد على E of M وال E of M ال E of M من فوق E of M
هذا X بواحد يعني بيساوي E of واحد أُس M يعني عبارة
عن E أُس M وهي فوق إيش واحد الآن هذه اللي هو عدد
عادي اللي هو E مرفوع للأُس M اللي هو نفسه E to the
minus M لأن هذه معلومة قديمة لذا إنصار عندي الآن E
of minus M بيساوي E أُس ناقص M وال E أُس واحد على
N بيساوي E أُس واحد على N نيجي
الآن احنا غايتنا مين؟ E of R الـ R إيش اللي نقدر
نكتبها؟ الـ R في الـ Q إذا الـ R بتنكتب على صورة M
على N إذا ناخذ R في اللي نمتني Q إذا there exists M
و N أي واحدة في زد واحدة في N صحيح ده؟ R بتساوي M
على N بتثبت لك إن E of M على N بساوي E to the M على
N شوف كيف E of M على N إيش هيساوي E أُس واحد على N
الكل أُس M أُس M E of واحد على N أُس M مين
اللي شرع لي اللي هوعندي اللي هي E ناقص M وهي سالبة طلعت
E أُس مينس M واللي شرع لي E وواحد على N و N مودبة
هي E أُس واحد على N فبيصير عندي الآن E أُس M على N أُس
M على N بساوي E أُس واحد على N هذه اللي جوا الكل
أُس M الكل أُس M ماشي الحال هو يساوي E
هذه شرع لي إي وواحد الآن الكل أُس M وهذا عدد عادي
الآن وهذا عدد عادية بيصير إي أُس M عالميا على N و
هذه بيكون عندي إي أُس إي او M على N بساوي اللي هو
عبارة عن إي أُس M على N و M على N was our
arbitral rational number إذا صار عندي إي أُس R
بساوي إي أُس R
نيجي الآن للنظرية اللي هي ثمانية ثلاثة سبعة اللي هي
النظرية الأخيرة في اللي هي الحديث عن اللي هو ال
exponential function وبعدها طبعا بنحكي عن اللي هو
ال logarithmic function بس خلينا الآن نحكي عالميا
نكمّل نظريتنا على ال exponential function بنشوف
الآن بقول لي الـ exponential function E is strictly
increasing on R يعني الـ derivative إلها أكبر من
صفر ماشي؟ and this range اللي هو Y المتنرسج ده Y
أكبر من صفر يعني الـ E هتكون بالضبط ده اللي من R
بتصب إلى R positive إلى R positive يعني عبارة عن
صفر وما له نهاية هي التي هي range دالة range دالة
هذه هي من صفر إلى ما له نهاية لأن كتابة على صورة
function is on to طيب مش هيك limit E of X لما X
تروح لسالب ما له نهاية بتساوي صفر and limit E of X
لما X تروح لما له نهاية إيش بتساوي؟ بتساوي ما له
نهاية يعني الدالة هذه في حالة الـ E of X اللي
احنا سميناها الـ X exponential للـ X هذه الدالة هذه
الدالة زي ما أنتم عارفين لما X تروح إلى سالب ما له
نهاية هذا هيروح للصفر الـ E of X هتروح للصفر ولما
الـ X تروح لما له نهاية الـ E of X هتروح إيش إلى ما له
نهاية نشوف أول شيء بالنسبة لمين؟ لل range
الآن we know that E of 0 بيساوي إيش واحد أكبر من
إيش من صفر أكيد، ضبط ولا لا؟ and E of X ده بيساوي
سفر for X element in R صار عندي الآن هذه دالة E of
0 إلها واحد، ماشي؟
أو E of X مش سفر يعني إيه شمالها لا تقطع محور
السينات إطلاقًا اللي E of X نفسها و 0 من سفرها الآن
أنا أقول مستحيل تكون فيها قيم سالبة يعني مستحيل
نلاقي E of X naught اللي هي أصغر من 0 ليش؟ لأنه لو
لجينا E of X naught سالبة لو هالجيت عندنا X naught
و هيها قيمتها E of X naught اللي هو سالبة يعني
هتكون تحت، ما هي الدالة متصلة مدام متصلة إذا غصب
عنها هتيجي تقطع اللي هو ما هتيجي منها لها هتقطع
محور السينات إذا هتصير سفر وهذا Contradiction من
أين الكلام هذا؟ By Bolzano Intermediate Value
Theorem بما أنه إحنا في عندنا X0 فرضناها ال E of
X0 أصغر من سفر وفي عندي اللي هي E of Zero بتساوي
واحد اللي هي
أه لو فرضنا أن في X نوت X نوت تكون اللي هو
سالبة X نوت أصغر من سفر فعندي E of X naught أصغر
من سفر وعندي اللي هو في اللي هو E of X بتساوي
واحد أه وهادي أكبر من سفر أه وفرضنا وجود هذه وفرضنا
وجود هذه إذا by intermediate value theorem غصبن
عنها there exists c element الفترة اللي إحنا بنحكي
عنها R such that f of هذه الـ c اللي هي E of C
بتساوي كمية اللي بينين اللي هي اسمها سفر وهذا
contradiction بالتالي بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على
أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها
مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق
البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض
لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق
على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي
انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها
مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق
البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقمن سفر طيب مدام ال
E of X أكبر من سفر وإحنا بنعرف أن ال E prime of X
بتساوي E of X إذا صارت ال E prime أكبر من مين من
سفر كل X element ال R ومن ثم هذا معناته أن E is
strictly increasing on R إذا اللي هو المطلوب الأول
أثبتناه أن E is strictly increasing on R طيب
عندي اثنين strictly increasing ال function مظبوط
يعني اثنين أصغر من مين من اياش من ال E ليش لأن
عندي الواحد E واحد أو E of X قلنا أصغر strictly ولا
أكبر strictly من واحد زاد X صح؟ هذه الكورولا
remained ثمانية ثلاثة ثلاثة اثبتناها إذا صار عند E
of واحد أكبر strictly من واحد زائد وا أكبر strictly
من واحد زائد واحد وال E of واحد مين هو E أس واحد
مش هيك اتفاجنا يعني هذا اياش اثنين يعني ال E أكبر
strictly من مين من الاثنين اتفاجنا طيب اتفاجنا إذا
صار عند ال E of اثنين أكبر strictly ال E أكبر من
مين من اثنين خلينا نبدأ عليها هذه ال E أكبر من
اياش من اثنين الآن أكيد عنده ال E of R اللي بيساوي E
R أو E N خليني أقول E N أكبر من اثنين هتكون أصغر
اللي هي أكبر من اثنين أس N الآن as N goes to
infinity إذا
أكيد هذه هتروح لمين لإنفينيتي والـ E نفسها اللي هي
is strictly increasing is strictly increasing إذا
ال E of X تبعتها برضه هتروح لمين ل Infinity لما X
تروح إلى وين إلى مالانهاية ليش لأن لكل L في X
أكبر منها بحيث أن اللي هو تصير E of X اللي هي
بتساوي E to the X أكبر من E to the N لكل N في X
أكبر منها بتصير E of X أكبر منها لأنها strictly
increasing فلان لما تروح هذه إلى مالانهاية الكبار
تبعتها وهذه طبعًا أكبر دايمًا موجودة هذا هتروح إلى
أين برضه إلى مالانهاية يعني limit ال E of X لما X
تروح إلى مالانهاية بتساوي مالانهاية وقول لكم اللي
هو لو تجربته اللي هو يثبته أنه بما أنه limit E of
N بتروح إلى مالانهاية by اللي هي limit definition
إذا limit E of X لما X تروح إلى مالانهاية بتساوي
مالانهاية الآن similarly for mean for اللي هو
limit
الـ E of X لما X تروح لسالب مالانهاية هذه الآن
بيصير اثنين أو minus N أكبر من E أو minus N ماشي
الحال الآن ال limit لهذه as N goes to infinity
أكبر أو يساوي ال limit لهذه as N goes to infinity
الآن
هذه إيش مالها بيساوي سفر وهذه أوتوماتيك هيساوي إيش؟
هيساوي سفر الآن as N goes to infinity يعني ال E to
the minus N بتروح للسفر من وين؟ من اليمين، مظبوط أو
تروح للـ Zero، مظبوط لأن at E minus N تروح لما
لنهاية As N goes to infinity E to the minus N تروح
لإنفينيتي لأن as X بتروح إلى سالب مالانهاية ال E
to the minus X برضه هتروح إلى وين؟ إلى السفر يعني
ال E to the X نفسها لما ناخد ال limit لما X تروح
بدل مالانهاية تروح إلى مين؟ سالب مالانهاية برضه
هتساوي إيش؟ السفر إذا صار عندي limit E ضو X لما X
تروح السلمة لها يابسة أو سفر و بعتمد على اللي هو
الجهتين على ال strictly increasing تبع ال E و
التفاصيل اللي هي ال definition بتظهر عندكم أنا
ما فصلتاش لإنه هو إيه هذا القائم